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苏科版八年级下册9.2 中心对称与中心对称图形习题
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这是一份苏科版八年级下册9.2 中心对称与中心对称图形习题，共10页。试卷主要包含了下列说法错误的是，故答案为等内容，欢迎下载使用。
一．选择题(共30分)
1.下列各组图形中,△A'B'C'与△ABC成中心对称的是( )
A. B. C. D.
2.下面的图形是用数学家名字命名的,其中既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )
A.赵爽弦图 B.笛卡儿心形线 C.科克曲线 D.斐波那契螺旋线
第2题图 第3题图
3.已知△ABC和△DEF关于点O成中心对称,相应的对称点如图所示,则下列结论正确的是( )
A.AO=BO B.BO=EO C.点A关于点O的对称点是点D D.点D在BO的延长线上
4.下列说法错误的是( )
A.线段是中心对称图形,对称中心是线段中点
B.中心对称图形一定有对称轴
C.中心对称图形上任意一对对应点连线都经过对称中心,且被对称中心平分
D.过对称中心的任意一条直线,将中心对称图形的面积平分
5.在平面直角坐标系中,点(3,2)关于原点对称的点的坐标是( )
A.(2,3) B.(-3,2) C.(-3,-2) D.(-2,-3)
6.三个全等的等边三角形按图1所示的位置摆放,现添加一个完全相同的等边三角形,使四个等边三角形组成一个中心对称图形(如图2),则添加的等边三角形所放置的位置是( )
A.① B.② C.③ D.④
图1图2
第6题图 第7题图 第8题图
7.如图，已知△ABC与△CDA关于点O对称，过O任作直线EF分别交AD，BC于点E，F.
下面的结论：①点E和点F，点B和点D是关于中心O的对称点；②直线BD必经过点O；
③四边形ABCD是中心对称图形；④四边形DEOC与四边形BFOA的面积必相等；⑤△AOE与△COF成中心对称.其中正确的个数为( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
8．如图，线段AB与线段CD关于点P对称，若点A（a，b）、B（5，1）、D（﹣3，﹣1），则点C的坐标为（ ）
A．（﹣a，﹣b） B．（﹣a+2，﹣b） C．（﹣a﹣1，﹣b+1） D．（﹣a+1，﹣b﹣1）
9．已知如图四张牌，若将其中一张牌旋转180°后得到的牌仍是其本身，则旋转的牌是( )
第9题图 第10题图
10．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标分别为（2，1），（6，1），∠BAC＝90°，AB＝AC，直线AB交y轴于点P，若△ABC与△A′B′C′关于点P成中心对称，则点A′的坐标为（ ）
A．（﹣4，﹣5）B．（﹣5，﹣4）C．（﹣3，﹣4）D．（﹣4，﹣3）
二．填空题(共30分)
11．如图是一个4×4的正方形网格，把其中一个标有数字的白色小正方形涂黑，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图形，则这个白色小正方形内的数字是________．
第11题图 第12题图 第13题图 第14题图 第15题图
12．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'关于D（﹣1，0）成中心对称．已知点A的坐标为（﹣3，﹣2），则点A'的坐标是_________.
13．如图四边形ABCD是中心对称图形，对称中心为点O，过点O的直线分别与AD，BC交于点E，F，则图中相等的线段有_____对.
14．如图在平面直角坐标系中，若△ABC与△A1B1C1关于点E成中心对称，则对称中心点E的坐标是_________.
15．如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，有以下结论：①点A与点A′是对称点；②BO＝B′O；③AB∥A′B′；④∠ACB＝∠C′A′B′．其中正确结论为 ．
16.如图,直线a垂直b于点O,曲线C为以点O为对称中心的中心对称图形,点A的对称点是点A',AB⊥a于点B,A'D⊥b于点D.若OB=3,OD=2,则阴影部分的面积为 .
第16题图 第17题图 第19题图 第20题图
17．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，以AB、AC为邻边作平行四边形ABDC．若点E、F分别在边AC、BD上运动，且EF平分▱ABDC的面积，当线段EF取最小时，AE的值为 ．
18．已知，点A（a，1）和点B（3，b）关于点（5，0）成中心对称，则a+b的值为 ．
19．如图两个“心”形有一个公共点O，且点C，O，E在同一条直线上，OC＝OE＝OD，下列说法中正确的是_______.
①这两个“心”形关于点O成中心对称；②点C，E是以点O为对称中心的一对对称点；③这两个“心”形成轴对称，对称轴是过点O且与直线AB垂直的直线和直线AB；④若把这两个“心”形看作一个整体，则它又是一个中心对称图形．
20．如甲图所示是飞镖型地漏实物图，图中正方形地漏处正方形地砖的正中心，各边与正方形地砖相互平行，它们的四周设计按甲图的实线切开，可以形成4块全等的“飞镖”型地砖．乙图是它的结构图，切割线AF＝4，且AB∥EF，∠ABG＝60°，则地漏正方形EFGH的面积为 ．
三．解答题（60分）
21.（6分）图①、图②、图③都是由边长为1的小等边三角形构成的网格,每个小等边三角形的顶点称为格点,各图中已有两个小等边三角形涂上了灰色.
(1)在图①中,再涂灰两个小等边三角形,使得整个涂色部分图形为轴对称图形,但不是中心对称图形;
(2)在图②中,再涂灰两个小等边三角形,使得整个涂色部分图形为中心对称图形,但不是轴对称图形;
(3)在图③中,再涂灰两个小等边三角形,使得整个涂色部分图形既是中心对称图形,又是轴对称图形.
图① 图② 图③
22.（6分）如图在由边长为1的小正方形组成的方格纸中，有两个全等的三角形，即△A1B1C1和△A2B2C2.
(1)请你指出在方格纸内如何运用平移、旋转变换，将△A1B1C1重合到△A2B2C2上；
(2)在方格纸中将△A1B1C1经过怎样的变换后可以与△A2B2C2成中心对称？画出变换后的三角形并标出对称中心．
23．（6分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△A'BD与△ACD关于点D成中心对称．（1）直接写出图中所有相等的线段．
（2）若AB＝5，AC＝3，求线段AD的取值范围．
24．（8分）如图，已知△ABM与△ACM关于直线AF成轴对称，△ABE与△DCE关于点E成中心对称，点E，D，M都在线段AF上，BM的延长线交CF于点P．
（1）求证：AC＝CD；
（2）若∠BAC＝2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．
25．（10分）数学兴趣小组活动时，提出了如下问题：如图1，在△ABC中若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．
解决方法：延长AD到E．使得DE＝AD．再连接BE（或将MCD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD）．把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4．
感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
迁移应用：请参考上述解题方法，证明下列命题：
如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．
（1）求证：BE+CF＞EF；
（2）若∠A＝90°，探索线段BE，CF，EF之间的等量关系，并加以证明．
26.（12分）如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC,且A(-3,2),B(-1,4),C(0,2).
(1)画出与△ABC关于点O成中心对称的△A1B1C1;
(2)平移△ABC得到△A2B2C2,若点A的对应点A2的坐标为(-5,-2),则点B的对应点的坐标是 ;
(3)将△ABC以点O为旋转中心顺时针旋转90°,直接写出旋转后点A的对应点的坐标;
(4)若将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2,请直接写出旋转中心的坐标: .
27．（12分）【知识背景】：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分．
（1）如图①，直线m经过平行四边形ABCD对角线的交点O，则S四边形AEFB S四边形DEFC（填“＞”“＜”“＝”）；
（2）如图②，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分；
（3）八个大小相同的正方形如图③所示摆放，求作直线将整个图形分成面积相等的两部分（用三种方法分割）．
教师样卷
一．选择题(共30分)
1.下列各组图形中,△A'B'C'与△ABC成中心对称的是( D )
A. B. C. D.
2.下面的图形是用数学家名字命名的,其中既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( C )
A.赵爽弦图 B.笛卡儿心形线 C.科克曲线 D.斐波那契螺旋线
第2题图 第3题图
3.已知△ABC和△DEF关于点O成中心对称,相应的对称点如图所示,则下列结论正确的是(D)
A.AO=BO B.BO=EO C.点A关于点O的对称点是点D D.点D在BO的延长线上
4.下列说法错误的是( B )
A.线段是中心对称图形,对称中心是线段中点
B.中心对称图形一定有对称轴
C.中心对称图形上任意一对对应点连线都经过对称中心,且被对称中心平分
D.过对称中心的任意一条直线,将中心对称图形的面积平分
5.在平面直角坐标系中,点(3,2)关于原点对称的点的坐标是( C )
A.(2,3) B.(-3,2) C.(-3,-2) D.(-2,-3)
6.三个全等的等边三角形按图1所示的位置摆放,现添加一个完全相同的等边三角形,使四个等边三角形组成一个中心对称图形(如图2),则添加的等边三角形所放置的位置是( D)
A.① B.② C.③ D.④
图1图2
第6题图 第7题图 第8题图
7.如图，已知△ABC与△CDA关于点O对称，过O任作直线EF分别交AD，BC于点E，F.
下面的结论：①点E和点F，点B和点D是关于中心O的对称点；②直线BD必经过点O；
③四边形ABCD是中心对称图形；④四边形DEOC与四边形BFOA的面积必相等；⑤△AOE与△COF成中心对称.其中正确的个数为( D )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
8．如图，线段AB与线段CD关于点P对称，若点A（a，b）、B（5，1）、D（﹣3，﹣1），则点C的坐标为（ B ）
A．（﹣a，﹣b） B．（﹣a+2，﹣b） C．（﹣a﹣1，﹣b+1） D．（﹣a+1，﹣b﹣1）
9．已知如图四张牌，若将其中一张牌旋转180°后得到的牌仍是其本身，则旋转的牌是( A)
第9题图 第10题图
10．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标分别为（2，1），（6，1），∠BAC＝90°，AB＝AC，直线AB交y轴于点P，若△ABC与△A′B′C′关于点P成中心对称，则点A′的坐标为（ A ）
A．（﹣4，﹣5）B．（﹣5，﹣4）C．（﹣3，﹣4）D．（﹣4，﹣3）
二．填空题(共30分)
11．如图是一个4×4的正方形网格，把其中一个标有数字的白色小正方形涂黑，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图形，则这个白色小正方形内的数字是_____3___．
第11题图 第12题图 第13题图 第14题图 第15题图
12．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'关于D（﹣1，0）成中心对称．已知点A的坐标为（﹣3，﹣2），则点A'的坐标是___（1，2）______.
13．如图四边形ABCD是中心对称图形，对称中心为点O，过点O的直线分别与AD，BC交于点E，F，则图中相等的线段有__5___对.
14．如图在平面直角坐标系中，若△ABC与△A1B1C1关于点E成中心对称，则对称中心点E的坐标是___(3，－1)______.
15．如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，有以下结论：①点A与点A′是对称点；②BO＝B′O；③AB∥A′B′；④∠ACB＝∠C′A′B′．其中正确结论为 ①②③ ．
解：∵△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，∴△ABC≌△A′B′C′，∴点A与点A′是对称点，BO＝B′O，AB∥A′B′，故①②③正确，
16.如图,直线a垂直b于点O,曲线C为以点O为对称中心的中心对称图形,点A的对称点是点A',AB⊥a于点B,A'D⊥b于点D.若OB=3,OD=2,则阴影部分的面积为 6 .
解：如图,作AE⊥b于点E,则四边形ABOE为长方形.∵曲线C是以点O为对称中心的中心对称图形,点A的对称点是A',A'D⊥b,∴图形①与图形②面积相等,∴阴影部分的面积=长方形ABOE的面积=3×2=6.故答案为6.
第16题图 第17题图 第19题图 第20题图
17．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，以AB、AC为邻边作平行四边形ABDC．若点E、F分别在边AC、BD上运动，且EF平分▱ABDC的面积，当线段EF取最小时，AE的值为 ．
解：如图，∵EF平分▱ABDC的面积，∴EF经过BC的中点O，当EF⊥AC时，EF的值最小，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，∴AC＝＝＝，
∵∠OCE＝∠ACB，∠OEC＝∠ABC＝90°，∴AE＝AC﹣EC＝﹣＝．
18．已知，点A（a，1）和点B（3，b）关于点（5，0）成中心对称，则a+b的值为 6 ．
解：∵点A（a，1）和点B（3，b）关于点（5，0）成中心对称，
∴，解得，，∴a+b＝6，故答案为：6．
19．如图两个“心”形有一个公共点O，且点C，O，E在同一条直线上，OC＝OE＝OD，下列说法中正确的是___①②③④_____.
①这两个“心”形关于点O成中心对称；②点C，E是以点O为对称中心的一对对称点；③这两个“心”形成轴对称，对称轴是过点O且与直线AB垂直的直线和直线AB；④若把这两个“心”形看作一个整体，则它又是一个中心对称图形．
解：这两个图形成中心对称和轴对称．因为OC＝OE，所以点C，E是以点O为对称中心的一对对称点．把两个“心”形看作一个整体时，它又是一个中心对称图形，所以①②③④的说法都正确．
20．如甲图所示是飞镖型地漏实物图，图中正方形地漏处正方形地砖的正中心，各边与正方形地砖相互平行，它们的四周设计按甲图的实线切开，可以形成4块全等的“飞镖”型地砖．乙图是它的结构图，切割线AF＝4，且AB∥EF，∠ABG＝60°，则地漏正方形EFGH的面积为 16﹣8． ．
解：如图，延长GF交AB于点M．
由题意可知正方形ABCD被分成8个全等的直角三角形，一个正方形EFGH，∵AF＝BG＝4，且AB∥EF，∠ABG＝60°，∴BM＝BG＝2，MG＝BG＝2，∴AB＝2+2，∴地漏正方形EFGH的面积＝（2+2）2﹣8××2×2＝16﹣8，故答案为：16﹣8．
三．解答题（60分）
21.（6分）图①、图②、图③都是由边长为1的小等边三角形构成的网格,每个小等边三角形的顶点称为格点,各图中已有两个小等边三角形涂上了灰色.
(1)在图①中,再涂灰两个小等边三角形,使得整个涂色部分图形为轴对称图形,但不是中心对称图形;
(2)在图②中,再涂灰两个小等边三角形,使得整个涂色部分图形为中心对称图形,但不是轴对称图形;
(3)在图③中,再涂灰两个小等边三角形,使得整个涂色部分图形既是中心对称图形,又是轴对称图形.
图① 图② 图③
解：答案不唯一,根据轴对称和中心对称定义作图即可.
(1)如图①所示,整个涂色部分图形是轴对称图形,但不是中心对称图形.
(2)如图②所示,整个涂色部分图形是中心对称图形,但不是轴对称图形.
(3)如图③所示,整个涂色部分图形既是轴对称图形,又是中心对称图形.
图① 图② 图③
22.（6分）如图在由边长为1的小正方形组成的方格纸中，有两个全等的三角形，即△A1B1C1和△A2B2C2.
(1)请你指出在方格纸内如何运用平移、旋转变换，将△A1B1C1重合到△A2B2C2上；
(2)在方格纸中将△A1B1C1经过怎样的变换后可以与△A2B2C2成中心对称？画出变换后的三角形并标出对称中心．
解：(1)答案不唯一，如将△A1B1C1向上平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，然后绕点C1顺时针旋转90°.
(2)答案不唯一，如将△A1B1C1绕点A1逆时针旋转90°得△A1B3C3，△A1B3C3与△A2B2C2关于点P成中心对称(如图所示)．
23．（6分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△A'BD与△ACD关于点D成中心对称．（1）直接写出图中所有相等的线段．
（2）若AB＝5，AC＝3，求线段AD的取值范围．
解：（1）∵AD是△ABC的中线，∴BD＝DC，∵△A'BD与△ACD关于点D成中心对称∴△A′BD≌△ACD，∴BD＝CD，AD＝A'D，AC＝A'B．
（2）∵AD＝A'D，∴AA'＝2AD，∵AC＝A'B，AC＝3，∴A'B＝3，在ΔAA'B中，AB﹣A'B＜AA'＜AB+A'B，即5﹣3＜2AD＜5+3．
∴1＜AD＜4．
24．（8分）如图，已知△ABM与△ACM关于直线AF成轴对称，△ABE与△DCE关于点E成中心对称，点E，D，M都在线段AF上，BM的延长线交CF于点P．
（1）求证：AC＝CD；
（2）若∠BAC＝2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．
解：（1）证明：（1）∵△ABM与△ACM关于直线AF成轴对称，∴△ABM≌△ACM，∴AB＝AC，又∵△ABE与△DCE关于点E成中心对称，∴△ABE≌△DCE，∴AB＝CD，∴AC＝CD；（2）∠F＝∠MCD．理由：由（1）可得∠BAE＝∠CAE＝∠CDE，∠CMA＝∠BMA，∵∠BAC＝2∠MPC，∠BMA＝∠PMF，∴设∠MPC＝α，则∠BAE＝∠CAE＝∠CDE＝α，设∠BMA＝β，则∠PMF＝∠CMA＝β，∴∠F＝∠CPM﹣∠PMF＝α﹣β，∠MCD＝∠CDE﹣∠DMC＝α﹣β，∴∠F＝∠MCD．
25．（10分）数学兴趣小组活动时，提出了如下问题：如图1，在△ABC中若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．
解决方法：延长AD到E．使得DE＝AD．再连接BE（或将MCD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD）．把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4．
感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
迁移应用：请参考上述解题方法，证明下列命题：
如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．
（1）求证：BE+CF＞EF；
（2）若∠A＝90°，探索线段BE，CF，EF之间的等量关系，并加以证明．
解：（1）证明：如图，延长FD到G，使得DG＝DF，连接BG、EG．（或把△CFD绕点D逆时针旋转180°得到△BGD），∴CF＝BG，DF＝DG，∵DE⊥DF，
∴EF＝EG．在△BEG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．
（2）解：BE2+CF2＝EF2．证明如下：∵∠A＝90°，∴∠EBC+∠FCB＝90°，由（1）知∠FCD＝∠DBG，EF＝EG，∴∠EBC+∠DBG＝90°，即∠EBG＝90°，∴在Rt△EBG中，BE2+BG2＝EG2，∴BE2+CF2＝EF2．
26.（12分）如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC,且A(-3,2),B(-1,4),C(0,2).
(1)画出与△ABC关于点O成中心对称的△A1B1C1;
(2)平移△ABC得到△A2B2C2,若点A的对应点A2的坐标为(-5,-2),则点B的对应点的坐标是 ;
(3)将△ABC以点O为旋转中心顺时针旋转90°,直接写出旋转后点A的对应点的坐标;
(4)若将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2,请直接写出旋转中心的坐标: .
解：(1)如图,△A1B1C1即为所作.
(2)如图,∵点A(-3,2)经过平移后得到点A2(-5,-2),∴△ABC的平移方式为向左平移2个单位长度,再向下平移4个单位长度.点B(-1,4)向左平移2个单位长度,再向下平移4个单位长度后的对应点坐标为(-3,0).故答案为(-3,0).
(3)如图,△A'B'C'是△ABC以点O为旋转中心顺时针旋转90°后得到的图形,∴旋转后点A的对应点的坐标为(2,3).
(4)如图,A1(3,-2),A2(-5,-2),C1(0,-2),C2(-2,-2),连接B1B2,C1C2,分别作B1B2和C1C2的垂直平分线,∵旋转中心为线段B1B2和线段C1C2的垂直平分线的交点,∴旋转中心的坐标为(-1,-2).
故答案为(-1,-2).
27．（12分）【知识背景】：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分．
（1）如图①，直线m经过平行四边形ABCD对角线的交点O，则S四边形AEFB S四边形DEFC（填“＞”“＜”“＝”）；
（2）如图②，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分；
（3）八个大小相同的正方形如图③所示摆放，求作直线将整个图形分成面积相等的两部分（用三种方法分割）．
解：（1）如图①，直线m经过平行四边形ABCD对角线的交点O，则S四边形AEFB＝S四边形DEFC；
（2）如图所示：（3）如图所示：
故答案为：＝．
一．选择题(共30分)
1.下列各组图形中,△A'B'C'与△ABC成中心对称的是( )
A. B. C. D.
2.下面的图形是用数学家名字命名的,其中既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )
A.赵爽弦图 B.笛卡儿心形线 C.科克曲线 D.斐波那契螺旋线
第2题图 第3题图
3.已知△ABC和△DEF关于点O成中心对称,相应的对称点如图所示,则下列结论正确的是( )
A.AO=BO B.BO=EO C.点A关于点O的对称点是点D D.点D在BO的延长线上
4.下列说法错误的是( )
A.线段是中心对称图形,对称中心是线段中点
B.中心对称图形一定有对称轴
C.中心对称图形上任意一对对应点连线都经过对称中心,且被对称中心平分
D.过对称中心的任意一条直线,将中心对称图形的面积平分
5.在平面直角坐标系中,点(3,2)关于原点对称的点的坐标是( )
A.(2,3) B.(-3,2) C.(-3,-2) D.(-2,-3)
6.三个全等的等边三角形按图1所示的位置摆放,现添加一个完全相同的等边三角形,使四个等边三角形组成一个中心对称图形(如图2),则添加的等边三角形所放置的位置是( )
A.① B.② C.③ D.④
图1图2
第6题图 第7题图 第8题图
7.如图，已知△ABC与△CDA关于点O对称，过O任作直线EF分别交AD，BC于点E，F.
下面的结论：①点E和点F，点B和点D是关于中心O的对称点；②直线BD必经过点O；
③四边形ABCD是中心对称图形；④四边形DEOC与四边形BFOA的面积必相等；⑤△AOE与△COF成中心对称.其中正确的个数为( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
8．如图，线段AB与线段CD关于点P对称，若点A（a，b）、B（5，1）、D（﹣3，﹣1），则点C的坐标为（ ）
A．（﹣a，﹣b） B．（﹣a+2，﹣b） C．（﹣a﹣1，﹣b+1） D．（﹣a+1，﹣b﹣1）
9．已知如图四张牌，若将其中一张牌旋转180°后得到的牌仍是其本身，则旋转的牌是( )
第9题图 第10题图
10．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标分别为（2，1），（6，1），∠BAC＝90°，AB＝AC，直线AB交y轴于点P，若△ABC与△A′B′C′关于点P成中心对称，则点A′的坐标为（ ）
A．（﹣4，﹣5）B．（﹣5，﹣4）C．（﹣3，﹣4）D．（﹣4，﹣3）
二．填空题(共30分)
11．如图是一个4×4的正方形网格，把其中一个标有数字的白色小正方形涂黑，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图形，则这个白色小正方形内的数字是________．
第11题图 第12题图 第13题图 第14题图 第15题图
12．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'关于D（﹣1，0）成中心对称．已知点A的坐标为（﹣3，﹣2），则点A'的坐标是_________.
13．如图四边形ABCD是中心对称图形，对称中心为点O，过点O的直线分别与AD，BC交于点E，F，则图中相等的线段有_____对.
14．如图在平面直角坐标系中，若△ABC与△A1B1C1关于点E成中心对称，则对称中心点E的坐标是_________.
15．如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，有以下结论：①点A与点A′是对称点；②BO＝B′O；③AB∥A′B′；④∠ACB＝∠C′A′B′．其中正确结论为 ．
16.如图,直线a垂直b于点O,曲线C为以点O为对称中心的中心对称图形,点A的对称点是点A',AB⊥a于点B,A'D⊥b于点D.若OB=3,OD=2,则阴影部分的面积为 .
第16题图 第17题图 第19题图 第20题图
17．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，以AB、AC为邻边作平行四边形ABDC．若点E、F分别在边AC、BD上运动，且EF平分▱ABDC的面积，当线段EF取最小时，AE的值为 ．
18．已知，点A（a，1）和点B（3，b）关于点（5，0）成中心对称，则a+b的值为 ．
19．如图两个“心”形有一个公共点O，且点C，O，E在同一条直线上，OC＝OE＝OD，下列说法中正确的是_______.
①这两个“心”形关于点O成中心对称；②点C，E是以点O为对称中心的一对对称点；③这两个“心”形成轴对称，对称轴是过点O且与直线AB垂直的直线和直线AB；④若把这两个“心”形看作一个整体，则它又是一个中心对称图形．
20．如甲图所示是飞镖型地漏实物图，图中正方形地漏处正方形地砖的正中心，各边与正方形地砖相互平行，它们的四周设计按甲图的实线切开，可以形成4块全等的“飞镖”型地砖．乙图是它的结构图，切割线AF＝4，且AB∥EF，∠ABG＝60°，则地漏正方形EFGH的面积为 ．
三．解答题（60分）
21.（6分）图①、图②、图③都是由边长为1的小等边三角形构成的网格,每个小等边三角形的顶点称为格点,各图中已有两个小等边三角形涂上了灰色.
(1)在图①中,再涂灰两个小等边三角形,使得整个涂色部分图形为轴对称图形,但不是中心对称图形;
(2)在图②中,再涂灰两个小等边三角形,使得整个涂色部分图形为中心对称图形,但不是轴对称图形;
(3)在图③中,再涂灰两个小等边三角形,使得整个涂色部分图形既是中心对称图形,又是轴对称图形.
图① 图② 图③
22.（6分）如图在由边长为1的小正方形组成的方格纸中，有两个全等的三角形，即△A1B1C1和△A2B2C2.
(1)请你指出在方格纸内如何运用平移、旋转变换，将△A1B1C1重合到△A2B2C2上；
(2)在方格纸中将△A1B1C1经过怎样的变换后可以与△A2B2C2成中心对称？画出变换后的三角形并标出对称中心．
23．（6分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△A'BD与△ACD关于点D成中心对称．（1）直接写出图中所有相等的线段．
（2）若AB＝5，AC＝3，求线段AD的取值范围．
24．（8分）如图，已知△ABM与△ACM关于直线AF成轴对称，△ABE与△DCE关于点E成中心对称，点E，D，M都在线段AF上，BM的延长线交CF于点P．
（1）求证：AC＝CD；
（2）若∠BAC＝2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．
25．（10分）数学兴趣小组活动时，提出了如下问题：如图1，在△ABC中若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．
解决方法：延长AD到E．使得DE＝AD．再连接BE（或将MCD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD）．把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4．
感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
迁移应用：请参考上述解题方法，证明下列命题：
如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．
（1）求证：BE+CF＞EF；
（2）若∠A＝90°，探索线段BE，CF，EF之间的等量关系，并加以证明．
26.（12分）如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC,且A(-3,2),B(-1,4),C(0,2).
(1)画出与△ABC关于点O成中心对称的△A1B1C1;
(2)平移△ABC得到△A2B2C2,若点A的对应点A2的坐标为(-5,-2),则点B的对应点的坐标是 ;
(3)将△ABC以点O为旋转中心顺时针旋转90°,直接写出旋转后点A的对应点的坐标;
(4)若将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2,请直接写出旋转中心的坐标: .
27．（12分）【知识背景】：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分．
（1）如图①，直线m经过平行四边形ABCD对角线的交点O，则S四边形AEFB S四边形DEFC（填“＞”“＜”“＝”）；
（2）如图②，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分；
（3）八个大小相同的正方形如图③所示摆放，求作直线将整个图形分成面积相等的两部分（用三种方法分割）．
教师样卷
一．选择题(共30分)
1.下列各组图形中,△A'B'C'与△ABC成中心对称的是( D )
A. B. C. D.
2.下面的图形是用数学家名字命名的,其中既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( C )
A.赵爽弦图 B.笛卡儿心形线 C.科克曲线 D.斐波那契螺旋线
第2题图 第3题图
3.已知△ABC和△DEF关于点O成中心对称,相应的对称点如图所示,则下列结论正确的是(D)
A.AO=BO B.BO=EO C.点A关于点O的对称点是点D D.点D在BO的延长线上
4.下列说法错误的是( B )
A.线段是中心对称图形,对称中心是线段中点
B.中心对称图形一定有对称轴
C.中心对称图形上任意一对对应点连线都经过对称中心,且被对称中心平分
D.过对称中心的任意一条直线,将中心对称图形的面积平分
5.在平面直角坐标系中,点(3,2)关于原点对称的点的坐标是( C )
A.(2,3) B.(-3,2) C.(-3,-2) D.(-2,-3)
6.三个全等的等边三角形按图1所示的位置摆放,现添加一个完全相同的等边三角形,使四个等边三角形组成一个中心对称图形(如图2),则添加的等边三角形所放置的位置是( D)
A.① B.② C.③ D.④
图1图2
第6题图 第7题图 第8题图
7.如图，已知△ABC与△CDA关于点O对称，过O任作直线EF分别交AD，BC于点E，F.
下面的结论：①点E和点F，点B和点D是关于中心O的对称点；②直线BD必经过点O；
③四边形ABCD是中心对称图形；④四边形DEOC与四边形BFOA的面积必相等；⑤△AOE与△COF成中心对称.其中正确的个数为( D )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
8．如图，线段AB与线段CD关于点P对称，若点A（a，b）、B（5，1）、D（﹣3，﹣1），则点C的坐标为（ B ）
A．（﹣a，﹣b） B．（﹣a+2，﹣b） C．（﹣a﹣1，﹣b+1） D．（﹣a+1，﹣b﹣1）
9．已知如图四张牌，若将其中一张牌旋转180°后得到的牌仍是其本身，则旋转的牌是( A)
第9题图 第10题图
10．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标分别为（2，1），（6，1），∠BAC＝90°，AB＝AC，直线AB交y轴于点P，若△ABC与△A′B′C′关于点P成中心对称，则点A′的坐标为（ A ）
A．（﹣4，﹣5）B．（﹣5，﹣4）C．（﹣3，﹣4）D．（﹣4，﹣3）
二．填空题(共30分)
11．如图是一个4×4的正方形网格，把其中一个标有数字的白色小正方形涂黑，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图形，则这个白色小正方形内的数字是_____3___．
第11题图 第12题图 第13题图 第14题图 第15题图
12．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'关于D（﹣1，0）成中心对称．已知点A的坐标为（﹣3，﹣2），则点A'的坐标是___（1，2）______.
13．如图四边形ABCD是中心对称图形，对称中心为点O，过点O的直线分别与AD，BC交于点E，F，则图中相等的线段有__5___对.
14．如图在平面直角坐标系中，若△ABC与△A1B1C1关于点E成中心对称，则对称中心点E的坐标是___(3，－1)______.
15．如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，有以下结论：①点A与点A′是对称点；②BO＝B′O；③AB∥A′B′；④∠ACB＝∠C′A′B′．其中正确结论为 ①②③ ．
解：∵△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，∴△ABC≌△A′B′C′，∴点A与点A′是对称点，BO＝B′O，AB∥A′B′，故①②③正确，
16.如图,直线a垂直b于点O,曲线C为以点O为对称中心的中心对称图形,点A的对称点是点A',AB⊥a于点B,A'D⊥b于点D.若OB=3,OD=2,则阴影部分的面积为 6 .
解：如图,作AE⊥b于点E,则四边形ABOE为长方形.∵曲线C是以点O为对称中心的中心对称图形,点A的对称点是A',A'D⊥b,∴图形①与图形②面积相等,∴阴影部分的面积=长方形ABOE的面积=3×2=6.故答案为6.
第16题图 第17题图 第19题图 第20题图
17．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，以AB、AC为邻边作平行四边形ABDC．若点E、F分别在边AC、BD上运动，且EF平分▱ABDC的面积，当线段EF取最小时，AE的值为 ．
解：如图，∵EF平分▱ABDC的面积，∴EF经过BC的中点O，当EF⊥AC时，EF的值最小，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，∴AC＝＝＝，
∵∠OCE＝∠ACB，∠OEC＝∠ABC＝90°，∴AE＝AC﹣EC＝﹣＝．
18．已知，点A（a，1）和点B（3，b）关于点（5，0）成中心对称，则a+b的值为 6 ．
解：∵点A（a，1）和点B（3，b）关于点（5，0）成中心对称，
∴，解得，，∴a+b＝6，故答案为：6．
19．如图两个“心”形有一个公共点O，且点C，O，E在同一条直线上，OC＝OE＝OD，下列说法中正确的是___①②③④_____.
①这两个“心”形关于点O成中心对称；②点C，E是以点O为对称中心的一对对称点；③这两个“心”形成轴对称，对称轴是过点O且与直线AB垂直的直线和直线AB；④若把这两个“心”形看作一个整体，则它又是一个中心对称图形．
解：这两个图形成中心对称和轴对称．因为OC＝OE，所以点C，E是以点O为对称中心的一对对称点．把两个“心”形看作一个整体时，它又是一个中心对称图形，所以①②③④的说法都正确．
20．如甲图所示是飞镖型地漏实物图，图中正方形地漏处正方形地砖的正中心，各边与正方形地砖相互平行，它们的四周设计按甲图的实线切开，可以形成4块全等的“飞镖”型地砖．乙图是它的结构图，切割线AF＝4，且AB∥EF，∠ABG＝60°，则地漏正方形EFGH的面积为 16﹣8． ．
解：如图，延长GF交AB于点M．
由题意可知正方形ABCD被分成8个全等的直角三角形，一个正方形EFGH，∵AF＝BG＝4，且AB∥EF，∠ABG＝60°，∴BM＝BG＝2，MG＝BG＝2，∴AB＝2+2，∴地漏正方形EFGH的面积＝（2+2）2﹣8××2×2＝16﹣8，故答案为：16﹣8．
三．解答题（60分）
21.（6分）图①、图②、图③都是由边长为1的小等边三角形构成的网格,每个小等边三角形的顶点称为格点,各图中已有两个小等边三角形涂上了灰色.
(1)在图①中,再涂灰两个小等边三角形,使得整个涂色部分图形为轴对称图形,但不是中心对称图形;
(2)在图②中,再涂灰两个小等边三角形,使得整个涂色部分图形为中心对称图形,但不是轴对称图形;
(3)在图③中,再涂灰两个小等边三角形,使得整个涂色部分图形既是中心对称图形,又是轴对称图形.
图① 图② 图③
解：答案不唯一,根据轴对称和中心对称定义作图即可.
(1)如图①所示,整个涂色部分图形是轴对称图形,但不是中心对称图形.
(2)如图②所示,整个涂色部分图形是中心对称图形,但不是轴对称图形.
(3)如图③所示,整个涂色部分图形既是轴对称图形,又是中心对称图形.
图① 图② 图③
22.（6分）如图在由边长为1的小正方形组成的方格纸中，有两个全等的三角形，即△A1B1C1和△A2B2C2.
(1)请你指出在方格纸内如何运用平移、旋转变换，将△A1B1C1重合到△A2B2C2上；
(2)在方格纸中将△A1B1C1经过怎样的变换后可以与△A2B2C2成中心对称？画出变换后的三角形并标出对称中心．
解：(1)答案不唯一，如将△A1B1C1向上平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，然后绕点C1顺时针旋转90°.
(2)答案不唯一，如将△A1B1C1绕点A1逆时针旋转90°得△A1B3C3，△A1B3C3与△A2B2C2关于点P成中心对称(如图所示)．
23．（6分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△A'BD与△ACD关于点D成中心对称．（1）直接写出图中所有相等的线段．
（2）若AB＝5，AC＝3，求线段AD的取值范围．
解：（1）∵AD是△ABC的中线，∴BD＝DC，∵△A'BD与△ACD关于点D成中心对称∴△A′BD≌△ACD，∴BD＝CD，AD＝A'D，AC＝A'B．
（2）∵AD＝A'D，∴AA'＝2AD，∵AC＝A'B，AC＝3，∴A'B＝3，在ΔAA'B中，AB﹣A'B＜AA'＜AB+A'B，即5﹣3＜2AD＜5+3．
∴1＜AD＜4．
24．（8分）如图，已知△ABM与△ACM关于直线AF成轴对称，△ABE与△DCE关于点E成中心对称，点E，D，M都在线段AF上，BM的延长线交CF于点P．
（1）求证：AC＝CD；
（2）若∠BAC＝2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．
解：（1）证明：（1）∵△ABM与△ACM关于直线AF成轴对称，∴△ABM≌△ACM，∴AB＝AC，又∵△ABE与△DCE关于点E成中心对称，∴△ABE≌△DCE，∴AB＝CD，∴AC＝CD；（2）∠F＝∠MCD．理由：由（1）可得∠BAE＝∠CAE＝∠CDE，∠CMA＝∠BMA，∵∠BAC＝2∠MPC，∠BMA＝∠PMF，∴设∠MPC＝α，则∠BAE＝∠CAE＝∠CDE＝α，设∠BMA＝β，则∠PMF＝∠CMA＝β，∴∠F＝∠CPM﹣∠PMF＝α﹣β，∠MCD＝∠CDE﹣∠DMC＝α﹣β，∴∠F＝∠MCD．
25．（10分）数学兴趣小组活动时，提出了如下问题：如图1，在△ABC中若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．
解决方法：延长AD到E．使得DE＝AD．再连接BE（或将MCD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD）．把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4．
感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
迁移应用：请参考上述解题方法，证明下列命题：
如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．
（1）求证：BE+CF＞EF；
（2）若∠A＝90°，探索线段BE，CF，EF之间的等量关系，并加以证明．
解：（1）证明：如图，延长FD到G，使得DG＝DF，连接BG、EG．（或把△CFD绕点D逆时针旋转180°得到△BGD），∴CF＝BG，DF＝DG，∵DE⊥DF，
∴EF＝EG．在△BEG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．
（2）解：BE2+CF2＝EF2．证明如下：∵∠A＝90°，∴∠EBC+∠FCB＝90°，由（1）知∠FCD＝∠DBG，EF＝EG，∴∠EBC+∠DBG＝90°，即∠EBG＝90°，∴在Rt△EBG中，BE2+BG2＝EG2，∴BE2+CF2＝EF2．
26.（12分）如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC,且A(-3,2),B(-1,4),C(0,2).
(1)画出与△ABC关于点O成中心对称的△A1B1C1;
(2)平移△ABC得到△A2B2C2,若点A的对应点A2的坐标为(-5,-2),则点B的对应点的坐标是 ;
(3)将△ABC以点O为旋转中心顺时针旋转90°,直接写出旋转后点A的对应点的坐标;
(4)若将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2,请直接写出旋转中心的坐标: .
解：(1)如图,△A1B1C1即为所作.
(2)如图,∵点A(-3,2)经过平移后得到点A2(-5,-2),∴△ABC的平移方式为向左平移2个单位长度,再向下平移4个单位长度.点B(-1,4)向左平移2个单位长度,再向下平移4个单位长度后的对应点坐标为(-3,0).故答案为(-3,0).
(3)如图,△A'B'C'是△ABC以点O为旋转中心顺时针旋转90°后得到的图形,∴旋转后点A的对应点的坐标为(2,3).
(4)如图,A1(3,-2),A2(-5,-2),C1(0,-2),C2(-2,-2),连接B1B2,C1C2,分别作B1B2和C1C2的垂直平分线,∵旋转中心为线段B1B2和线段C1C2的垂直平分线的交点,∴旋转中心的坐标为(-1,-2).
故答案为(-1,-2).
27．（12分）【知识背景】：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分．
（1）如图①，直线m经过平行四边形ABCD对角线的交点O，则S四边形AEFB S四边形DEFC（填“＞”“＜”“＝”）；
（2）如图②，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分；
（3）八个大小相同的正方形如图③所示摆放，求作直线将整个图形分成面积相等的两部分（用三种方法分割）．
解：（1）如图①，直线m经过平行四边形ABCD对角线的交点O，则S四边形AEFB＝S四边形DEFC；
（2）如图所示：（3）如图所示：
故答案为：＝．
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