甘肃省平凉市庄浪县紫荆中学2023-2024学年高三上学期第一次模拟考试数学试题（含答案）

这是一份甘肃省平凉市庄浪县紫荆中学2023-2024学年高三上学期第一次模拟考试数学试题（含答案），共7页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合A={-1,1,2,4},B={x||x-1|≤1},则A∩B= ( )
A．{-1,2} B．{1,2} C．{1,4} D．{-1,4}
2．若p：x2－4＜0，q：lg2x＜1，则p是q的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3．已知a>b,则下列不等式中一定成立的是 ( )
A．< B．a2>b2 C．ln a>ln b D．2a-b>1
4．方程|x2-2x|=a2+1(a>0)的解的个数是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知a＝0.22，b＝30.3，c＝lg40.4，则（ ）
A.a＜b＜c B.b＜c＜a C.c＜a＜b D.c＜b＜a
6．函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
7．溶液酸碱度是通过pH计量的.pH的计算公式为pH＝－lg[H＋]，其中[H＋]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/ 升，已知胃酸中氢离子的浓度为[H＋]＝2.5×10－2摩尔/ 升，则胃酸的pH约为（参考数据：lg 2≈0.301）（ ）

8．已知函数 在上单调递减，则的取值范围( )
A．B．C．D．
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9．已知x>0, y>0, 且2x+y=2, 则下列说法中正确的是 ( )
A．xy的最大值为 B．4x2+y2的最大值为2 C．4x+2y的最小值为4 D． + 的最小值为4
10．已知函数f(x)=则下列结论正确的是 ( )
A．f(x)在R上为增函数 B．f(e)>f(2)
C．若f(x)在(a,a+1)上单调递增,则a≤-1或a≥0 D．当x∈[-1,1] 时,f(x)的值域为[1,2]
11．函数的定义域为，值域为，下列结论中一定成立的结论是( )
A． B．C． D．
12．已知是定义在上的奇函数，且函数为偶函数，则下列结论正确的是( )
A．函数的图象关于直线对称 B．当时，的零点有6个
C． D．若，则
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中横线上)
13．已知函数，则______．
14．已知幂函数f（x）＝mxn的图象过点（，2），设a＝f（m），b＝f（n），c＝f（ln 2），则a、b、c的大小用小于号连接为____________．
15．若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是____________．
16．已知函数，且函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是______．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)设
（1）求实数的值及的定义域；
（2）求在区间上的最大值.
18．(本小题满分12分)盒中有 4 个球，分别标有数字 1、1、2、3，从中随机取 2 个球．
(1) 求取到 2 个标有数字 1 的球的概率；
(2) 设 X 为取出的 2 个球上的数字之和，求随机变量 X 的分布列及数学期望．
19．(本小题满分12分) 已知等比数列的各项均为正值，是、的等差中项，，记．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设数列的前项和为，证明：．
20．(本小题满分12分)在 △ABC 中，角 A、B、C 所对应的边分别为 、、c，其中 b = 2．
(1) 若 A + C = 120°， = 2c，求边长c；
(2) 若 A C = 15°， =csinA，求 △ABC 的面积．
21．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，CD⊥AD，AD＝CD＝2BC＝2，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD．
(1)求证：CD⊥PA；
(2)求二面角C­PA­D余弦值．
22.(本小题满分12分)已知函数是奇函数．
（1）求实数，的值；
（2）若对任意实数，都有成立．求实数的取值范围．
参考答案
单选题：BBDBC DDB
多选题：ACD BC ACD AC
填空题：-1 c＜a＜b [1,2] (1,2]
解答题：
17.解：（1）∵f（1）＝2，∴lga4＝2（a＞0，且a≠1），
∴a＝2.
由得－1＜x＜3，
∴函数f（x）的定义域为（－1，3）.
（2）f（x）＝lg2（1＋x）＋lg2（3－x）＝lg2[（1＋x）（3－x）]＝lg2[－（x－1）2＋4]，
∴当x∈[0，1]时，f（x）单调递增；
当x∈时，f（x）单调递减，
故函数f（x）在上的最大值是f（1）＝lg24＝2.

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20.
21.[解] (1)证明：在四棱锥P­ABCD中，
因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
又因为CD⊥AD，CD⊂平面ABCD，
所以CD⊥平面PAD，
因为PA⊂平面PAD，
所以CD⊥PA．
(2)取AD中点O，连接OP，OB，
因为PA＝PD，所以PO⊥AD．
因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
因为PO⊂平面PAD，所以PO⊥平面ABCD，所以PO⊥OA，PO⊥OB．
因为CD⊥AD，BC∥AD，AD＝2BC，所以BC∥OD，BC＝OD，
所以四边形OBCD是平行四边形，所以OB⊥AD．
如图建立空间直角坐标系O­xyz，
则Oeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，0))，Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，0，0))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，2，0))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，2，0))，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，0，0))，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，1)).
eq \(AC,\s\up8(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，2，0))，eq \(AP,\s\up8(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，0，1)).
设平面PAC的法向量为n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，y，z))，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(AC,\s\up8(→))·n＝0，,\(AP,\s\up8(→))·n＝0.))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2x＋2y＝0，,－x＋z＝0.)) 令x＝1，则y＝1，z＝1，所以n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，1，1)).
因为平面PAD的法向量eq \(OB,\s\up8(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，2，0))，
所以cs〈n，eq \(OB,\s\up8(→))〉＝eq \f(n·\(OB,\s\up8(→)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(n))\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(OB,\s\up8(→)))))＝eq \f(\r(3),3)，
由图可知二面角C­PA­D为锐二面角，
所以二面角C­PA­D的余弦值为eq \f(\r(3),3).
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