30，广东省惠州市河南岸中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题

这是一份30，广东省惠州市河南岸中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题，综合探究等内容，欢迎下载使用。
1. 下列各数中，最大的是（ ）
A. B. 0C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先化简绝对值，然后把选项中的4个数按从小到大排列，即可得出最大的数．
【详解】∵，
∴，
∴最大的数是2．
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的大小比较，一般地，正数大于零，零大于负数，两个负数，绝对值大的反而小．
2. 泸州市2022年全市地区生产总值（）为2601.5亿元，将数据260150000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数时，为正整数；当原数时，为负整数．
【详解】解：260150000000．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了科学记数法的表示形式，正确确定和的值是解题关键．
3. 如图， ，且，，则等于（ ）您看到的资料都源自我们平台，家威杏 MXSJ663 免费下载
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】可求，再由，即可求解．
【详解】解：，
，
，
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，掌握三角形外角的性质是解题的关键．
4. 下列交通标志图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故B选项符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查单项式乘单项式，积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，根据运算法则，对每一个选项进行计算排除即可．解答的关键是熟练掌握相应的运算法则及其应用．
【详解】A、与不是同类项，不可以合并，故选项计算错误，不符合题意；
B、，故选项计算正确，符合题意；
C、与不是同类项，不可以合并，故选项计算错误，不符合题意；
D、，故选项计算错误，不符合题意；
故选：．
6. “今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”是《孙子算经》卷中著名数学问题．意思是：鸡兔同笼，从上面数，有35个头；从下面数，有94条腿．问鸡兔各有多少只？若设鸡有只，兔有只，则所列方程组正确的是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由设鸡有只，兔有只，则由等量关系有35个头和有94条腿列出方程组即可得到答案．
【详解】解：设鸡有只，兔有只，则由题意可得
，
故选：B．
【点睛】本题考查列二元一次方程组解决古代数学问题，读懂题意，找准等量关系列方程组是解决问题的关键．
7. 如图1，小亮家､报亭､羽毛球馆在一条直线上．小亮从家跑步到羽毛球馆打羽毛球，再去报亭看报，最后散步回家．小亮离家距离y与时间x之间的关系如图2所示．下列结论错误的是（ ）

A. 小亮从家到羽毛球馆用了分钟B. 小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟走米
C. 报亭到小亮家的距离是米D. 小亮打羽毛球的时间是分钟
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数图象，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. 从函数图象可得出，小亮从家到羽毛球馆用了分钟，故该选项正确，不符合题意；
B. （米/分钟），
即小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟走米，故该选项正确，不符合题意；
C. 从函数图象可得出，报亭到小亮家的距离是米，故该选项正确，不符合题意；
D. 小亮打羽毛球的时间是分钟，故该选项不正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了函数图象，理解函数图像上点的坐标的实际意义，数形结合是解题的关键．
8. 关于 一元二次方程 的根的情况是（ ）
A. 没有实数根B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 实数根的个数与实数 的取值有关
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
【详解】解：∵，
∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，故C正确．
故选：C．
9. 如图，内接于，是的直径，连接，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由是的直径，得出，进而根据同弧所对的圆周角相等，得出，进而即可求解．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
10. 如图，边长为6的正方形中，M为对角线上的一点，连接并延长交于点P．若，则的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据正方形的性质、三角形全等的判定证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后利用勾股定理、含30度角的直角三角形的性质求解即可得．
【详解】解：四边形是边长为6的正方形，
，
在和中，，
，
，
，
，
，
又，
，
设，则，，
，
解得，
，，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握正方形的性质是解题关键．
二、填空题（每题3分，共计15分）
11. 8的立方根为_________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴8的立方根是2，
故答案为：2．
12. 在“庆五四·展风采”的演讲比赛中，7位同学参加决赛，演讲成绩依次为：77，80，79，77，80，79，80．这组数据的中位数是___________．
【答案】79
【解析】
【分析】根据有序数组中间的一个数据或中间两个数据的平均数是中位数计算即可．
【详解】将这组数据从小到大排列为：77，77，79，79，80，80，80，
中间数据是79，
故中位数是79．
故答案为：79．
【点睛】本题考查了中位数的定义，熟练掌握定义是解题的关键．
13. 分解因式：x3﹣6x2+9x=___．
【答案】x（x﹣3）2
【解析】
【详解】解：x3﹣6x2+9x
=x（x2﹣6x+9）
=x（x﹣3）2
故答案为：x（x﹣3）2
14. 在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则的值是___________．
【答案】1
【解析】
【分析】根据关于原点对称的两个点，横、纵坐标互为相反数，进行解答即可．
【详解】解：∵点与点关于原点对称，
∴．
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了关于原点对称的两个点的坐标特点，解题的关键是熟练掌握关于原点对称的两个点，横、纵坐标互为相反数．
15. 若点都在反比例函数的图象上，则_______（填“”或“”）．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意求得，，进而即可求解．
【详解】解：∵点都在反比例函数的图象上，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了比较反比例函数值，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
三、解答题（共计75分）
解答题（一） 16-20题，每题5分，共计25分
16. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】先化简绝对值，零指数幂，有理数的乘方，再进行计算即可求解．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握化简绝对值，零指数幂，有理数的乘方是解题的关键．
17. 如图，在平行四边形中，点E，F分别在边，上，且，连接，，求证：．

【答案】证明见解析
【解析】
【分析】证法一：根据平行四边形的性质可得，，从而证明，即可得出结论；
证法二：根据平行四边形的性质可得，，再由，利用等量代换即可得出结论．
【详解】证法一：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴；
证法二：∵四边形是平行四边形．
∴，．
∵，
∴
即，
∴四边形是平行四边形．
∴．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形形的性质是解题的关键．
18. 某校组织七年级学生到江姐故里研学旅行，租用同型号客车4辆，还剩30人没有座位；租用5辆，还空10个座位．求该客车的载客量．
【答案】该客车的载客量为40人
【解析】
【分析】设该客车的载客量为人，由题意知，，计算求解即可．
【详解】解：设该客车的载客量为人，
由题意知，，
解得，，
∴该客车的载客量为40人．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．解题的关键在于根据题意正确的列方程．
19. 化简：．
【答案】
【解析】
【分析】先计算括号内的，通分后利用同分母的分式运算法则求解，然后将除法变成乘法，约分即可得到结果．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查分式的化简求值，掌握相关运算法则和运算顺序是解决问题的关键．
20. 若关于的方程两根的倒数和为1，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系即可求出答案．掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
【详解】解：设方程的两个根分别为a，b，
由题意得：，，
∴，
∴，解得：，
经检验：是分式方程的解，
检验：，
∴符合题意，
∴．
解答题（二） 21-23题，共26分
21. 某校举办“我劳动，我快乐，我光荣”活动．为了解该校九年级学生周末在家的劳动情况，随机调查了九年级1班的所有学生在家劳动时间（单位：小时），并进行了统计和整理绘制如图所示的不完整统计图．根据图表信息回答以下问题：

（1）九年级1班的学生共有___________人，补全条形统计图；
（2）若九年级学生共有800人，请估计周末在家劳动时间在3小时及以上的学生人数；
（3）已知E类学生中恰好有2名女生3名男生，现从中抽取两名学生做劳动交流，请用列表或画树状图的方法，求所抽的两名学生恰好是一男一女的概率．
【答案】（1）50，条形统计图见解析
（2）人
（3）
【解析】
【分析】（1）利用C类人数除以对应的百分比即可得到九年级1班的总人数，再分别求出B和D的人数，补全统计图即可；
（2）用九年级学生总人数乘以九年级1班周末在家劳动时间在3小时及以上的学生占的比值即可得到答案；
（3）根据题意列出表格，利用满足要求的情况数除以总的情况数即可得到答案．
【小问1详解】
解：由题意得到，（人），
故答案为：50
类别B的人数为（人），类别D的人数为（人），
补全条形统计图如下：
【小问2详解】
由题意得，（人），
即估计周末在家劳动时间在3小时及以上的学生人数为人；
【小问3详解】
列表如下：
由表格可知，共有20种等可能的情况，其中一男一女共有12种，
∴所抽的两名学生恰好是一男一女的概率是．
【点睛】此题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联、用树状图或列表法求概率、样本估计总体等知识，熟练掌握用树状图或列表法求概率、样本估计总体是解题的关键．
22. 端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克．根据以上信息，解答下列问题：
（1）该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？
（2）如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）节后每千克A粽子的进价为10元
（2）节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润为3000元
【解析】
【分析】（1）设节后每千克A粽子的进价为x元，则每千克A粽子节前的进价为元，根据节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克，列出方程，解方程即可；
（2）设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进千克A粽子，获得的利润为w元，根据利润售价进价列出关系式，根据总费用不超过4600元，求出m的范围，根据一次函数函数增减性，求出最大利润即可．
【小问1详解】
解：设节后每千克A粽子的进价为x元，则每千克A粽子节前的进价为元，根据题意得：
，
解得：，，
经检验，都是原方程的解，但不符合实际舍去，
答：节后每千克A粽子的进价为10元．
【小问2详解】
解：设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进千克A粽子，获得的利润为w元，根据题意得：
，
∵，
∴，
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴当时，w取最大值，且最大值为：，
答：节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润为3000元．
【点睛】本题主要考查了分式方程和一次函数的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程和关系式．
23. 如图，以为直径的上有两点、，，过点作直线交的延长线于点，交的延长线于点，过作平分交于点，交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查切线的判定与性质，圆周角定理及其推论，等腰三角形判定与性质，解题的关键是掌握切线的判定与性质和等腰三角形的判定与性质．
（1）连接，由，得，可得，，又，故，是的切线；
（2）先连接，然后证明，，可得，即可求解；
【小问1详解】
证明：连接，如图：
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
【小问2详解】
证明：如图：连接，
由（1）知是的切线，
，
为的直径，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
．
四、综合探究（每题12分，共计24分）
24. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点，顶点A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上．

（1）分别求反比例函数的表达式和直线所对应的一次函数的表达式；
（2）在x轴上是否存在一点P，使周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），
（2）在x轴上存在一点，使周长的值最小,最小值是．
【解析】
【分析】（1）过点A作轴于点E，过点B作轴于点D，证明，则，由得到点A的坐标是，由A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上得到，解得，得到点A的坐标是，点B的坐标是，进一步用待定系数法即可得到答案；
（2）延长至点，使得，连接交x轴于点P，连接，利用轴对称的性质得到，，则，由知是定值，此时的周长为最小，利用待定系数法求出直线的解析式，求出点P的坐标，再求出周长最小值即可．
小问1详解】
解：过点A作轴于点E，过点B作轴于点D，
则，

∵点，，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点A的坐标是，
∵A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上．
∴，
解得，
∴点A的坐标是，点B的坐标是，
∴，
∴反比例函数的解析式是，
设直线所对应的一次函数的表达式为，把点A和点B的坐标代入得，
，解得,
∴直线所对应的一次函数的表达式为，
【小问2详解】
延长至点，使得，连接交x轴于点P，连接，

∴点A与点关于x轴对称，
∴，，
∵，
∴的最小值是的长度，
∵，即是定值，
∴此时的周长为最小，
设直线的解析式是，
则，
解得，
∴直线的解析式是，
当时，，解得，
即点P的坐标是，
此时，
综上可知，在x轴上存在一点，使周长的值最小，最小值是．
【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数的图象和性质、用到了待定系数法求函数解析式、勾股定理求两点间距离、轴对称最短路径问题、全等三角形的判定和性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
25. 如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点．

（1）求抛物线解析式及，两点坐标；
（2）以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标；
（3）该抛物线对称轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线解析式为，，
（2）或或
（3）
【解析】
【分析】（1）将点代入抛物线解析式，待定系数法求解析式，进而分别令，即可求得两点的坐标；
（2）分三种情况讨论，当，为对角线时，根据中点坐标即可求解；
（3）根据题意，作出图形，作交于点，为的中点，连接，则在上，根据等弧所对的圆周角相等，得出在上，进而勾股定理，根据建立方程，求得点的坐标，进而得出的解析式，即可求解．
小问1详解】
解：∵抛物线与x轴交于，
∴
解得：，
∴抛物线解析式为，
当时，，
∴，
当时，
解得：，
∴
【小问2详解】
∵，，，
设，
∵以，，，为顶点的四边形是平行四边形
当为对角线时，
解得：，
∴；
当为对角线时，
解得：
∴
当为对角线时，
解得：
∴
综上所述，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，或或
【小问3详解】
解：如图所示，作交于点，为的中点，连接，

∵
∴是等腰直角三角形，
∴在上，
∵，，
∴，，
∵，
∴在上，
设，则
解得：（舍去）
∴点
设直线的解析式为
∴
解得：.
∴直线的解析式
∵，，
∴抛物线对称轴为直线，
当时，，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，待定系数法求解析式，平行四边形的性质，圆周角角定理，勾股定理，求一次函数解析式，熟练掌握以上知识是解题的关键．类别
劳动时间
A
B
C
D
E
女1
女2
男1
男2
男3
女1
女1，女2
女1，男1
女1，男2
女1，男3
女2
女2，女1
女2，男1
女2，男2
女2，男3
男1
男1，女1
男1，女2
男1，男2
男1，男3
男2
男2，女1
男2，女2
男2，男1
男2，男3
男3
男3，女1
男3，女2
男3，男1
男3，男2