初中第六章 实数6.1 平方根达标测试

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典例1．4的算术平方根是（ ）
A．2B．C．D．16
变式1-1．式子表示（ ）
A．的算术平方根B．的算术平方根C．的平方根D．的算术平方根
变式1-2．计算的结果为（ ）
A．B．C．4D．8
变式1-3．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）的算术平方根是（ ）
A．5B．C．D．
考查题型二 算术平方根双重非负性的应用
典例2．（2022春·浙江宁波·七年级校考期中）若实数x、y、z满足，则的平方根是（ ）
A．36B．C．6D．
变式2-1．（2022春·浙江·七年级期中）已知，则的值是（ ）
A．4B．－2C．－4D．2
变式2-2．（2022秋·内蒙古巴彦淖尔·七年级校考阶段练习）已知，则代数式的值是（ ）
A． 5B．3C．2D．－1
变式2-3．下列关于的说法错误的是（ ）
A．可以是负数B．可以是
C．是的算术平方根D．不可能是负数
考查题型三 估计算术平方根的取值范围
典例3．（2021秋·辽宁葫芦岛·七年级校考阶段练习）一个正方形的面积是19，它的边长a的值（ ）
A．3到4之间B．4到5之间C．5到6之间D．6到7之间
变式3-1．（2022秋·安徽滁州·七年级校考期中）估计的值在（ ）
A．7到8之间B．6到7之间C．5到6之间D．4到5之间
变式3-2．估算的值是在（ ）之间
A．5和6B．6和7C．7和8D．8和9
变式3-3．（2021秋·天津·七年级统考期末）估计的值应在（ ）．
A．7和8之间B．8和9之间
C．9和10之间D．10和11之间
考查题型四 求算术平方根的整数部分和小数部分
典例4．若的整数部分为，小数部分为，则_________，_________．
变式4-1．的整数部分是______．小数部分是_______．
变式4-2．的小数部分为a，的小数部分为b，则__________.
变式4-3．已知a，b分别是的整数部分和小数部分，则2a﹣b的值为______．
考查题型五 与算术平方根有关的规律探究
典例5．（2022秋·河北沧州·七年级校考期中）若 则（ ）
A．0.01732B．0.1732C．0.05477D．0.5477
变式5-1．（2022春·浙江绍兴·七年级校联考期中）若，则（ ）
A．B．C．D．
变式5-2．（2022秋·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）若，，则的值约为( )
A．B．C．D．
变式5-3．（2021秋·广西河池·七年级统考期末）若，则等于（ ）
A．1.01B．10.1C．101D．10.201
考查题型六 平方根的概念的理解
典例6．（2021秋·重庆渝中·七年级重庆市求精中学校校考期中）的平方根为（ ）．
A．B．C．D．
变式6-1．（2022秋·天津宁河·七年级天津市宁河区芦台第一中学校考期中）一个正数的两个不同的平方根是与，则的值是（ ）
A．0B．C．1D．2
变式6-2．已知和是一个正数的平方根，则这个正数（ ）
A．B．或C．D．或
变式6-3．下列语句正确的是（ ）
A．10的平方根是100B．100的平方根是10C．是的平方根D．的平方根是
考查题型七 求一个数的平方根
典例7．（2021秋·重庆渝中·七年级重庆市求精中学校校考期中）的平方根为（ ）．
A．B．C．D．
变式7-1．64的平方根是（ ）
A．B．C．D．8
变式7-2．的平方根是（ ）
A．B．C．D．
变式7-3．的平方根是（ ）
A．B．2C．D．
考查题型八 求代数式的平方根
典例8．关于x的多项式与多项式相加后不含x的二次和一次项，则平方根为（ ）
A．3B．C．D．
变式8-1．若，则的平方根为（ ）
A．±2B．4C．2D．±4
变式8-2．若是169的算术平方根，是121的负的平方根，则（＋）2的平方根为（ ）
A．2B．4C．±2D．±4
变式8-3．已知与互为相反数，则的平方根是（ ）
A．B．C．D．
考查题型九 平方根的应用
典例9．（2022秋·云南昭通·七年级校考阶段练习）一个正数x的两平方根分别是2a﹣3和1﹣6a，求x的值．
变式9-1．（2022秋·江西南昌·七年级南昌二中校考期中）如果一个正数a的平方根是和，求a的值．
变式9-2．（2022秋·陕西渭南·七年级统考阶段练习）已知一个正数的两个不相等的平方根是与．
（1）求的值及这个正数；
（2）求关于的方程的解．
变式9-3．（2022秋·广东湛江·七年级校考期末）已知一个正数m的两个不相等的平方根是a+6与2a﹣9．
（1）求a的值；
（2）求这个正数m；
（3）求关于x的方程ax2﹣16＝0的解．
6.1《平方根》
重难点题型专项练习
考查题型一 求一个数的算术平方根
典例1．4的算术平方根是（ ）
A．2B．C．D．16
【答案】A
【分析】根据算术平方根的定义，进行求解即可．
【详解】解：4的算术平方根是；
故选A．
【点睛】本题考查算术平方根．熟练掌握算术平方根的定义：一个非负数的平方为，则叫做的算术平方根，是解题的关键．
变式1-1．式子表示（ ）
A．的算术平方根B．的算术平方根C．的平方根D．的算术平方根
【答案】D
【分析】根据实数的运算顺序，先算平方，再开方，由此即可求解．
【详解】解：，
∴表示的是的算术平方根，
故选：．
【点睛】本题主要考查平方，开方的运算顺序.掌握平方，开方的运算顺序，二次根式被开方数的特点是解题的关键．
变式1-2．计算的结果为（ ）
A．B．C．4D．8
【答案】C
【分析】根据算术平方根的定义求解即可．
【详解】解：．
故选C．
【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解答本题的关键，正数有一个正的算术平方根，0的平方根是0，负数没有算术平方根．
变式1-3．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）的算术平方根是（ ）
A．5B．C．D．
【答案】B
【分析】根据算术平方根的性质，首先得，再通过计算，即可得到答案．
【详解】∵
∴的算术平方根是
故选：B．
【点睛】本题考查了算术平方根的知识；解题的关键是熟练掌握算术平方根的性质，从而完成求解．
考查题型二 算术平方根双重非负性的应用
典例2．（2022春·浙江宁波·七年级校考期中）若实数x、y、z满足，则的平方根是（ ）
A．36B．C．6D．
【答案】B
【分析】利用非负性求各未知数的值，进一步计算即可求解．
【详解】解：∵，
∴，，，
∴，，，
∴，
∴的平方根是，
故选：B．
【点睛】本题主要考查非负性的运用，平方根，能够利用非负性求出数值是解题关键．
变式2-1．（2022春·浙江·七年级期中）已知，则的值是（ ）
A．4B．－2C．－4D．2
【答案】B
【分析】先根据算术平方根的非负性、二次方的非负性和绝对值的非负性求出a、b、c的值，然后再代入代数式求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
∴，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了求代数式的值，算术平方根的非负性，二次方的非负性和绝对值的非负性，根据题意求出a、b、c的值，是解题的关键．
变式2-2．（2022秋·内蒙古巴彦淖尔·七年级校考阶段练习）已知，则代数式的值是（ ）
A． 5B．3C．2D．－1
【答案】A
【分析】根据绝对值和算术平方根不可能为负数，得到，解得m、n的值，然后代入即可求解．
【详解】解：∵
∴，
解得：．
将代入，得：
故选：A．
【点睛】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，代数式求值，解答此题的关键是根据绝对值和算术平方根不可能为负数，解得m、n的值．
变式2-3．下列关于的说法错误的是（ ）
A．可以是负数B．可以是
C．是的算术平方根D．不可能是负数
【答案】A
【分析】根据当时，，即可解答．
【详解】解：A、是非负数，故A错误，符合题意；
B、可以是，故B正确，不符合题意；
C、是的算术平方根，故C正确，不符合题意；
D、不可能是负数，故D正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了实数，熟练掌握的双重非负性是解题的关键．
考查题型三 估计算术平方根的取值范围
典例3．（2021秋·辽宁葫芦岛·七年级校考阶段练习）一个正方形的面积是19，它的边长a的值（ ）
A．3到4之间B．4到5之间C．5到6之间D．6到7之间
【答案】B
【分析】根据算术平方根的意义，得到边长为，估算的大小即可求解．
【详解】解：∵一个正方形的面积是19，它的边长为a，
∴，
∵，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查了算术平方根的应用，估算无理数的大小，估算的大小是解题的关键．
变式3-1．（2022秋·安徽滁州·七年级校考期中）估计的值在（ ）
A．7到8之间B．6到7之间C．5到6之间D．4到5之间
【答案】B
【分析】估算的大小即可．
【详解】解：由于，而，即67，
所以的值在6和7之间，
故选：B．
【点睛】本题考查估算无理数的大小，二次根式的乘除法，掌握算术平方根的定义，二次根式乘除法的计算方法是正确解答的前提．
变式3-2．估算的值是在（ ）之间
A．5和6B．6和7C．7和8D．8和9
【答案】C
【分析】根据题意可知判断的值在5、6、7、8、9哪个数之间，即的值在2、3、4、5、6哪个数之间，2、3、4、5、6可表示为，显然，即，故．
【详解】∵
∴
∴
故选：C．
【点睛】本题考查了算术平方根估计范围，将先看作进行比较，再加上3是解题的关键．
变式3-3．（2021秋·天津·七年级统考期末）估计的值应在（ ）．
A．7和8之间B．8和9之间
C．9和10之间D．10和11之间
【答案】A
【分析】根据算术平方根进行无理数的估算．
【详解】解：∵49＜58＜64
∴，
即的值在7和8之间，
故选：A．
【点睛】本题考查无理数的估算，理解算术平方根的概念准确计算是解题关键．
考查题型四 求算术平方根的整数部分和小数部分
典例4．若的整数部分为，小数部分为，则_________，_________．
【答案】
【分析】根据首先确定的值，则小数部分即可确定．
【详解】解：，
，
则．
故答案是：3，．
【点睛】本题主要考查了无理数的估算，解题的关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．
变式4-1．的整数部分是______．小数部分是_______．
【答案】 3
【分析】根据算术平方根的整数部分和小数部分求解的方法直接进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴的整数部分为3，
∴的小数部分为；
故答案为3，．
【点睛】本题主要考查算术平方根，熟练掌握求一个算术平方根的整数部分和小数部分是解题的关键．
变式4-2．的小数部分为a，的小数部分为b，则__________.
【答案】1
【分析】先分析介于哪两个整数之间，再分别求出和介于哪两个整数之间，即可求出和的整数部分，然后用它们分别减去它们的整数部分得到，代入即可.
【详解】解：∵
∴，
∴
∴的整数部分为10，的整数部分为2，
∴a=
b=
代入得：
=12018
=1
【点睛】此题考查的是实数（带根号）的整数部分和小数部分的求法.
变式4-3．已知a，b分别是的整数部分和小数部分，则2a﹣b的值为______．
【答案】．
【分析】先求出介于哪两个整数之间，即可求出它的整数部分，再用减去它的整数部分求出它的小数部分，再代入即可.
【详解】∵9＜13＜16，
∴3＜＜4，
∴a=3，b=﹣3，
∴2a﹣b=2×3﹣（﹣3）=6﹣+3=．
故答案为．
【点睛】此题考查的是带根号的实数的整数部分和小数部分的求法，利用平方找到它的取值范围是解决此题的关键.
考查题型五 与算术平方根有关的规律探究
典例5．（2022秋·河北沧州·七年级校考期中）若 则（ ）
A．0.01732B．0.1732C．0.05477D．0.5477
【答案】B
【分析】把0.03看成是3×结合题意即可求解．
【详解】解：∵
∴，
故选B．
【点睛】此题主要考查了算术平方根的性质，如果被开方数扩大为原来的100倍，其算术平方根也在扩大，但只扩大为原来的10倍；同理，如果被开方数缩小为原来的，其算术平方根也在缩小，但只缩小为原来的．
变式5-1．（2022春·浙江绍兴·七年级校联考期中）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】当被开方数的小数点每向右（或向左）移动2位，它的算术平方根的小数点就相应的向右（或向左）移动1位．
【详解】∵，
∴
故选B．
【点睛】本题考查了被开方数的变化与算术平方根之间的变化规律，熟练掌握小数点移动的规律是解答本题的关键．当被开方数的小数点每向右（或向左）移动2位，它的算术平方根的小数点就相应的向右（或向左）移动1位．
变式5-2．（2022秋·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）若，，则的值约为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将转化为，进而得出即可．
【详解】解：，
故选：．
【点睛】本题考查算术平方根，理解“一个数扩大或缩小倍，倍，其算术平方根就随着扩大或缩小倍，倍”是解决问题的关键．
变式5-3．（2021秋·广西河池·七年级统考期末）若，则等于（ ）
A．1.01B．10.1C．101D．10.201
【答案】B
【分析】根据被开方数向左或向右移动2n位，则对应的算术平方根向左或向右移动n位解答即可．
【详解】解：∵
∴＝10.1．
故选B．
【点睛】本题主要考查了算术平方根的规律探索，掌握“被开方数向左或向右移动2n位，则对应的算术平方根向左或向右移动n位”是解答本题的关键．
考查题型六 平方根的概念的理解
典例6．（2021秋·重庆渝中·七年级重庆市求精中学校校考期中）的平方根为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据平方根的定义，即可．
【详解】∵，
∴的平方根是，
故选：B．
【点睛】本题考查平方根的知识，解题的关键是理解平方根的定义．
变式6-1．（2022秋·天津宁河·七年级天津市宁河区芦台第一中学校考期中）一个正数的两个不同的平方根是与，则的值是（ ）
A．0B．C．1D．2
【答案】B
【分析】根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数解答即可．
【详解】由题意得，，
解得：，
故选：B．
【点睛】本题考查的是平方根的概念，掌握一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数是解题的关键，
变式6-2．已知和是一个正数的平方根，则这个正数（ ）
A．B．或C．D．或
【答案】D
【分析】根据平方根的定义求出a的值，进而可得出结论．
【详解】解：∴和是一个正数的平方根，
当时，解得，
∴，
∴；
当和互为相反数时，
，解得，
∴，
∴．
故的值为或．
故选：．
【点睛】本题考查的是平方根的定义，熟知一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数是解题的关键．
变式6-3．下列语句正确的是（ ）
A．10的平方根是100B．100的平方根是10C．是的平方根D．的平方根是
【答案】D
【分析】根据一个正数的平方根有两个，且互为相反数可对A、B、D进行判断；根据负数没有平方根可对C进行判断．
【详解】解：A．10的平方根，所以A选项错误；
B．100的平方根是，所以B选项错误；
C．没有平方根，所以C选项错误；
D．的平方根是，所以D选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了平方根的定义：若一个数的平方等于，那么这个数叫的平方根，记作．
考查题型七 求一个数的平方根
典例7．（2021秋·重庆渝中·七年级重庆市求精中学校校考期中）的平方根为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据平方根的定义，即可．
【详解】∵，
∴的平方根是，
故选：B．
【点睛】本题考查平方根的知识，解题的关键是理解平方根的定义．
变式7-1．64的平方根是（ ）
A．B．C．D．8
【答案】A
【分析】根据平方根的意义，即可解答．
【详解】解：64的平方根是，
故选：A．
【点睛】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的意义是解题的关键．
变式7-2．的平方根是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据平方根的定义计算即可．
【详解】∵
∴，
∴的平方根是．
故选：C．
【点睛】本题考查了平方根即（a≥0），则x叫做a的平方根，熟练掌握平方根的定义是解题的关键．
变式7-3．的平方根是（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【分析】先计算，再计算4的平方根即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴4的平方根为，
即的平方根是，
故选C．
【点睛】本题考查了算术平方根和平方根，熟练掌握正数的平方根有两个，且互为相反数是解题关键．
考查题型八 求代数式的平方根
典例8．关于x的多项式与多项式相加后不含x的二次和一次项，则平方根为（ ）
A．3B．C．D．
【答案】C
【分析】将两个多项式相加，根据相加后不含x的二次和一次项，求得m、n的值，再进行计算．
【详解】＋
＝
由题意知，， ，
∴，，
∴，
9的平方根是，
∴平方根为，
故选：C．
【点睛】此题考查了整式的加减−化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键，同时考查了平方根的定义，熟练掌握正数有两个平方根，0的平方根是0，负数没有平方根．
变式8-1．若，则的平方根为（ ）
A．±2B．4C．2D．±4
【答案】D
【分析】根据绝对值，平方，二次根式的非负性求出x，y，z，算出代数式的值计算即可；
【详解】∵，
∴，
解得，
∴，
∴；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平方根的求解，结合绝对值、二次根式的非负性计算是解题的关键．
变式8-2．若是169的算术平方根，是121的负的平方根，则（＋）2的平方根为（ ）
A．2B．4C．±2D．±4
【答案】C
【分析】求出m、n的值，求出m+n的值，再根据平方根定义求出即可．
【详解】解：∵m是169的算术平方根，n是121的负的平方根，
∴m=13，n=-11，
∴m+n=2，
∴（m+n）2的平方根是±=±2，
故答案为C．
【点睛】本题主要考查了平方根的定义和性质，以及根据平方根求被开方数；注意：一个正数有两个平方根，它们互为相反数．
变式8-3．已知与互为相反数，则的平方根是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据非负数的性质可得关于a、b的方程，解方程求出a、b的值后再代入所求式子即可求出a－b，然后根据平方根的定义解答即可．
【详解】解：由题意，得+=0，∴4－a=0，b+1=0，解得：a=4，b=﹣1，
∴a－b=5，∴a－b的平方根．
故选：C．
【点睛】本题考查了非负数的性质和平方根的定义，属于基础题型，熟练掌握基本知识是解题关键．
考查题型九 平方根的应用
典例9．（2022秋·云南昭通·七年级校考阶段练习）一个正数x的两平方根分别是2a﹣3和1﹣6a，求x的值．
【答案】16
【分析】根据正数的两个平方根互为相反数列出方程，进而平方根的定义即可求解．
【详解】解：由题意得，2a﹣3+1﹣6a＝0，
解得，a＝﹣，
所以2a﹣3＝﹣4，1﹣6a＝4，
所以x＝（±4）2＝16，
答：x＝16．
【点睛】本题考查平方根，理解平方根的定义是正确解答的关键．
变式9-1．（2022秋·江西南昌·七年级南昌二中校考期中）如果一个正数a的平方根是和，求a的值．
【答案】
【分析】根据一个数的平方根互为相反数得到关于的方程，然后求出的值即可得到的值．
【详解】解：根据题意得：，
解得：，
则这个数a是．
故答案是：．
【点睛】本题考查平方根的性质：正实数有两个互为相反的数的平方实数根，零的平方根是零，负实数没有平方实数根，掌握平方根的性质是解题的关键．
变式9-2．（2022秋·陕西渭南·七年级统考阶段练习）已知一个正数的两个不相等的平方根是与．
（1）求的值及这个正数；
（2）求关于的方程的解．
【答案】（1）a=1，这个正数是49；（2）
【分析】（1）由正数的两个平方根互为相反数得到+=0，求解即可得到答案；
（2）将a=1代入方程，根据平方根的意义得到答案即可．
【详解】解：（1）由题意得+=0，
解得a=1，
∴这个正数是；
（2）将a=1代入方程，得-64=0，
解得．
【点睛】此题考查正数平方根的性质，根据平方根的定义解方程，正确理解平方根的性质是解题的关键．
变式9-3．（2022秋·广东湛江·七年级校考期末）已知一个正数m的两个不相等的平方根是a+6与2a﹣9．
（1）求a的值；
（2）求这个正数m；
（3）求关于x的方程ax2﹣16＝0的解．
【答案】（1）a＝1；（2）49；（3）x＝±4
【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数即可求得的值；
（2）根据（1）的结论即可求得的值；
（3）根据（1）的结论将代入方程，进而根据求一个数的平方根解方程即可
【详解】解：（1）由题意得，a+6+2a﹣9＝0，
解得，a＝1；
（2）当a＝1时，a+6＝1+6＝7，
∴m＝72＝49；
（3）x2﹣16＝0，
x2＝16，
x＝±4．
【点睛】本题考查了求一个数的平方根，平方根的性质，理解平方根的性质是解题的关键．