47，广东省深圳市福田区红岭中学（红岭教育集团）2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题

这是一份47，广东省深圳市福田区红岭中学（红岭教育集团）2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题，共24页。试卷主要包含了 2024的相反数是， 下列运算正确的是， 下列命题正确的是等内容，欢迎下载使用。

数学试卷
（说明：本试卷考试时间为90分钟，满分为100分）
一．选择题（共10小题）
1. 2024的相反数是（ ）
A. 2024B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查相反数，掌握只有符号不同的两个数叫互为相反数是解题的关键．根据相反数的定义求解即可．
【详解】解：2024的相反数是，
故选B．
2. 2023年10月8日晚，伴随圣火缓缓熄灭，杭州第19届亚运会圆满闭幕，亚运是体育盛会，也是文化旅游的盛会．下列与杭州亚运会有关的图案中，属于中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的定义，正确理解中心对称图形的定义是解答本题的关键，“ 把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”，根据中心对称图形的定义即可得到结果．
【详解】选项A，图形不是中心对称图形，不符合题意；
选项B，图形是中心对称图形，符合题意；
选项C，图形不是中心对称图形，不符合题意；您看到的资料都源自我们平台，家威杏 MXSJ663 免费下载选项D，图形不是中心对称图形，不符合题意．
故选：B．
3. 据统计，截至2023年10月21日，华为mate60系列手机共售出约160万台， 将数据1600000用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法表示绝对值大于的数，理解表示方法 “一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1．”是解题的关键
【详解】解：由题意得
．
故选：B．
4. 2024年福田区2月5日至2月11日的气温（ ℃）如下表：
那么这一周最高气温的众数和中位数分别是（ ）
A. 10，12B. 22，14C. 22，19D. 10，10
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查众数与中位数的意义．根据众数的定义，找出出现次数最多的数就是众数，根据中位数的定义将这组数据从小到大重新排列后，找出最中间的那个数（最中间两个数的平均数）就是中位数．
【详解】解：把最高气温这组数据从小到大排列为：13、14、18、19、22、22、23，
∵22出现了2次，出现的次数最多，
∴这组数据（最高气温）众数是22，
∵最中间的数是19，
∴这组数据的中位数是19．
故选：C．
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了幂的乘方运算、同底数幂的乘除运算、负整数指数幂的性质．直接利用幂的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则、负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
【详解】解：A、，故此选项不合题意；
B、，故此选项不合题意；
C、，故此选项符合题意；
D、，故此选项不合题意．
故选：D．
6. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式即可解答．
【详解】解：∵为一元二次方程，
∴，
∵该一元二次方程有两个实数根，
∴，
解得，
∴且，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是熟知当判别式的值大于0时，方程有两个不相等的实数根，同时要满足二次项的系数不能是0．
7. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用平行线的性质及三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴；

故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握这两个知识点是关键．
8. 下列命题正确的是（ ）
A. 三角形的一个外角等于两个内角的和B. 在反比例函数的图像上，随的增大面减小
C. 两条直线被第三条直线所截，同位角一定相等D. 在圆中，垂直于弦的直径平分弦
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了命题与定理的知识，根据三角形外角及性质、反比例函数图象性质，平行线的性质和垂径定理逐一判断即可，解题的关键是掌握三角形外角及性质、反比例函数图象性质，平行线的性质和垂径定理及其应用．
【详解】、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，此选项错误；
、在反比例函数的图象上，随的增大而减小，错误，应该是在反比例函数的图象上，在每个象限内，随的增大而减小；
、两条直线被第三条直线所截，同位角一定相等，错误，应该是两条平行线被第三条直线所截，同位角一定相等；
、在圆中，垂直于弦的直径平分弦，正确；
故选：．
9. 《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量=11枚白银的重量；②（10枚白银的重量+1枚黄金的重量）-（1枚白银的重量+8枚黄金的重量）=13两，根据等量关系列出方程组即可．
【详解】解：枚黄金重x两，每枚白银重y两
由题意得：
故选D．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
10. 如图，在平行四边形 中，，点 从点 出发，以 的速度沿 匀速运动，点 从点 出发；以 的速度沿 匀速运动，其中一点停止时，另一点随之停止运动，图是 的面积 时间 变化的函数图象，当 的面积为 时，运动时间 为（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】当时，点在上运动，而点继续在上运动，可求得，，由勾股定理得，然后分当时和当时两种情况讨论即可，求出与之间的函数关系式是解题的关键．
【详解】由图、 图可知，当时，点与点重合；
当时，点在上运动，而点继续在上运动，
∵四边形是平行四边形，点F、点E的速度都是 ，
∴，，
∵，
∴，
∴，
当时，如图作，交的延长线于点，则 ，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
当 时，则 ，
解得；
当时，如图，作，交的延长线于点，
∵，
∴，
解得，
∴，
当时， 则，
解得，不符合题意，舍去，
综上所述，运动时间为，
故选：．
【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质、一次函数的性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，
二．填空题（共5小题）
11. 分解因式：__________．
【答案】
【解析】
【分析】先提公因式再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查利用提公因式、平方差公式分解因式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
12. 欧阳修在《卖汕翁》中写道：“（翁）乃取葫芦置于地，以钱覆其口徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油的技艺之高超如图，若铜钱半径为，中间有边长为的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了几何概率公式、圆的面积公式、正方形面积公式．分别求出铜钱的面积和正方形小孔的面积，由几何概率公式即可得出结果．
【详解】解：∵半径为的铜钱的面积，
边长为的正方形小孔的面积，
∴随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入口中的概率=；
故答案为：．
13. 今年冬天哈尔滨的冰雪旅游是继夏天的淄博烧烤之后的新旅游热点，南方游客纷纷打卡哈尔滨冰雪大世界．一位游客乘滑雪板沿坡度为的斜坡滑行30米，则他下降的高度为__________米．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查坡度的概念及勾股定理，根据坡度的概念、勾股定理列出方程，解方程即可得到答案．熟练掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键．
【详解】解：设他下降的高度为米，
∵一位游客乘滑雪板沿坡度为的斜坡滑行30米，
∴他滑行的是水平距离为米，
∴，
解得：（负值已舍去），
故答案为：．
14. 如图，矩形的顶点在反比例函数的图像上，顶点在第一象限，对角线轴，交轴于点．若矩形的面积是6，，则__________．

【答案】
【解析】
【分析】方法一：根据的面积为，得出，，在中，，得出，根据勾股定理求得，根据的几何意义，即可求解．
方法二：根据已知得出则，即可求解．
【详解】解：方法一：∵，
∴
设，则，
∴
∵矩形的面积是6，是对角线，
∴的面积为，即
∴
在中，
即
即
解得：
在中，
∵对角线轴，则，
∴,
∵反比例函数图象在第二象限，
∴，
方法二：∵，
∴
设，则，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数的几何意义，余弦的定义，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
15. 如图，在边长为6的等边 中，分别在边 上，，连接 交于点 ，则 的长为_________．
【答案】##
【解析】
【分析】连接，取中点F，连接．由等边三角形的性质结合题意和所作辅助线易证为等边三角形，即得出，从而又易证，再根据含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理可求出，．易证，得出，从而可求出．即又易证，得出，进而证明，得出，代入数据，即可求出的长．
【详解】解：如图，连接，取中点F，连接，如图所示：
∵为等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵和中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，综合性强，较难．正确作出辅助线是解题关键．
三．解答题
16. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】根据负整数指数幂、零指数幂的运算法则，结合特殊角的三角函数值以及开立方的知识，计算即可作答．
【详解】
．
【点睛】本题主要考查了含特殊角的三角函数值的实数的混合运算，牢记特殊角的三角函数值，是解答本题的关键．
17. 先化简，然后从，1，2这三个数中选一个合适的数代入求值．
【答案】，
【解析】
【分析】根据分式的运算法则先化简，然后再由分式有意义的条件代入求值即可．
【详解】解：原式
，
∵，
当时
原式．
【点睛】题目主要考查分式的化简求值及其有意义的条件，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．
18. 中学生心理健康受到社会的广泛关注，某校开展心理健康教育专题讲座，就学生对心理健康知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．

根据图中信息回答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有___________人，条形统计图中m的值为___________，扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为___________；
（2）若该校共有学生800人，根据上述调查结果，可以估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为___________人；
（3）若某班要从对心理健康知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加心理健康知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名女生的概率．
【答案】（1）80，16，
（2）40 （3）恰好抽到2名女生的概率为．
【解析】
【分析】（1）用“基本了解”的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再用总人数减去其他项的人数，求出“了解很少”的人数；用乘以扇形统计图中“非常了解”部分所占的比例即可；
（2）用总人数800乘以“不了解”的人数所占的比例即可；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好抽到2名女生的结果数，然后利用概率公式求解．
【小问1详解】
解：接受问卷调查的学生共有（人，
（人，
扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为；
故答案为：80，16，；
【小问2详解】
解：根据题意得：
（人，
答：估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为40人；
故答案为：40；
【小问3详解】
解：由题意列树状图：

由树状图可知，所有等可能的结果有12种，恰好抽到2名女生的结果有2种，
∴恰好抽到2名女生的概率为．
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
19. 如图，在中，，以点为圆心，适当的长为半径作弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交于点．点在斜边上，以点为圆心，的长为半径的圆恰好经过点．
（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）直线AC与⊙O相切，理由见解析；（2）⊙O的半径为．
【解析】
【分析】（1）连接OF，如图，利用基本作图得到BF平分∠ABC，则∠OBF=∠CBF，再证明OF∥BC得到∠OFA=∠C=90°，然后根据切线的判定定理可判断AC为⊙O的切线；
（2）先在Rt△ABC中利用正切定义计算出AC=8，则利用勾股定理可计算出AB=10，设⊙O的半径为r，则OF=OB=r，OA=10-r，利用平行线分线段成比例得到AO：AB=OF：BC，然后利用比例性质求出r即可．
【详解】（1）AC与⊙O相切．
理由如下：连接OF，如图，
由作法得，BF平分∠ABC，
∴∠OBF=∠CBF，
∵OB=OF，
∴∠OBF=∠OFB，
∴∠OFB=∠CBF，
∴OF∥BC，
∴∠OFA=∠C=90°，
∴OF⊥AC，
∴AC为⊙O的切线；
（2）在Rt△ABC中，，
∴，
∴，
设⊙O的半径为r，则OF=OB=r，OA=10-r，
∵OF∥BC，
∴AO：AB=OF：BC，
即（10-r）：10=r：6，解得r=，
即⊙O的半径为．
【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了切线的判定和解直角三角形．
20. 某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同．
（1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元?
（2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少?最少花费是多少元?
【答案】（1）A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元
（2）购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元
【解析】
【分析】（1）设A型编程机器人模型单价是元，B型编程机器人模型单价是元，根据：用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同即可列出关于x的分式方程，解方程并检验后即可求解；
（2）设购买A型编程机器人模型台，购买A型和B型编程机器人模型共花费元，根据题意可求出m的范围和W关于m的函数关系式，再结合一次函数的性质即可求出最小值
小问1详解】
解：设A型编程机器人模型单价是元，B型编程机器人模型单价是元．
根据题意，得
解这个方程，得
经检验，是原方程的根．
答：A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元．
【小问2详解】
设购买A型编程机器人模型台，购买B型编程机器人模型台，购买A型和B型编程机器人模型共花费元，
由题意得：，解得．
∴
即，
∵，
∴随的增大而增大．
∴当时，取得最小值11200，此时；
答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用和一次函数的性质，正确理解题意、找准相等与不等关系、得出分式方程与不等式是解题的关键．
21. 综合实践
【答案】任务1：；任务2：两根支撑柱之间的水平距离为6米；任务3：“脚手架”三根支杆，，的长度之和的最大值为米．
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数的应用，解题关键求出函数的解析式．
任务1：由题意可得出顶点的坐标，设出抛物线解析式为，然后再把点的坐标代入即可求出；
任务2：根据任务1中解析式可得出当时对应的值，两个值相减即可得出水平距离；
任务3：设点坐标为，列出关于解析式，由函数的性质求最大值即可．
【详解】解：任务1：四边形是矩形，
（米，
点，点，
根据题意和图象可得，顶点的坐标为，
可设抛物线的解析式为：，
把点代入解析式可得：，
解得：，
抛物线的解析式为：；
任务2：当时，，
解得，
（米，
两根支撑柱之间的水平距离为6米；
任务3：设点坐标为，、、的长度之和为米，
则，，
，
，
当时，有最大值，最大值为，
“脚手架”三根支杆，，的长度之和的最大值为米．
22. （1）发现：如图所示，在正方形 中，点 ，分别是 ，上的两点，连接 ，，．求 值；
（2）探究：如图，在矩形 中，为 边上一点，且 ，． 将 沿 翻折到 处，延长 交 边于 点，延长 交 边于点 ，且 ，求 长；
（3）拓展：如图，在菱形 中，，为 边上的一点且 ，，沿 翻折得到 ，与 交于 且 ，直线 交直线于点 ，求 的长．

【答案】（）；（）；（）
【解析】
【分析】（）根据正方形的性质得，，证明，根据全等三角形的判定可得，即可求解；
（）由四边形是矩形得，，由折叠性质可知，，设，由勾股定理得，推得，根据相似三角形的判定与性质得，求得，，根据平行线的性质可得∴，，从而有，即可求解；
（）过作于点，由折叠性质可得，，根据相似三角形的判定与性质得，求得，最后由勾股定理即可求解；
【详解】（）∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（）如图，

∵ 四边形是矩形，
∴，，
由折叠性质可知，，，，
设，则，
在中，由勾股定理得，，
∴，解得，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（）如图，过作于点，则，

∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
由折叠性质可知，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∴，
在中，由勾股定理得，．
【点睛】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键．日期
5日
6日
7日
8日
9日
10日
11日
最低气温
17
16
10
10
11
12
13
最高气温
23
22
18
14
13
19
22
设计“脚手架”支杆的长度
材料1
为培养学生劳动实践能力，某学校在校西南角开辟出一块劳动实践基地．如图是其中蔬菜大棚的横截面，它由抛物线和矩形构成．已知矩形的长米，宽米，抛物线最高点到地面的距离为7米．
材料2
冬季到来，为防止大雪对大棚造成损坏，学校决定在大棚两侧安装两根垂直于地面且关于轴对称的支撑柱和，如图所示
材料3
为了进一步固定大棚，准备在两根支撑柱上架横梁．搭建成一个矩形“脚手架”，如图所示．
问题解决
任务1
确定大棚形状
按如图所示建立平面直角坐标系，求抛物线函数表达式．
任务2
尝试计算间距
若两根支撑柱，的高度均为6米，求两根支撑柱之间的水平距离．
任务3
探索最优方案
为了进一步固定大棚，准备在两根支撑柱上架横梁．搭建成一个矩形“脚手架”，求出“脚手架”三根支杆、的长度之和的最大值．