山东省青岛市市北区2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷（含解析）

这是一份山东省青岛市市北区2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列等式是一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
2.下列属于等可能随机事件的是( )
A. 任意掷一枚图钉钉尖朝上B. 任意掷一枚均匀的硬币字面朝上
C. 用两条线段组成一个三角形D. 明天会下雪
3.一个如图所示的几何体，已知它的左视图，则其俯视图是下面的( )
A.
B.
C.
D.
4.如图所示，河坝横断面迎水坡的坡比为：，坝高，则坡面的长度是( )
A.
B.
C.
D.
5.如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，若，则菱形的面积是( )
A.
B.
C.
D.
6.二次函数图象如图所示，它的对称轴为，下列结论中正确的有( )
；
；
；
；
若和是这条抛物线上的两点，则当时，
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
7.反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是______．
8.已知，则的值是______．
9.一个不透明的袋子中装有除颜色外都相同的枚白球和若干黑球，进行有放回的随机摸取，每次摸取一球并记录结果如图是某小组做“用频率估计概率”的摸球试验时，绘制的白球出现的频率分布折线图，由此可估计袋子中有______枚黑球．
10.若是关于的一元二次方程的一个解，则常数的值为______．
11.在中，和均为锐角，且，则 ______度
12.如图，某景区准备在一块边长为米的大正方形花园中间修建一个正方形的休闲场所如图所示，要求修建四条等宽的矩形小道连接两个正方形的四边若小道的长是宽的倍，且花草种植区域阴影部分的面积为平方米设小道宽度为米，根据题意，列出关于的一元二次方程是______．
13.已知当和时，多项式的值相等，且，则当时，多项式 ______．
14.如图，四边形是边长为的正方形，点在边上，，作，分别交，于点、，，分别是，的中点，则下列个结论中：
点、、共线；；；的面积为；正确的是______填写所有正确结论的序号．
三、解答题：本题共9小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
求作一个菱形，使如图所示的是菱形的一个内角，且对角线请用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法
16.本小题分
解方程
；
．
17.本小题分
学校联欢会上有一个“转盘”游戏，用如图所示的两个均匀、可以自由转动的转盘做游戏游戏规则如下：盘被分成面积相等的个扇形，盘中小的扇形区域所占的圆心角是分别任意旋转两个转盘，将盘转出的数字，与盘转出的数字相乘，如果乘积是的倍数，则小红赢得游戏；如果乘积是的倍数，则小明赢得游戏．
请利用画树状图或列表的方法，表示出游戏所有可能出现的结果；
这个游戏对双方公平吗？请说明你的理由．
18.本小题分
通常，路灯、台灯、手电筒的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影．
【画图操作】如图，三根底部在同一直线上的旗杆直立在地面上，第一根、第二根旗杆在同一灯光下的影长如图所示请在图中画出光源的位置及第三根旗杆在该灯光下的影长不写画法；

【数学思考】如图，夜晚，小明从点经过路灯的正下方沿直线走到点，他的影长随他与点之间的距离的变化而变化，那么表示与之间函数关系的图象大致为______；
A.
B.
C.
D.
【解决问题】如图，河对岸有一灯杆，在灯光下，小明在点处测得自己的影长，沿方向前进到达点处测得自己的影长已知小明的身高为，求灯杆的高度．
19.本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点与点．
求反比例函数的表达式；
若点是第一象限内双曲线上的点不与点重合，连接，且过点作轴的平行线，与直线相交于点，连接，若的面积为，求点的坐标．
20.本小题分
某临街店铺在窗户上方安装如图所示的遮阳棚，其侧面如图所示，遮阳棚展开长度，遮阳棚前端自然下垂边的长度，遮阳棚固定点距离地面高度，遮阳棚与墙面的夹角．

如图，求遮阳棚前端到墙面的距离；
如图，某一时刻，太阳光线与地面夹角，求遮阳棚在地面上的遮挡宽度的长结果精确到参考数据：，，，
21.本小题分
如图，中，、分别是、边上的点，为延长线上的点，连接、．
平分；；是的中点；；
请从以上四项中，选择三项作为已知条件，剩余的一项作为结论，形成一个真命题．
把相应序号填写到已知、求证的横线上，并完成证明：
已知：______；
求证：______；
证明：
在的情形中，当，且平分时，四边形是什么特殊四边形？请证明你的结论．
22.本小题分
某数学兴趣小组进行项目式学习成果的展示，给出如下信息：在学校的巨幅宣传墙上，勤于动脑的小丽发现两条熟悉的抛物线，她依据环境，建立如图所示的平面直角坐标系；利用手边的工具，她不仅与同学合作进行力所能及的测量；还看到抛物线上的两点、组成的线段恰好与学校的一处露台等高，于是通过采访总务处老师获得重要数据；他们发现：抛物线的顶点纵坐标为，与轴相交于点、抛物线刚好过的顶点，且与轴相交于点，平行于轴的线段长为根据以上信息请你解决如下问题：
求两条抛物线与的函数关系式；
当时，求抛物线与的最大间距．
23.本小题分
如图，在矩形中，，，点从点出发，沿向点匀速运动，速度为每秒个单位，过点作，交对角线于点点从点出发，沿对角线向点匀速运动，速度为每秒个单位、两点同时出发，以、为邻边作平行四边形设、的运动时间为秒．
当 ______秒时，沿直线翻折，点与点重合；
当点在上时，求的值；
设平行四边形的面积为，求与之间的函数关系式，并提供相应的的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，是二元一次方程，故不符合题意；
B.，若，则该方程不是一元二次方程，故不符合题意；
C.，是一元二次方程，符合题意；
D.不是整数方程，故不符合题意．
故选：．
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，叫做一元二次方程，其基本形式为根据一元二次方程的定义逐项分析判定即可．
本题主要考查了一元二次方程的定义，理解并掌握一元二次方程的定义是解题关键．
2.【答案】
【解析】解：、任意掷一枚图钉钉尖朝上，不是等可能随机事件，不符合题意；
B、任意掷一枚均匀的硬币字面朝上，是等可能随机事件，符合题意；
C、用两条线段组成一个三角形，是不可能事件，不符合题意；
D、明天会下雪，不是等可能随机事件，不符合题意；
故选：．
根据等可能随机事件的定义判断即可．
本题考查的是随机事件，正确理解等可能随机事件的定义是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：由几何体的形状可知，从上面看时，是一列两个相邻的矩形．
故选：．
根据从上面看得到的图形即为俯视图进行求解即可．
此题考查了三视图的作图，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看所得到的图形．
4.【答案】
【解析】解：坡的坡比为：，坝高，
，
，
故选：．
根据坡度的概念求出，再根据勾股定理求出．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比，又叫做坡比．
5.【答案】
【解析】解：，，
，
四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
，，
，
，
菱形的面积．
故选：．
由线段垂直平分线的性质推出，由菱形的性质得到，判定是等边三角形，得到，由锐角的正切求出，而，即可求出菱形的面积．
本题考查菱形的性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，关键是由线段垂直平分线的性质，菱形的性质推出是等边三角形．
6.【答案】
【解析】解：由所给函数图象可知，
，，，
所以．
故错误．
因为抛物线与轴有两个不同的交点，
所以．
故错误．
因为抛物线的对称轴为直线，且与轴的一个交点横坐标比大，
所以，
所以抛物线与轴的另一个交点的横坐标比小，
则当时，函数值小于零，
所以．
故正确．
因为抛物线的对称轴为直线，
所以，即．
又因为当时，函数值小于零，
所以，
所以．
故正确．
因为抛物线开口向上，
所以抛物线上的点离对称轴越近，其函数值越小，
又因为，
所以．
故错误．
故选：．
根据所给函数图象，可得出，，的正负，再结合抛物线的增减性和对称性即可解决问题．
本题考查二次函数图象与系数的关系，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：反比例函数的图象位于第二、四象限，
，解得，
故答案是：．
由反比例函数所在的象限可得到关于的不等式，可求得答案．
本题主要考查反比例函数的性质，掌握在中，当时，图象在第一、三象限，当
时，图象在第二、四象限是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：设，
，，，
，
故答案为：．
利用设法进行计算，即可解答．
本题考查了比例的性质，熟练掌握设法是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：由折线统计图可得出白球的频率在左右波动，
小球的总数枚，
黑球的个数枚，
故答案为：．
利用折线统计图可得出白球的频率在左右波动，由此可估算出总的小球数量，进而可求出黑球的个数．
此题主要考查了利用频率估计概率，正确求出各试验的概率是解题关键．
10.【答案】
【解析】解：把代入一元二次方程得，
解得，，
，
的值为．
故答案为：．
先把代入一元二次方程得，然后解关于的方程，最后根据一元二次方程的定义确定的值．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了一元二次方程的定义．
11.【答案】
【解析】解：由题意得，，，
则，，
则．
故答案为：．
根据非负数的性质求出和的值，然后求出、的度数，最后求出．
本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
12.【答案】
【解析】解：由题意得：，
即，
故答案为：．
一个阴影矩形的长为米，根据花草种植区域阴影部分的面积为平方米，列出一元二次方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：当和时，多项式的值相等，
，
，
或，
或，
，
，即，
当时，
，
故答案为：．
根据当和时，多项式的值相等得到，从而得出舍去或，再代入中计算出的值，从而求出多项式的值．
本题考查了多项式求值，根据已知条件得出是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：连接，，，，．
四边形是正方形，．
，四边形为矩形，．
是错误的，故不符合题意．
为等腰直角三角形，．
是中点，
，
，
，
与为等腰直角三角形，
，
是直角三角形，
四边形是矩形，
，
，
，，，
．
≌．
．
是中点，
．
点、、共线，故正确，符合题意，
，，
，．
．
，故正确，符合题意，
在中，是中点，
．
在中，，．
．
故正确，符合题意，
，，
，
，点是中点，
是等腰直角三角形，，
，
故正确，符合题意，
综上所述：正确的是，
故答案为：．
连接，，，，四边形是正方形，，四边形为矩形，，为等腰直角三角形，，证明≌，是中点，点、、共线，根据勾股定理求，用三角形面积公式计算三角形，因为是等腰直角三角形，，．
本题考查了正方形的性质，解题关键在于读懂题意，掌握正方形的性质以及全等三角形的性质．
15.【答案】解：作的平分线；
以点为圆心，线段的长为半径画弧，交射线于点；
作线段的垂直平分线，分别交的两边于点，；
连接，．
如图，菱形即为所求．

【解析】先作的平分线，再以点为圆心，线段的长为半径画弧，交射线于点，最后作线段的垂直平分线，分别交的两边于点，，连接，即可．
本题考查作图复杂作图、菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键．
16.【答案】解：，
，，，
，
，
，；
，
，
，
或，
所以，．
【解析】先计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解；
先移项得到，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法．
17.【答案】解：列表如下：
由表可知共种可能得结果；
这个游戏对双方公平，理由如下：
小红赢得游戏的概率，小明赢得游戏概率，
，
这个游戏对双方公平．
【解析】根据题意列表得出所有等可能的情况数即可；
由分别计算他们两个获胜的概率，比较其大小，可知游戏是否公平．
本题考查的是游戏公平性的判断．解题的关键是熟知：判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
18.【答案】
【解析】解：【画图操作】光源的位置及第三根旗杆在该灯光下的影长如图所示；
【数学思考】如图所示，等高的物体垂直地面时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长，所以小明的影长从到的变化是先越来越短再越来越长；
故答案为：；
【解决问题】，
∽，∽，
，，
又，
，
，，，，
，
，，
，
解得：；
灯杆的高度为．
【画图操作】根据中心投影，直接画图即可；
【数学思考】等高的物体垂直地面时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长；
【解决问题】根据相似三角形的性质即可解答．
本题考查了中心投影，相似三角形的性质的应用等，把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性质对应边成比例就可以求出结果．
19.【答案】解：将代入一次函数中得：，

将代入反比例函数中得：，
反比例函数的表达式为；
设点的坐标为，则，
，点到直线的距离为，
的面积，
解得：或或或，
点不与点重合，且
，
又

点的坐标为．
【解析】先求出点的坐标，然后利用待定系数法将代入反比例函数解析式中即可求出其表达式；
设点的坐标为，用表示出的面积，从而列出关于的方程，解方程即可．
本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的表达式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积．本题属于中考常考题型．
20.【答案】解：如图，作于，

，．
在中，，即，
，
答：遮阳棚前端到墙面的距离约为；
解：如图，作于，于，延长交于，则，

四边形，四边形是矩形，
由得，
，
在中，，即，
，
由题意得：，
，
，
在中，，即，
，
，
答：遮阳棚在地面上的遮挡宽度的长约为．
【解析】作于，在中，根据列式计算即可；
作于，于，延长交于，则，可得四边形，四边形是矩形，解直角三角形求出，可得，然后在中，解直角三角形求出，进而可得的长．
本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，作出合适的辅助线，构造出直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
21.【答案】答案不唯一
【解析】解：已知：平分；；是的中点．
求证：．
证明：平分，
，
，
，
，
，
是的中点，
，
故答案为：；答案不唯一；
四边形是正方形，
理由如下：，平分，
，，
，
，，
，
四边形为平行四边形，
，
，
四边形为平行四边形，
，，
平行四边形为正方形．
根据题意写出已知、求证，根据角平分线的定义、平行线的性质得到，得到，根据等腰三角形的性质证明；
先证明四边形为平行四边形，再根据正方形的判定定理证明．
本题考查的是正方形的判定、等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．
22.【答案】解：由题意得，抛物线的对称轴是直线，
又顶点纵坐标为，
．
可设抛物线的函数关系式为．
又抛物线过，
．
．
抛物线的函数关系式为．
，，轴，
．
抛物线的对称轴是直线．
可设抛物线的函数关系式为．
又抛物线过，，
．
，．
抛物线的函数关系式为．
当时，取，


．
又，
当时，的值最大为．
答：当时，抛物线与的最大间距为．
【解析】依据题意，抛物线的对称轴是直线，又顶点纵坐标为，从而可设抛物线的函数关系式为求出即可得解；又，，轴，从而抛物线的对称轴是直线，结合抛物线过，，计算可以得解；
当时，取，作差，再依据二次函数的性质求出最大值可以得解．
本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
23.【答案】
【解析】解：四边形为矩形，
，，，
，，
．
沿直线翻折，点与点重合，
．
由题意得：，
，．
，，
∽，
，
，
．
故答案为：；
由知：∽，
，
，
．
，
，．
四边形为平行四边形，
，，
，
．
当点在上时，
，，
∽，
，
，
．
由知：，．
由题意得：，
四边形为平行四边形，
平行四边形的面积的面积，
．
，
，，
．
点从点出发，沿向点匀速运动，速度为每秒个单位，
．
．
利用折叠的性质得到，利用相似三角形的判定与性质得到关于的方程，解方程即可得出结论；
利用中的方法求得，再利用平行四边形的性质得到的长度，利用相似三角形的判定与性质得到关于的方程，解方程即可得出结论；
利用平行四边形的面积的面积，利用三角形的面积公式求得的面积即可；利用，，列出关于的不等式组即可得出的取值范围．
本题主要考查了矩形的性质，直角三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，本题是动点问题，利用含的代数式表示出相应线段的长度是解题的关键．
转盘
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