河南省商丘市柘城县2023-2024学年八年级上学期期末数学试题（原卷+解析）

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1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效．
一、选择题．
1. 图书馆的标志是浓缩了图书馆文化的符号，下列图书馆标志中，不是轴对称的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：选项A、B、C能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
选项D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
故选：D．
2. 无论a取何值，下列分式中，总有意义的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件逐项判断即可．
【详解】解：A．当时，分式没有意义．故本选项不合题意；
B．当时，分式没有意义．故本选项不合题意；
C．当时，分式没有意义．故本选项不合题意；
D．因为，所以，所以分式总有意义，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
3. 若，，则（ ）
A. 2B. 3C. 6D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂除法的计算．
根据同底数幂除法的计算法则进行求解即可．
【详解】解：∵，，
∴．
故选：B．
4. 下列等式中，从左向右的变形正确的是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据分式的基本性质和分式变号法则，依次分析各个选项，即可选出正确选项．
【详解】解：A，，选项不正确，不符合题意；
B，，，选项不正确，不符合题意；
C，，选项正确，符合题意；
D，，选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，正确掌握分式的基本性质是解题的关键．
5. 如图，点在同一直线上，若，，，则等于（ ）
A. 3B. C. 4D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据全等三角形的性质可得，，然后由求出的值，即可获得答案．
【详解】解：∵，，，
∴，，
∵点在同一直线上，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了全等三角形性质，熟练掌握全等三角形对应边相等的性质是解题的关键．
6. 已知关于x的多项式与的乘积的展开式中不含x的二次项，且一次项系数为，则a的值为（ ）
A. B. C. -3D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查多项式乘以多项式，解二元一次方程组，解题的关键是明确不含的二次项，则二次项的系数为．根据多项式乘以多项式法则进行运算，再将计算结果中，利用二次项系数为零与一次项的系数为的要求建立方程组，即可求解．
【详解】解：；
；
；
∵多项式与的乘积的展开式中不含二次项，且一次项系数为；
∴；
解得：，
∴；
故选：C．
7. 如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴负半轴于点M，交y轴负半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第三象限交于点P．若点P的坐标为，则a与b的数量关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据作图方法可得点P在第三象限的角平分线上，根据角平分线的性质和第三象限内点的坐标符号可得答案．
【详解】解：根据作图方法可得点P在第三象限角平分线上；点P到x轴、y轴的距离相等；
∴a-b=0．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了角平分线的性质以及坐标与图形的性质，得出P点位置是解题关键．
8. 辛弃疾词曰：“稻花香里说丰年，听取蛙声一片．”五常稻花香大米成饭食味清淡略甜，绵软略粘，芳香爽口，是餐桌上的佳品．某收割队承接了五常水稻的收割任务，为了让五常大米早日上市，实际工作效率比原来提高了20%，结果提前2天完成任务．设原计划每天收割的面积为，则下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设原计划每天收割的面积为，则实际每天收割的面积为，根据结果提前2天完成任务列方程求解即可．
【详解】解：设原计划每天收割的面积为，由题意得
．
故选D．
【点睛】本题考查了列分式方程解实际问题的应用，解答时根据条件建立方程是关键，解答时对求出的根必须检验，这是解分式方程的必要步骤．
9. 如图，在平面直角坐标系中，，点B、A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，，则等于（ ）
A. 8B. 9C. 10D. 11
【答案】A
【解析】
【分析】过C作轴于M，轴于N，推出证，推出，求出，代入求出即可．
【详解】解：过C作轴于M，轴于N，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴
．
故选:A．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质，关键是推出AM=BN和推出．
10. 已知在中，，．点为边上的动点，点为边上的动点，则线段的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】作点F关于直线AB的对称点F’，如下图所示，此时EF+EB= EF’+EB，再由点到直线的距离垂线段长度最短求解即可．
【详解】解：作点F关于直线AB的对称点F’，连接AF’，如下图所示：
由对称性可知，EF=EF’，
此时EF+EB= EF’+EB，
由“点到直线的距离垂线段长度最小”可知，
当BF’⊥AF’时，EF+EB有最小值BF0，此时E位于上图中的E0位置，
由对称性知，∠CAF0=∠BAC=90°-75°=15°，
∴∠BAF0=30°，
由直角三角形中，30°所对直角边等于斜边的一半可知，
BF0=AB=，
故选：B．
【点睛】本题考查了30°角所对直角边等于斜边的一半，垂线段最短求线段最值等，本题的核心思路是作点F关于AC的对称点，将EF线段转移，再由点到直线的距离最短求解．
二、填空题．
11. 若则关于y轴对称的点的坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查绝对值非负性的应用，关于y轴对称的两点的特点，先利用绝对值的非负性求出点A的坐标，再根据关于y轴对称的两点的特点求解即可，掌握关于y轴对称的两点横坐标互为相反数，纵坐标相等是解题的关键．
【详解】解：∵
∴，
∴，
∴，
∴关于y轴对称的点的坐标为，
故答案为：．
12. 如图，已知AB=CB，要使四边形ABCD成为一个轴对称图形，还需添加一个条件，你添加的条件是_______________．（只需写一个，不添加辅助线）
【答案】∠ABD=∠CBD（或AD=CD）
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定定理求解即可．
【详解】解：已知，BD=BD，
要使四边形ABCD成为一个轴对称图形，
须使，
①可通过SAS来证明，
即添加的条件是；
②可通过SSS来证明，
即添加的条件是AD=CD；
故答案为：或AD=CD．
【点睛】本题考查了全等三角形的问题，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
13. 已知长方形的边长为a和b，周长为12，面积为8，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意得 ， ，再将因式分解，再代入求解即可．
【详解】根据题意得 ， ，
所以 ．
故答案为：．
【点睛】本题考查因式分解的应用，关键是代数式表示题目的有关数量．
14. 如图，D为△ABC内一点，AD⊥CD，AD平分∠CAB，且∠DCB＝∠B．如果AB＝10，AC＝6，那么CD＝________．
【答案】2
【解析】
【分析】延长CD交AB于点E，根据垂线及角平分线的性质可得，，然后利用全等三角形的判定定理和性质可得，再由等角对等边可得，由此即可得出线段长度．
【详解】解：如图所示：延长CD交AB于点E，
∵AD平分，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：2．
【点睛】题目主要考查角平分线和等角对等边的性质，全等三角形的判定和性质等，理解题意，作出相应辅助线是解题关键．
15. 若三角形的三边为4、7、x且x是关于x的方程的解，则a的范围为_______．
【答案】，且
【解析】
【分析】根据三角形三边关系得：，解方程求出方程的解，然后根据的范围求出的范围即可．
【详解】解：由题意得，
解方程，
得，
∴，且，
解得，且，
故答案为：，且．
【点睛】本题考查了一元一次不等式、分式方程、三角形三边关系等知识点，分式的分母不为零是本题正确的关键 ．
三、简答题．
16. （1）计算：；
（2）因式分解：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查的是整式的混合运算，因式分解，掌握基础运算是解本题的关键；
（1）先计算括号内的整式的乘法运算，再计算单项式除以单项式即可；
（2）先计算多项式乘以多项式，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
；
17. 解分式方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）原分式方程无解
【解析】
【分析】（1）根据解分式方程的步骤解方程即可得到答案；
（2）根据解分式方程的步骤解方程即可得到答案．
小问1详解】
解：方程两边乘，得：，
解得：，
检验：当时，，
所以原分式方程的解为；
【小问2详解】
解：方程两边乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以原分式方程无解．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤，将算出来的的值代入检验是解题的关键，
18. 如图，已知：、、、在同一条直线上，，，．
求证：
（1）；
（2）．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由全等三角形的判定定理SSS证得，则对应角，易证结论；
（2）根据，可以证得，进而得出结论．
【小问1详解】
证明：如图：在和中，
，
∴（SSS），
∴，
∴；
小问2详解】
证明：由（1）得，
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
19. 以下是某同学化简分式的部分运算过程：
解：原式①
②
③
……
解：
（1）上面的运算过程中第 步出现了错误；
（2）选择一个你喜欢的x的值代入求值．
【答案】（1）③； （2）；
【解析】
【分析】本题考查了分式的混合计算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
（1）根据上述解题步骤分析解答即可．
（2）把括号内通分，并把除法转化为乘法，然后约分化简．
【小问1详解】
第③步出现错误，原因是分子相减时未变号，故答案为∶③；
【小问2详解】
原式
当时，．
故答案为：；．
20. 如图，在平面直角坐标系中，形如英文字母“V”的图形三个端点的坐标分别是A(2，3)，B(1，0)，C(0，3)．
（1）画出“V”字图形向左平移2个单位后的图形；
（2）画出原“V”字图形关于x轴对称的图形；
（3）所得图形与原图形结合起来，你能从中看出什么英文字母？（任意答一个即可）
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）图1是W，图2是X
【解析】
【分析】（1）根据要求直接平移即可；
（2）在第四象限画出关于x轴对称的图形；
（3）观察图形可得结论．
【小问1详解】
解：如图所示，将点A(2，3)，B(1，0)，C(0，3)得，，，
【小问2详解】
解：如图所示，
【小问3详解】
解：图1是W，图2是X．
【点睛】本题考查了对称的性质和平移，解题关键是牢固掌握关于坐标轴对称的点的坐标的特征并能灵活运用．
21. 如下是学习“分式方程应用”时，老师板书的例题和两名同学所列的方程．
例：有甲、乙两个工程队，甲队修路400米与乙队修路600米所用时间相等，乙队每天比甲队多修20米，求甲队每天修路的长度．
嘉嘉：．
淇淇：．
根据以上信息，解答下列问题．
（1）嘉嘉同学所列方程中的x表示__________；
淇淇同学所列方程中的y表示___________；
（2）在嘉嘉和淇淇所列方程中任选一个，并直接写出其所列方程依据的等量关系；
（3）解（2）中你所选择的方程，并解答该例题．
【答案】（1）甲队每天修路的长度；甲队修路400米所需时间（或乙队修路600米所需时间）；
（2）嘉嘉用的等量关系是：甲队修路400米所用时间乙队修路600米所用时间；
淇淇用的等量关系是：乙队每天修路的长度甲队每天修路的长度20米；
（3）见解析．
【解析】
【分析】（1）根据所列方程，结合题意，进行作答即可；
（2）根据所列方程，结合题意，进行作答即可；
（3）解分式方程即可．
【小问1详解】
解：由题意，得：嘉嘉同学所列方程中的x表示甲队每天修路的长度；淇淇同学所列方程中的y表示甲队修路400米所需时间（或乙队修路600米所需时间）；
故答案为：甲队每天修路的长度；甲队修路400米所需时间（或乙队修路600米所需时间）；
【小问2详解】
由题意，得：
嘉嘉用的等量关系是：甲队修路400米所用时间乙队修路600米所用时间；
淇淇用的等量关系是：乙队每天修路的长度甲队每天修路的长度20米；
【小问3详解】
（3）①选嘉嘉的方程：，
解得；
经检验是原分式方程的解．
答：甲队每天修路的长度为40米．
②选淇淇的方程：．
解得；
经检验是原分式方程的解．
所以．
答：甲队每天修路的长度为40米．
【点睛】本题考查分式方程的应用．读懂题意，找准等量关系，正确的计算，是解题的关键．
22. 如图（1），有A，B，C三种不同型号的纸板，A纸板是边长为a的正方形，B纸板是边长为b的正方形，C纸板是长为b，宽为a的长方形．现用A纸板一张，B纸板一张，C纸板两张拼成如图（2）所示的大正方形．
（1）观察图（2），请你用两种方法表示出图（2）中大正方形的面积．方法1： ；方法2： ．请利用图（2）中大正方形的面积表示方法，写出一个关于a，b的等式；
（2）已知图（2）中大正方形的面积为64，一张A纸板和一张B纸板的面积之和为36，求ab的值；
（3）用一张A纸板和一张B纸板，拼成如图（3）所示的图形，若a+b=9，ab=15，求图（3）中阴影部分的面积．
【答案】（1），，；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】本题考查了完全平方式几何背景的应用．
（1）一种方式为拼成的正方形边长的平方，另一种方式为四张纸板的面积之和，两者相等；
（2）由题意，，两个等式作差即可求解．
（3）用含，，的式子表示出阴影部分的面积，即可求解．
【小问1详解】
解；由题意得∶方法；方法2∶；
根据图2的面积表示方法，可得：．
【小问2详解】
由题意得∶，，
．
【小问3详解】
由题意得，图3中阴影部分的面积为：，
，，
图3中阴影部分面积为：
23. 已知：在等边中，点E是边所在直线上的一个动点（E与A、B两点均不重合），点D在的延长线上，且．
（1）如图①，当E是边的中点时，则线段与的大小关系是：______（填“>”“