30，北京市第二中学2023-2024学年高三下学期开学考试数学试卷()

这是一份30，北京市第二中学2023-2024学年高三下学期开学考试数学试卷()，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题人： 得分：____
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．选出符合题目要求的一项）
1．设集合，则（ ）．
A． B． C． D．
2．若复数是纯虚数，则在复平面中的共轭复数对应的点坐标是（ ）．
A． B． C． D．
3．若，则（ ）．
A．1 B．2 C． D．
4．己知，且，若，则（ ）．
A． B．
C． D．
5．在中，边上的高等于，则（ ）．
A． B． C． D．
6．设是无穷数列，，则“是等比数列”是“是等比数列”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．随着北京中轴线申遗工作的进行，古建筑备受关注．故宫不仅是世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构古建筑之一，更是北京中轴线的“中心”．左图是古建筑之首的太和殿，它的重檐庑殿顶可近似看作如图所示的几何体，其中底面是矩形，，四边形是两个全等的等腰梯形，是两个全等的等腰三角形，若，则该几何体的体积为（ ）．
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8．已知双曲线的右顶点为M，以M为圆心，双曲线C的半焦距为半径的圆与双曲线C的一条渐近线相交于两点，若，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
9．平面直角坐标系中，定点A的坐标为，其中，若当点B在圆上运动时，的最大值为0，则（ ）．
A．的最小值为 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最小值为
10．设数列的前n项和为，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得,下列正确的命题是（ ）
①可能为等差数列； ②可能为等比数列；
③均能写成的两项之差；
④对任意，总存在，使得．
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
11．抛物线的焦点坐标为_________，准线方程为__________．
12．己知向量在向量上的投影向量，且，则__________．
13．己知直线（m为常数）与圆交于点，当k变化时，若的最小值为2，则________．
14．已知函数（是常数，）．若在区间上具有单调性，且，则的值为_________．
15．已知函数，给出下列四个结论：
①若有最小值，则a的取值范围是；
②当时，若无实根，则t的取值范围是；
③当时，不等式的解集为；
④当时，若存在，满足，则．其中，所有正确结论的序号为________．
三、解答题（共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骡或证明过程）
16．（本小题满分13分）在中，．
（I）求B的值；（Ⅱ）给出以下三个条件：①；②；③，若这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题：
（i）求的值；
（ii）求的角平分线的长．
17．（本小题满分14分）某工厂的机器上有一种易损元件A，这种元件在使用过程中发生损坏时，需要送维修处维修．工厂规定当日损坏的元件A在次日早上之前送到维修处，并要求维修人员当日必须完成所有损坏元件A的维修工作．每个工人独立维修A元件需要时间相同．维修处记录了某月从1日到20日每天维修元件A的个数，具体数据如下表：
从这20天中随机选取一天，随机变量X表示在维修处该天元件A的维修个数．
（I）求X的分布列与数学期望；（Ⅱ）若且，求最大值；
（Ⅲ）目前维修处有两名工人从事维修工作，为使每个维修工人每天维修元件A的个数的数学期望不超过4个，至少需要增加几名维修工人？（只需写出结论）
18．（本小题满分14分）在三棱柱中，，平面平面分别为棱的中点，如图：
（I）求证：平面；
（II）若，
①求与平面所成角的正弦值；
②求线段在平面内的投影的长．
19．（本小题满分15分）已知分别是椭圆的左、右焦点，且焦距为2，动弦平行于x轴，且．
（I）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设为椭圆E的左右顶点，P为直线上的一动点（点P不在x轴上），连接交椭圆于C点，连接并延长交椭圆于D点，试问是否存在，使得成立，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
20．（本小题满分14分）已知函数．
（I）求曲线在点处的切线的方程；
（Ⅱ）若函数在处取得极大值，求a的取值范围；
（Ⅲ）若函数存在最小值，直接写出a的取值范围（只需写出结论）．
21．（本小题满分15分）
已如无穷数列满足，其中表示中最大的数，表示中最小的数．
（I）当时，写出的所有可能值；
（Ⅱ）若数列中的项存在最大值，证明：0为数列中的项；
（Ⅲ）若，是否存在正实数M，使得对任意的正整数n，都有?
如果存在，写出一个满足条件的M；如果不存在，说明理由．日期
1日
2日
3日
4日
5日
6日
7日
8日
9日
10日
元件A
个数
9
15
12
18
12
18
9
9
24
12
日期
11日
12日
13日
14日
15日
16日
17日
18日
19日
20日
元件A
个数
12
24
15
15
15
12
15
15
15
24