35，江西省九江市修水县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份35，江西省九江市修水县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共22页。
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项）
1. 已知，是锐角，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据即可求解．
【详解】解：∵，是锐角，
又∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查锐角三角形函数，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
2. 在太阳光的照射下，一个矩形框在水平地面上形成的投影不可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由于平行线的投影是平行或重合，根据这一特征即可作出判断．
【详解】由于矩形的两组对边分别平行，且平行线在太阳光下的投影是平行或重合，则A、B、D三个选项中的图形可能是矩形在地面上的投影，而C选项中的梯形有一组对边不平行，所以它不可能是矩形在地面上的投影．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行投影，太阳光下的投影是平行投影，关键是掌握平行投影特点：平行物体的影子仍旧平行或重合．
3. 如图所示的几何体是由一个球体和一个圆柱组成的，它的主视图是（ ）您看到的资料都源自我们平台，家威杏 MXSJ663 免费下载
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【详解】解：根据题意得：
从正面看，底层是一个矩形，上层是一个圆，
故选：B．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是理解简单组合体的三视图的定义，明确从正面看得到的图形是主视图．
4. 如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A是反比例函数图像上的一点，过点A分别作轴于点M，轴于直N，若四边形的面积为2．则k的值是（ ）

A. 2B. C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】证明四边形是矩形，根据反比例函数的值的几何意义，即可解答．
【详解】解：轴于点M，轴于直N，，
四边形是矩形，
四边形的面积为2，
，
反比例函数在第一、三象限，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的判定，反比例函数的值的几何意义，熟知在一个反比例函数图像上任取一点，过点分别作x轴，y轴的垂线段，与坐标轴围成的矩形面积为是解题的关键．
5. 某反比例函数图象上四个点的坐标分别为，则，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据点求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数的性质即可得．
【详解】解：设反比例函数的解析式为，
将点代入得：，
则反比例函数的解析式为，
所以这个函数的图象位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大，
又点在函数的图象上，且，
，即，
故选：C．
【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式、反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．
6. 如图所示，二次函数为常数，的图象与轴交于点．有下列结论：①；②若点和均在抛物线上，则；③；④．其中正确的有（ ）

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数图像的性质、二次函数图像与系数的关系以及与轴交点问题逐项分析判断即可.
【详解】解：由图可知，二次函数开口方向向下，与轴正半轴交于一点，
，.
，
.
.
故①正确.
是关于二次函数对称轴对称，
.
在对称轴的左边，在对称轴的右边，如图所示，

.
故②正确.
图象与轴交于点，
，.
.
.
故③正确.
，
.
当时，，
.
，
，
.
故④不正确.
综上所述，正确的有①②③.
故选：C.
【点睛】本题考查了二次函数图像与系数之间的关系，解题的关键在于通过图像判断对称轴，开口方向以及与轴交点.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 二次函数最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，化为顶点式求解即可．
【详解】解：∵，
∴当时，取得最小值．
故答案为：．
8. 设x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两个实数根，则x1+x2=_____．
【答案】3.
【解析】
【详解】试题分析：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两根，
∴x1+x2=﹣=3．
考点：根与系数的关系．
9. 如图，直线AD，BC交于点O，.若，，.则的值为______．

【答案】
【解析】
【分析】由平行线分线段成比例可得，，，得出，，从而.
【详解】， ，，
，
，
，
，
；
故答案为：.
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的知识点，根据平行线分线段成比例找出线段之间的关系是解决本题的关键.
10. 如图，一个斜坡长，其坡度为，则坡顶到水平地面的距离为______．
【答案】50
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，勾股定理，解题的关键是掌握正切的定义．根据正切的定义设， ，利用勾股定理列方程求出x，从而可得．
【详解】解：由题意可得：，，
∴设， ，
∵，
∴，
解得：或（舍去），
∴，
故答案为：50．
11. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的一边AB在x轴上，顶点B在x轴正半轴上．若抛物线y＝x2﹣5x+4经过点C、D，则点B的坐标为______．
【答案】（2，0）
【解析】
【分析】根据抛物线y＝x2﹣5x+4经过点C、D和二次函数图象具有对称性，可以求得该抛物线的对称轴和CD的长，然后根据菱形的性质和勾股定理可以求得AO的长，从而可以求得OB的长，进而写出点B的坐标．
【详解】解：∵抛物线y＝x2﹣5x+4，
∴该抛物线的对称轴是直线x，点D的坐标为（0，4），
∴OD＝4，
∵抛物线y＝x2﹣5x+4经过点C、D，
∵四边形ABCD为菱形，AB在x轴上，
∴CD∥AB，即CD∥x轴，
∴CD2＝5，
∴AD＝5，
∵∠AOD＝90°，OD＝4，AD＝5，
∴AO3，
∵AB＝5，
∴OB＝5﹣3＝2，
∴点B的坐标为（2，0），
故答案为：（2，0）．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
12. 如图，点在反比例函数的图象上，点是轴上一点，且三点构成的三角形是等腰三角形，则线段______．
【答案】或或8
【解析】
【分析】先将点坐标代入反比例函数中计算出点的坐标，再分类讨论为等腰三角形的情况，分别算出点的坐标，最后求得不同情况的值即可得到答案．
【详解】解：点在第一象限，且在反比例函数的图象上，
，
解得：，
，
，
点坐标为，
，
点是轴上一点，且三点构成的三角形是等腰三角形，
当以为腰时，如图所示三种情况，
由图可知，点的坐标为或或，
或8，
当以为底边时，如图所示，
设点坐标为，则，
作轴交轴于，
在中，
，，，，
为等腰三角形，，
，
解得：，
点坐标为，
，
综上所述：或8或，
故答案为：或8或．
【点睛】本题主要考查反比例函数上的点的性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握反比例函数上的点的性质以及等腰三角形的性质，采用分类讨论的方法解题，是解题的关键．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. （1）计算：．
（2）解方程：．
【答案】（1）0；（2），．
【解析】
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值、零指数幂、公式法解一元二次方程：
（1）先计算特殊角正弦值、去绝对值以及零指数幂，再计算加减即可得出答案；
（2）先化为一般式再根据公式法代入解方程即可得出答案．
【详解】解：（1）原式
（2）将原方程化为一般形式，得．
，
，
即，．
14. 已知二次函数，当x＝－1时，函数的最小值为－3，它的图象经过点（1，5），求这个二次函数的表达式．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，先得出二次函数的顶点坐标为，然后设该二次函数的解析式为，将点代入求解即可得．
【详解】解：依题意，可得二次函数的顶点坐标为，
设该二次函数的解析式为，
∵它的图象经过点，
∴代入函数解析式可得：，
解得：．
故该二次函数的解析式为：．
【点睛】题目主要考查根据待定系数法确定二次函数的解析式，熟练掌握顶点式的特点性质是解题关键．
15. 扬州是个好地方，有着丰富的旅游资源．某天甲、乙两人来扬州旅游，两人分别从，，三个景点中随机选择一个景点游览．
（1）甲选择景点的概率为________；
（2）请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人中至少有一人选择景点的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用概率计算公式求解即可；
（2）利用树状图或列表的方法，分析甲、乙至少一人选择的基本事件的个数，除以总的基本事件个数即可．
【小问1详解】
解：共有个景点可供选择，且选择每种景点是随机的，
甲选择景点的概率为．
【小问2详解】
解：根据题意，列表如下：
由表格可知，共有种等可能的结果，其中甲、乙至少有一人选择景点共有种等可能的结果，
甲、乙至少有一人选择景点的概率为．
【点睛】本题考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟练掌握相关计算方法是解题的关键．
16. 一个几何体的三个视图如图所示（单位：cm）．
（1）写出这个几何体名称： ；
（2）若其俯视图为正方形，根据图中数据计算这个几何体的表面积．
【答案】（1）长方体或四棱柱
（2）66cm2
【解析】
【分析】（1）这个立方体的三视图都是长方形所以这个几何体应该是长方体；
（2）长方体一共有6个面，算长方体的表面积应该把这6个面的面积相加即可．
【小问1详解】
∵这个立方体的三视图都是长方形，
∴这个立方体是长方体或四棱柱．
【小问2详解】
由三视图知该长方体的表面积：（3）(3×4)×4+（3×3）×2=66(cm2)
【点睛】本题考查了由立体图形的三视图确定立体图形的形状；根据边长求表面积大小．解题的关键是要有空间想象能力．长方体有六个面，算表面积时不要遗漏．
17. 如图，在菱形中，，垂足为．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．（保留作图痕迹）
（1）在图1中，若，在上作一点，使；
（2）在图2中，过点作边上的高．
【答案】（1）图见解析
（2）图见解析
【解析】
【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质．
（1）连接，交于点，点即为所求；
（2）连接菱形对角线交于点，连接并延长，交于F，连接即可．
【小问1详解】
解：如图所示，点即为所求；
连接，交于点，连接，
∵菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
如图所示，即为所求；
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 如图，在中，是边上的高，，，．
（1）求的值；
（2）求的面积．
【答案】（1）
（2）6
【解析】
【分析】（1）在中，根据，可得，再由勾股定理可得，即可求解；
（2）根据，可得，从而得到，进而得到，再由三角形面积公式，即可求解．
【小问1详解】
解：∵在中，，，
∴．
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了解直角三角形以及三角形面积公式，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．
19. 已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论为何值，方程总有实数根．
（2）若且，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系，一元二次方程根与系数的关系，熟记一元二次方程判别式与方程根的情况联系、一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键．
（1）根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，只要判定即可得到答案；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，整体代入得到求解即可得到答案．
【小问1详解】
方程的判别式
，
无论为何值，方程总有实数根．
【小问2详解】
，是方程的两个实数根，
，．
，
，整理得，
解得．
20. 如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（﹣3，n），B（2，3）．
（1）求反比例函数与一次函数的函数表达式；
（2）若点P为x轴上一点，△ABP的面积为10，求点P的坐标．
【答案】（1）反比例函数的解析式为y＝，一次函数的解析式为y＝x＋1；（2）P的坐标是（−5，0）或（3，0）．
【解析】
【分析】（1）根据反比例函数y＝的图象经过B（2，3），利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；进而求得A的坐标，根据A、B点坐标，进而利用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）根据三角形面积求出DP的长，根据D的坐标即可得出P的坐标．
【详解】解：（1）∵反比例函数y＝的图象经过B（2，3），
∴m＝2×3＝6，
∴反比例函数的解析式为y＝；
∵A（−3，n）在y＝上，所以n＝＝−2，
∴A的坐标是（−3，−2），
把A（−3，−2）、B（2，3）代入y＝kx＋b，
得：，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝x＋1；
（2）设直线与x轴的交点为D，
∵把y＝0代入y＝x＋1得：0＝x＋1，
解得x＝−1，
∴D的坐标是（−1，0），
∵P为x轴上一点，且△ABP的面积为10，A（−3，−2），B（2，3），
∴DP×2＋DP×3＝10，
∴DP＝4，
∴当P在负半轴上时，P的坐标是（−5，0），
当P在正半轴上时，P的坐标是（3，0），
即P的坐标是（−5，0）或（3，0）．
【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，反比例函数和一次函数的综合，三角形的面积的应用，主要考查学生的数形结合能力．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 课本再现：
（1）定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
已知：如图1，在中，，是边上的中线．
求证：．
证明：如图1，延长到点，使得，连接．
……
请把证明过程补充完整．
知识应用：
（2）如图2，在中，是边上的高，是边上的中线，是的中点，连接并延长交于点，连接．求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的判定与性质是解（1）的关键，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解（2）的关键．
（1）先证明四边形是平行四边形，再证明四边形是矩形即可；
（2）由直角三角形斜边中线的性质得，进而可证，然后证明是线段的垂直平分线即可．
【详解】解：（1）是边上的中线，
．
，
四边形是平行四边形．
，
四边形是矩形．
．
，
．
（2）如图，连接．
是边上的高，是边上的中线，
，是的中点．
．
，
．
．
是的中点，
．
是线段的垂直平分线．
．
22. 图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角．

（1）求打开后备箱后，车后盖最高点到地面的距离；
（2）若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险?请说明理由．
（结果精确到，参考数据：，，，）
【答案】（1）车后盖最高点到地面的距离为
（2）没有危险,详见解析
【解析】
【分析】（1）作，垂足为点，先求出的长，再求出的长即可；
（2）过作，垂足为点，先求得，再得到，再求得，从而得出到地面的距离为，最后比较即可．
【小问1详解】
如图，作，垂足为点

在中
∵，
∴
∴
∵平行线间的距离处处相等
∴
答：车后盖最高点到地面的距离为．
【小问2详解】
没有危险，理由如下：
过作，垂足为点

∵，
∴
∵
∴
在中，
∴．
∵平行线间的距离处处相等
∴到地面的距离为．
∵
∴没有危险．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．
六、（本大题共12分）
23. 抛物线C1：y1＝a1x2+b1x+c1中，函数值y1与自变量x之间的部分对应关系如下表：
（1）设抛物线C1的顶点为P，则点P的坐标为 ；
（2）现将抛物线C1沿x轴翻折，得到抛物线C2：y2＝a2x2+b2x+c2，试求C2的解析式；
（3）现将抛物线C2向下平移，设抛物线在平移过程中，顶点为点D，与x轴两交点为点A、B．
①在最初的状态下，至少向下平移多少个单位，点A、B之间的距离不小于6个单位？
②在最初的状态下，若向下平移m（m＞0）个单位时，对应的线段AB长为n，请直接写出m与n的等量关系．
【答案】（1）；（2）；（3）①至少向下平移9个单位，②m＝n2．
【解析】
【分析】（1）观察表格可知，抛物线上点与点关于对称轴对称，推出抛物线的对称轴，可得顶点坐标．
（2）根据题意求出抛物线的顶点坐标以及的值即可解决问题．
（3）①抛物线向下平移过程中，对称轴，当之间的距离为6时，可知，，此时抛物线的解析式为，即，所以抛物线至少向下平移9个单位，点、之间的距离不小于6个单位．
②抛物线下平移个单位后的解析式为，令，解得，可得，，，，推出，由此即可解决问题．
【详解】解：（1）观察表格可知，抛物线上点与点关于对称轴对称，
抛物线的对称轴，
顶点坐标．
故答案为．
（2）设抛物线的解析式为，把代入得到，
抛物线的解析式为，
抛物线顶点坐标为
将抛物线沿轴翻折，得到抛物线，根据对称性可知，抛物线的顶点为，，
的解析式为，
（3）①抛物线向下平移过程中，对称轴，当之间的距离为6时，可知，，
此时抛物线的解析式为，
即，
抛物线至少向下平移9个单位，点、之间的距离不小于6个单位．
②抛物线下平移个单位后的解析式为，，
令，解得，
，，，，
，
．
【点睛】本题考查二次函数与轴的交点、平移变换、翻折变换等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，熟练掌握二次函数的三种形式，属于中考常考题型．x
…
﹣3
﹣2
﹣1
1
3
4
…
y1
…
﹣4
﹣1
0
﹣4
﹣16
﹣25
…