49，江苏省天一中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷

这是一份49，江苏省天一中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，且，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合是集合的子集，结合集合中元素的互异性求解即可.
【详解】集合，，
由于，则实数的取值范围是
故选：B．
2. 已知点是第二象限的点，则的终边位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】点在第二象限，根据坐标特征得的符号，即可得所在象限.
【详解】因为点在第二象限，所以，，所以为第二象限角.
故选：B
3. 若，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据指数函数的性质化简“”，得到的结论与“”加以比较，可得到答案．
【详解】根据指数函数是上的增函数，
可知等价于，即，您看到的资料都源自我们平台，家威鑫 MXSJ663 免费下载 因为“”是“”的充要条件，
所以“”是“”的充要条件．
故选：C.
4. 已知函数为上的奇函数，当时，，则的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先由奇偶性求出的解析式，再由指数函数单调性求解不等式得解.
【详解】函数为上的奇函数，当时，，
则当时，，有，显然，
不等式转化或，解得或，
所以不等式的解集为.
故选：C
5. 已知点在幂函数的图象上，设，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】把点代入幂函数的解析式求出的值，进而可得在上单调递减，再结合对数函数的性质可知，从而比较出，，的大小．
【详解】点在幂函数的图象上，
，，
，在上单调递减，
，，，
，
，即
故选：D.
6. 函数的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性、特殊点的函数值确定正确答案.
【详解】由解得，所以的定义域为，
，
所以是奇函数，图象关于原点对称，由此排除BC选项.
，由此排除D选项.
故选：A
7. 若关于的方程在内有两个不同的解，，的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】原问题等价于在内有两个不同的解，，利用正弦函数的性质可求得，进而可得答案．
【详解】在内有两个不同的解，，
等价于在内有两个不同的解，，
，则
依题意，得 ，解得，
所以.
故选：B
8. 已知函数，若存在，，，满足，且，，则的最小值为（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】由正弦函数的有界性可得，对任意，，，2，3，，，都有，要使取得最小值，尽可能多让，2，3，，取得最高点，然后作图可得满足条件的最小值．
【详解】解：对任意，，，2，3，，，
都有，
要使取得最小值，尽可能多让，2，3，，取得最高点，
考虑，，
按下图取值即可满足条件，
的最小值为8．
故选：．
二、多选题：本题共4小题，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 下列说法正确是（ ）
A. 若角与角不相等，则与的终边不可能重合
B. 若圆心角为的扇形的弧长为，则扇形的面积为
C. 终边落在直线上的角的集合是
D. 函数的定义域为
【答案】BCD
【解析】
【分析】由任意角的定义可判断A；由扇形的面积公式可判断B；由终边相同角的定义可判断C；由正切函数的定义域可判断D.
【详解】对于A，若角与角不相等，则与的终边也可能重合，如，，A错误；
对于B，扇形所在圆半径，因此扇形的面积为，B正确；
对于C，终边落在直线上的角的集合是，C正确；
对于D，由正切函数的定义域，得，即，，
因此函数的定义域为，D正确．
故选：BCD
10. 设正实数，满足，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小值为2B. 的最小值为1
C. 的最大值为4D. 的最小值为2
【答案】AD
【解析】
【分析】根据，结合基本不等式可判断A；根据基本不等式可判断B；可判断C；根据可判断D.
【详解】对于A，因为，，
所以
，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为2，故A正确；
对于B，，当且仅当时等号成立，
所以的最大值为1，故B错误；
对于C，，当且仅当时等号成立，
所以，即的最大值为2，故C错误；
对于D，，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为2，故D正确.
故选:AD.
11. 主动降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与振幅相同的反相位声波来抵消噪声，已知某噪声的声波曲线，且经过点，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数是奇函数
B. 函数在区间上单调递减
C. ，使得
D. ，存在常数使得
【答案】ABD
【解析】
【分析】由经过可求出的解析式，利用奇偶性定义可判断A；利用正弦函数的单调性可判断B；求的值可判断D，利用，分、、，三种情况求的化简式可判断C．
【详解】因为经过，
所以，即，，解得，，
又，所以，则，
对于A，，
时，令，可得，
故为奇函数，所以A正确；
对于B，时，，
对于在上单调递减，可得在上单调递减，
所以B正确；
对于D，
，
所以恒，即存在常数m=0，所以D正确；
对于C，当，时，，
当，时，，
当，时，
，所以C错误．
故答案为：ABD.
【点睛】关键点睛：对于C选项的关键点是利用，分、、，三种情况求的化简式.
12. 若时，不等式恒成立，则实数可取下面哪些值（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】由排除法和对数的运算性质，对各个选项一一判断可得正确答案．
【详解】当时，时，，不等式不恒成立，
故A错误；
当时，不等式即为，当，，时，
原不等式恒成立；时，原不等式恒成立，故B正确；
当时，不等式即为，当，，时，
原不等式恒成立；时，原不等式恒成立，故C正确；
当时，不等式即为，当时，，，
原不等式不恒成立，故D错误．
故选：BC.
【点睛】关键点点睛：解题的关键点举例解决不等式恒成立问题，以及对数的运算性质的运用．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知函数，则的定义域为______．
【答案】
【解析】
【分析】先求出函数定义域，进而根据复合函数的定义域，即可求解．
【详解】由题意得，，解得，
令，则，
故的定义域为.
故答案为：
14. 在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点，则_________．
【答案】
【解析】
【详解】由正切函数的定义可得，借助正切函数的二倍角公式计算即可得.
【点睛】由角终边经过点，故，则.
故答案为：.
15. 某杀菌剂每喷洒一次就能杀死某物质上的细菌的，要使该物质上的细菌少于原来的，则至少要喷洒______次
【答案】
【解析】
【分析】可设喷洒次，根据题意可得出，代入即可求出，从而得出答案．
【详解】设喷洒次，则：，
，
，且，
，
，即至少喷洒次．
故答案为：
16. 已知函数，若对任意的，，当时，恒成立，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】将问题转化为对任意的，当时，恒成立，不妨设，将问题转化为在单调递减，再结合利用正弦函数的性质求出的取值范围．
【详解】，
由，
得，
所以，
所以，
因为对任意的，当时，恒成立，
所以对任意的，
当时，恒成立，
，
不妨设，则问题转化成在单调递减，
所以，其中，解得，
所以的取值范围为.
故答案为：
【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件；二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论；三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 已知集合，，，其中
（1）若；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出集合，，，利用交集定义能求出；
（2）由，，得，由此能求出的取值范围．
【小问1详解】
集合或，
，
，
；
【小问2详解】
，，其中
，解得，
的取值范围是
18. （1）已知是关于的方程的一个实根，且是第一象限角，求的值；
（2）已知，且，求的值．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
分析】（1）解方程，求出，利用同角三角函数关系式能求出结果．
（2）由且，得，从而，再由，能求出结果．
【详解】（1）解方程，得，，
是关于的方程的一个实根，且是第一象限角，则，
（2），且，
，则，而，
则，故，
19. 已知.
（1）求函数在上的单调增区间；
（2）将函数的图象向左平移个单位，再对图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象，若函数的图象关于直线对称，求取最小值时的的解析式．
【答案】19. ，
20.
【解析】
【分析】（1）由题意，利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再根据正弦函数的单调性，得出结论．
（2）由题意，利用函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得的解析式．
【小问1详解】
由于，
令，，求得，，
可得函数的增区间为，.
【小问2详解】
将函数的图象向左平移个单位，可得的图象；
再对图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象．
若函数的图象关于直线对称，
则，，即，
令，求得取最小值为，此时，
20. 已知函数
（1）当时，求该函数的值域；
（2）若对于恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】由对数的运算性质和换元法，结合二次函数的最值求法，可得所求值域；
由题意可得，恒成立，运用换元法和参数分离，以及二次函数的图象和性质，解不等式可得所求范围．
【小问1详解】
，
令，则函数化为，，
因此当时，取得最小值，
当时，，取得最大值0，
即当时，函数取得最小值；当时，函数取得最大值0，
可得函数的值域为；
【小问2详解】
，恒成立，
即，恒成立，
令，则，恒成立，
令，，
则，
解得，
所以实数的取值范围为
21. 深圳别称“鹏城”，“深圳之光”摩天轮是中国之眼游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色如图，游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要，其中心距离地面，半径如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，经过时间单位：之后，请解答下列问题．
（1）求出你与地面的距离单位：与时间之间的函数解析式；
（2）当你登上摩天轮后，你的朋友也在摩天轮最低处登上摩天轮，求两人距离地面的高度差单位：关于的函数解析式，并求高度差的最大值．
【答案】（1）
（2）,.
【解析】
【分析】（1）分析题意，建立直角坐标系后，确定数学模型，分别求出即得；
（2）根据题意，设出两人距离地面的高度得到关于的函数解析式，经过三角恒等变换，化成正弦型函数，利用正弦型函数的性质即可求得.
【小问1详解】
如图，设摩天轮最低处为点,以摩天轮中心为原点，与地面平行的直线为轴，建立直角坐标系.依题意，点，以为终边的角为，
因摩天轮每转一圈需要，则摩天轮转动的角速度为，由题意可得：；
【小问2详解】
设朋友登上摩天轮的时间为，其与地面的距离为，
则我已在摩天轮上的时间为，我与地面的距离为，
故，
由可知：，故当或时，，
即在或时，两人距离地面的高度差最大，为.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查数学建模和三角恒等变换、正弦型函数的性质的应用,属于难题.解决实际应用的问题，关键在于建立坐标系后，对实际问题的分析理解，找到适合的数学模型，求出参数值，再运用该模型解决实际应用问题.
22. 设函数，
（1）当时，判断的奇偶性，并说明理由；
（2）当时，若对任意的，均有成立，求的最大值．
【答案】（1）非奇非偶函数；理由见解析
（2）
【解析】
【分析】由题意得当时，函数，且函数的定义域为，利用函数奇偶性的定义进行判定，即可得出答案；
讨论去绝对值，然后讨论，以及对称轴与区间的位置关系，可求出与的关系式，然后分别求出的最大值，从而可求出所求．
【小问1详解】
由题意得当时，函数，且函数的定义域为，
，
，，
是非奇非偶函数；
【小问2详解】
因为当时，若对任意的，
均有成立，
令，
当时，，对任意的恒成立，
即，解得，的最大值为；
当时，，，
对称轴为，
，则，不等号方向改变，即，
所以，则，的最大值为；
时，，即，所以，即，无解；
时，，所以，即，
即，所以无解；
当时，，，
对称轴为，
，则，即，无解；
时，，即，，，则，
则，
，最大值为；
时，，，，
则且，
，则，的最大值为；
当时，，
，，，
即，则，
而，
，则，
令，，
则，即在上单调递减，在上单调递增，
又，，
所以的最大值为
综上所述，对任意的，均有成立，
则的最大值为所有最大值中的最小值
【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的判定，以及函数恒成立问题，同时考查了分类讨论的数学思想和转化的能力，属于难题．