09，广东省深圳市翠园文锦中学2023-2024 学年九年级下学期月考数学试题

这是一份09，广东省深圳市翠园文锦中学2023-2024 学年九年级下学期月考数学试题，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，和“建”字所在面相对的面上的字是（ ）
A. 跟B. 百C. 走D. 年
【答案】B
【解析】
【分析】正方体平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，据此作答．
【详解】∵正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，
∴在此正方体上与“建”字相对的面上的汉字是“百”．
故选B．
【点睛】本题考查了正方体的展开图形，解题关键是从相对面入手进行分析及解答问题．
2. 我国传统文化中的“福禄寿喜”，这四个图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，熟知轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合是解题的关键．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A、不是轴对称也不是中心对称图形，故该选项不符合题意，
B、是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意，
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意，
D、不是轴对称也不是中心对称图形，故该选项不符合题意，
故答案为：B
3. 根据统计，某奥林匹克旗舰店销售额从 2 月初开始猛增，在开幕式 2 月 4 日当天达到最高值，达到 您看到的资料都源自我们平台，家威杏 MXSJ663 免费下载1160万元．其中数据 1160 万用科学记数法表示为（ ）
A. 0.116×104万B. 1.16×103万C. 11.6×102万D. 116×10 万
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【详解】1160万用科学记数法表示为万，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中1≤|a|＜10，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．
4. 下列运算中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，同底数幂的除法运算法则求解即可．
【详解】解：A． ，原式结果错误；
B． ，原式结果正确；
C． ，原式结果错误；
D． ，原式结果错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，同底数幂的除法的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．
5. 不等式的解在数轴上的表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出不等式的解集，再表示在数轴上即可．
详解】解：∵，
∴，
在数轴上表示为：
，
故选：B．
【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，以及解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解本题的关键．要注意把每个不等式的解集在数轴上表示出来的方法（＞，≥向右画；＜，≤向左画），在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圈表示．
6. 关于一元二次方程根的情况，下列说法中正确的是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用一元二次方程根的判别式即可得．
【详解】解：
其中，，，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．
7. 如图，点A的坐标为（1，3），点B在x轴上，把沿x轴向右平移到，若四边形ABDC的面积为9，则点C的坐标为（ ）
A. （1，4）B. （3，4）C. （3，3）D. （4，3）
【答案】D
【解析】
【分析】根据平移的性质得出四边形ABDC是平行四边形，从而得A和C的纵坐标相同，根据四边形ABDC的面积求得AC的长，即可求得C的坐标．
【详解】解：∵把△OAB沿x轴向右平移到△ECD，
∴四边形ABDC是平行四边形，
∴AC=BD，A和C的纵坐标相同，
∵四边形ABDC的面积为9，点A的坐标为（1，3），
∴3AC=9，
∴AC=3，
∴C（4，3），
故选：D．
【点睛】本题考查了坐标与图形的变换-平移，平移的性质，平行四边形的性质，求得平移的距离是解题的关键．
8. 如图，点C在以AB为直径的圆上，则BC＝（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆周角定理得出∠ACB=90°，根据三角函数的定义求出BC即可．
【详解】解：连接AC，
∵AB是⊙的直径，
∴∠ACB=90°，
∵sinB=，csB=，tanB=，
∴AC=AB•sinB，BC=AB•csB，AC=BC•tanB，
观察四个选项，选项B正确，
故选；B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
9. 二次函数的图象与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先分析二次函数的图像的开口方向即对称轴位置，而一次函数的图像恒过定点，即可得出正确选项．
【详解】二次函数的对称轴为，一次函数的图像恒过定点，所以一次函数的图像与二次函数的对称轴的交点为，只有A选项符合题意．
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质，解决本题的关键是能推出一次函数的图像恒过定点，本题蕴含了数形结合的思想方法等．
10. 如图，在矩形ABCD中，AD＝AB，∠BAD的平分线交BC于点E．DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①AD＝AE；②∠AED＝∠CED；③OE＝OD；④BH＝HF；⑤BC－CF＝2HE，其中正确的有（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】D
【解析】
【分析】根据角平分线的定义可得∠BAE=∠DAE=45°，然后求出△ABE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AE=AB，从而得到AE=AD即可判断① ；由AE=AD得到∠AED=∠ADE，再由AD∥BC，即可得到∠ADE=∠CED，即可判断② ；证明ABE≌△AHD即可推出AB＝BE＝AH＝HD，由三角形内角和定理得到∠ADE＝∠AED＝（180°－∠DAE）＝67.5°，∠ADH=∠DAH=45°，∠CED＝∠AED＝67.5°，∠AHB=∠ABH＝（180°－∠BAH）＝67.5°，从而推出∠OHE＝67.5°＝∠AED，得到OE＝OH，再由∠DHO＝∠DHE-∠OHE＝22.5°，∠ODH＝∠ADE-∠ADH＝22.5°，推出OH＝OD，即可判断③ ；再证明△BEH≌△HDF得到BH＝HF，HE＝DF即可判断④ ；再由HE＝AE－AH＝BC－CD，得到BC－CF＝BC－（CD－DF）＝BC－（CD－HE）＝（BC－CD）＋HE＝HE＋HE＝2HE即可判断⑤．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABE=90°，AD∥BC
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝∠BAD＝45°，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB＝45°，
∴∠AEB＝∠BAE＝45°，
∴AB＝BE，
∴，
∵
∴AD＝AE，故①正确；
∴∠AED=∠ADE，
∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠CED，
∴∠AED=∠CED，故②正确；
∵DH⊥AE，
∴∠AHD=∠ABE=90°
在△ABE和△AHD中，
，
∴△ABE≌△AHD（AAS），
∴BE＝DH，
∴AB＝BE＝AH＝HD，
∴∠ADE＝∠AED＝（180°－∠DAE）＝67.5°，∠ADH=∠DAH=45°
∴∠CED＝∠AED＝67.5°，
∵AB＝AH，
∵∠AHB=∠ABH＝（180°－∠BAH）＝67.5°，∠OHE＝∠AHB（对顶角相等），
∴∠OHE＝67.5°＝∠AED，
∴OE＝OH，
∵∠DHO＝∠DHE-∠OHE＝22.5°，∠ODH＝∠ADE-∠ADH＝22.5°，
∴∠DHO＝∠ODH，
∴OH＝OD，
∴OE＝OD＝OH，故③正确；
∵∠EBH＝∠ABE-∠ABH＝22.5°，
∴∠EBH＝∠OHD，
在△BEH和△HDF中，
，
∴△BEH≌△HDF（ASA），
∴BH＝HF，HE＝DF，故④正确；
∵HE＝AE－AH＝BC－CD，
∴BC－CF＝BC－（CD－DF）＝BC－（CD－HE）＝（BC－CD）＋HE＝HE＋HE＝2HE．故⑤正确；
故选D．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 分解因式：=___________________________．
【答案】2a（x+2）（x﹣2）．
【解析】
【分析】
【详解】试题分析：原式=2a（x2-4） =2a（x+2）（x﹣2）．故答案为2a（x+2）（x﹣2）．
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
12. 如图，AB∥CD，∠ABE=120°，∠DCE=110°，则∠BEC=______°．
【答案】50
【解析】
【分析】两直线平行，同旁内角互补以及内错角相等，在作辅助线后，根据这两条性质即可解答．
【详解】解：如图，过点E作EF∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠FEB=∠ABE，
∵∠ABE=120°，
∴∠FEB=∠ABE=120°，
∵EF∥CD，∠DCE=110°，
∴∠FEC+∠DCE=180°，
∴∠FEC=180°-∠DCE=70°，
∴∠BEC=∠FEB-∠FEC=50°．
故答案为：50．
【点睛】此题主要考查平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补及内错角相等．
13. 从，，1，2中任选两个数作为中的k和b，则该函数图象不经过第三象限的概率是_________.
【答案】
【解析】
【分析】将k，b所有的组合情况列举出来，然后根据一次函数图像位置与系数的关系，找出图像不经过第三象限的k和b的组合，然后利用概率的计算公式进行计算即可.
【详解】
如图，k、b的取值共有12种等可能的结果；
而一次函数y=kx+b的图象不经过第三象限，则k＜0，b≥0，
∴满足条件的k、b的取值有（-2，1），（-2，2），（-1，1），（-1，2）
∴一次函数y=kx+b的图象不经过第三象限的概率=
故答案为.
【点睛】本题考查了一次函数图像位置与系数的关系以及概率的计算方法，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握一次函数系数和图像位置的关系.
14. 如图 ，点 A 是反比例函数（k≠0，x<0）图象上的一点，经过点 A 的直线与坐标轴分别交于点C和点D，过点A作AB⊥y轴于点B，，连接BC，若△BCD的面积为2，则k的值为_____．
【答案】﹣6
【解析】
【分析】过点A作AE⊥x轴于点E，证明四边形AEOB是矩形，由k的几何意义知＝｜k｜，由△BCD的面积为2，，得到△OCD的面积为4，再证明△ABD∽△COD，，得到，进一步求得△ABC的面积为3，由，即可求得｜k｜＝6，由反比例函数图像所在象限，即可得到k的值．
【详解】解：过点A作AE⊥x轴于点E，则∠AEO＝90°，
∵AB⊥y轴，OB⊥x轴
∴∠AEO＝∠BOE＝∠ABO＝90°，
∴四边形AEOB是矩形
∴ABx轴
∴ ＝｜k｜
∵△BCD的面积为2，
∴△COD的面积为4，
∵∠ABD＝∠COD＝90°，∠ADB＝∠CDO
∴△ABD∽△COD，
∴
∴
∴，
∴＝｜k｜＝6
∵反比例函数（k≠0，x<0）图象在第二象限
∴k ＜0
∴ k＝-6
故答案：﹣6
【点睛】此题考查了反比例函数（k≠0）中k的几何意义，还考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是抓住＝｜k｜进行求解．
15. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠B＝90°，BA＝BC，D为BC上一点，且BD＝3，E为AD上一点，连接CE，∠CED＝45°，CE＝AE，则CE＝_______
【答案】．
【解析】
【分析】连结BE，将射线CE逆时针旋转45°，交AD延长线于G，连结BG，利用三角函数CG= ，由，可得CG=AE，可证△ABE≌△CBG（SAS），再证△EBG为等腰直角三角形，可证△BDG∽CDE，求出CD=6，在Rt△BCE中，由勾股定理可求CE．
【详解】解：连结BE，将射线CE逆时针旋转45°，交AD延长线于G，连结BG，
∵∠GEC=45°，∠ECG=45°，
∴∠EGC=90°，EG=CG，
∴EG=CG=CEsin45°=，
∴CG=，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠BCA=45°，
∴∠BAE+∠EAC=∠EAC+∠ACE=∠ACE+∠ECD=∠ECD+∠BCG=45°，
∴∠BAE=∠ACE=∠BCG，∠EAC=∠ECB，
在△BAE和△BCG中，
，
∴△ABE≌△CBG（SAS），
∴BE=BG，∠ABE=∠CBG，
∴∠EBG=∠EBC+∠CBG=∠EBC+∠ABE=∠ABC=90°，
∴△EBG为等腰直角三角形，
∴∠BEG=∠BGE=45°，
∴∠BGE=∠CEG=45°，
∵∠GDB=∠EDC，
∴△BDG∽CDE，
∴，
∵BG=EG×cs45°=CE×cs45°×cs45°=，
∴，
∴CD=6
∴BC=BD+CD=3+6=9，
设BE=BG==x，
∴CE=2x，
在Rt△BEC中，由勾股定理得BC2=BE2+CE2，
即，
解得，
∴CE=，
故答案为：．
【点睛】本题考查图形旋转，构造等腰直角三角形，特殊角锐角三角函数，三角形全等判定与性质，等腰直角三角形判定与性质，相似三角形判定与性质，勾股定理，一元二次方程，直接开平方法解一元二次方程，掌握图形旋转，构造等腰直角三角形，特殊角锐角三角函数，三角形全等判定与性质，等腰直角三角形判定与性质，相似三角形判定与性质，勾股定理，一元二次方程，直接开平方法解一元二次方程是解题关键．
三、解答题（本题共7小题，其中第16题5分，第17题7分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分）
16. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，绝对值，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【详解】解：原式
．
17. 化简求值：，其中．
【答案】，1
【解析】
【详解】利用分式的混合运算法则进行化简，再将带入即可求解．
解：原式
，
当时，．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
18. 某工厂进行厂长选拔，从中抽出一部分人进行筛选，其中有“优秀”，“良好”，“合格”，“不合格”．
（1）本次抽查总人数为 ，“合格”人数的百分比为 ．
（2）补全条形统计图．
（3）扇形统计图中“不合格人数”的度数为 ．
（4）在“优秀”中有甲乙丙三人，现从中抽出两人，则刚好抽中甲乙两人的概率为 ．
【答案】（1）50人，；
（2）见解析 （3）
（4）
【解析】
【分析】（1）由优秀人数及其所占百分比可得总人数，根据百分比之和为1可得合格人数所占百分比；
（2）总人数乘以不合格人数所占百分比求出其人数，从而补全图形；
（3）用乘以样本中“不合格人数”所占百分比即可得出答案；
（4）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：本次抽查的总人数为（人，
“合格”人数的百分比为，
故答案为：50人，；
【小问2详解】
解：不合格人数为：；
补全图形如下：
【小问3详解】
解：扇形统计图中“不合格”人数的度数为，
故答案为：；
【小问4详解】
解：列表如下：
由表知，共有6种等可能结果，其中刚好抽中甲乙两人的有2种结果，
所以刚好抽中甲乙两人的概率为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率、扇形统计图与条形统计图的关联，读懂统计图中的信息、画出树状图或列表是解题的关键．
19. 某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本．已知甲种类型的笔记本的单价比乙种类型的要便宜1元，且用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样．
（1）求甲乙两种类型笔记本的单价．
（2）该学校打算购买甲乙两种类型笔记本共100件，且购买的乙的数量不超过甲的3倍，则购买的最低费用是多少?
【答案】（1）甲类型的笔记本单价为11元，乙类型的笔记本单价为12元
（2）最低费用为1101元
【解析】
【分析】（1）设甲类型的笔记本单价为x元，则乙类型的笔记本为元．列出方程即可解答；
（2）设甲类型笔记本购买了a件，最低费用为w，列出w关于a的函数，利用一次函数的增减性进行解答即可．
【小问1详解】
设甲类型的笔记本单价为x元，则乙类型的笔记本为元．
由题意得：
解得：
经检验是原方程的解，且符合题意．
∴乙类型的笔记本单价为：（元）．
答：甲类型的笔记本单价为11元，乙类型的笔记本单价为12元．
【小问2详解】
设甲类型笔记本购买了a件，最低费用为w，则乙类型笔记本购买了件．
由题意得：．
∴．
．
∵，
∴当a越大时w越小．
∴当时，w最小，最小值为（元）．
答：最低费用为1101元．
【点睛】此题考查了分式方程的应用，以及一次函数的应用，掌握分式方程的应用，以及一次函数的应用是解题的关键．
20. 如图，在单位长度为1的网格中，点O，A，B均在格点上，，，以O为圆心，为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题：
①过点A作切线，且（点C在A的上方）；
②连接，交于点D；
③连接，与交于点E．
（1）求证：为的切线；
（2）求的长度．
【答案】（1）画图见解析，证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意作图，首先根据勾股定理得到，然后证明出，得到，即可证明出为的切线；
（2）首先根据全等三角形的性质得到，然后证明出，利用相似三角形的性质求解即可．
【小问1详解】
如图所示，
∵是的切线，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∵点D在上，
∴为的切线；
【小问2详解】
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴解得．
【点睛】此题考查了格点作图，圆切线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
21. 蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．
如图1，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，取中点，过点作线段的垂直平分线交抛物线于点，若以点为原点，所在直线为轴，为轴建立如图所示平面直角坐标系．请回答下列问题：

（1）如图2，抛物线的顶点，求抛物线的解析式；
（2）如图3，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，若，求两个正方形装置的间距的长；
（3）如图4，在某一时刻，太阳光线透过点恰好照射到点，此时大棚截面的阴影为，求的长．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意得和，结合对称轴利用待定系数法即可求得解析式，
（2）根据题意得点的纵坐标为，即可求得点R的横坐标，结合题意得的横坐标，则有点的横坐标，即可求得；
（3）利用待定系数法求得直线的解析式为，根据题意设直线的解析式为，联立方程组得，由于抛物线与直线相切，则有，解得m，即可求得．
【小问1详解】
解：抛物线的顶点坐标为，且经过点，
设抛物线的解析式为，
将点代入得，解得，
抛物线的函数解析式为：；
【小问2详解】
∵，
∴点的纵坐标为，
将代入得，
解得，（舍），
的横坐标为1，
四边形是正方形，
的横坐标为，
点的横坐标为，
；
【小问3详解】
如图，取最右侧光线与抛物线切点为，

设直线的解析式为，将点及点代入，
得，
解得，
直线的解析式为：，
设直线的解析式为：，
由得，即，
抛物线与直线相切，
该方程有两个相等的实数根，
，
解得，
直线的解析式为：，
令直线中的得，
即，
．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，涉及待定系数法求解析式、正方形的性质、解一元二次方程以及一元二次方程根的情况，解题的关键是熟练二次函数的性质和点的几何意义．
22. （1）【探究发现】如图①所示，在正方形中，为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于点．求证：
（2）【类比迁移】如图②，在矩形中，为边上一点，且将沿翻折到处，延长交边于点延长交边于点且求的长．
（3）【拓展应用】如图③，在菱形中，，为边上的三等分点，将沿翻折得到，直线交于点求的长．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）的长为或
【解析】
【分析】（1）根据将沿翻折到处，四边形是正方形，得，，即得，可证；
（2）延长，交于，设，在中，有，得，，由，得，，，而，，可得，即，，设，则，因，有，即解得的长为；
（3）分两种情况：（Ⅰ）当时，延长交于，过作于，设，，则，，由是的角平分线，有①，在中，②，可解得，；
（Ⅱ）当时，延长交延长线于，过作交延长线于，同理解得，．
【详解】证明：（1）将沿翻折到处，四边形是正方形，
，，
，
，，
；
（2）解：延长，交于，如图：
设，
在中，，
，
解得，
，
，，
，
，即，
，，
，，
，，
，即，
，
设，则，
，
，
，即，
解得，
的长为；
（3）（Ⅰ）当时，延长交于，过作于，如图：
设，，则，
，
，
，
，
沿翻折得到，
，，，
是的角平分线，
，即①，
，
，，，
在中，，
②，
联立①②可解得，
；
（Ⅱ）当时，延长交延长线于，过作交延长线于，如图：
同理，
，即，
由得：，
可解得，
，
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查四边形的综合应用，涉及全等三角形的判定，相似三角形的判定与性质，三角形角平分线的性质，勾股定理及应用等知识，解题的关键是方程思想的应用．甲
乙
丙
甲
（乙，甲）
（丙，甲）
乙
（甲，乙）
（丙，乙）
丙
（甲，丙）
（乙，丙）