68，山东省泰安市泰安高新区奥林匹克花园学校2022-2023学年八年级上学期期中数学试题

这是一份68，山东省泰安市泰安高新区奥林匹克花园学校2022-2023学年八年级上学期期中数学试题，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题12小题，每小题4分，共48分．每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确答案的字母代号选出来填入下面答题栏的对应位置）
1. 下列等式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【详解】解：A、是整式的乘法，故不符合题意；
B、把一个多项式转化成几个整式积的形式，且等式成立，故符合题意；
C、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故不符合题意；
D、等式右侧分母中有字母，不是整式，所以没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了因式分解的判断，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别是解题关键．
2. 代数式，，，，，中是分式有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】根据分式是形如，其中是整式，且中含有字母的式子，对各代数式进行判断即可．
【详解】解：由题意知，分式有，；
故选B．
【点睛】本题考查了分式的定义．解题的关键在于对分式定义的熟练掌握．您看到的资料都源自我们平台，家威杏 MXSJ663 免费下载3. 下列式子：①；②；③；④；⑤．其中能用完全平方公式分解因式的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据完全平方公式进行判断，即可．
【详解】解：①，不能用完全平方公式分解因式；
②；
③，不能用完全平方公式分解因式；
④；
⑤．，
所以能用完全平方公式分解因式的有3个．
故选：C
点睛】本题考查了因式分解——运用公式法：如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法；平方差公式：；完全平方公式：．
4. 式子与的公因式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】把式子与分别进行因式分解后，根据公因式的确定方法，即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴与的公因式是，
故选：A
【点睛】此题考查了公因式和因式分解，把各式进行正确的因式分解是确定公因式的关键．
5. 已知（），则分式的值为（ ）
A. 2B. －2C. 3D. －3
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可知x=3y，然后根据因式分解法进行化简，再将x=3y代入原式即可求出答案．
【详解】解：∵x-3y=0，
∴x=3y，
原式=
故选：C
【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用因式分解法将分式化简，再把x换成3y．
6. 把分式方程化为整式方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，分式方程变形时，两边乘以最简公分母化简得到结果，即可作出判断．
【详解】解：方程变形得：，
去分母得：，
故选：D．
7. 某种植户为了考察所种植的大蒜的长势，从大蒜田中随机抽取7株大蒜苗，测得苗高（单位：cm）分别是：13，14，13，15，16，13，15．则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A. 14，15B. 13，13C. 13，14D. 14，14
【答案】C
【解析】
【分析】根据众数、中位数的定义进行解答即可．
【详解】解：这组数据中，出现次数最多的是13，共出现次，因此众数是13，
将这组数据从小到大排列为：13，13，13，14，15，15，16，
处在中间位置的一个数是14，因此中位数是14，
即：众数是13，中位数是14，
故选：C．
【点睛】本题考查众数、中位数，掌握众数、中位数的定义是正确解答的前提．
8. 若一组数据，，，…，的平均数为5，方差为4，则对于数据，，，…，，平均数和方差分别是（ ）
A. 2，1B. 2，4C. 5，4D. 5，1
【答案】B
【解析】
【分析】根据平均数和方差的性质及计算公式直接求解可得．
【详解】解：∵数据的平均数为5，
∴数据，，，…，的平均数是；
∵数据的方差为4，
∴数据，，，…，的方差不变，也是4，
故选：B．
【点睛】本题考查方差的计算公式的运用：一般地设有n个数据，若每个数据都放大或缩小相同的倍数后再同加或同减去一个数，其平均数也有相对应的变化．当数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，即数据的波动情况不变．
9. 若、的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由、的值均扩大为原来的3倍，可得分别扩大3倍后为 再代入各选项，利用分式的基本性质约分，从而可得答案．
【详解】解： 、的值均扩大为原来的3倍，
变为：，所以分式的值发生了变化，故不符合题意；
变为：，所以分式的值发生了变化，故不符合题意；
变为：，所以分式的值发生了变化，故不符合题意；
变为：，所以分式的值没有发生了变化，故符合题意；
故选：
【点睛】本题考查的是分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键．
10. 一项工程甲单独做 天完成，乙单独做天完成，两人合作可比乙单独做提前（ ）天完成
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】可求甲的工作效率为天，乙的工作效率为天，从而可求两人合作完成工作的天数，即可求解．
【详解】解：由题意得
；
故选：C．
【点睛】本题考查了工程问题，分式运算，理解工作效率，列出分式是解题的关键．
11. 《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各直钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共直钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（一丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入八百九十六文；绫布和罗布各出售一尺共收入一百二十文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有x尺，根据题意可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】绫布有x尺，则罗布有尺，然后根据绫布和罗布分别全部出售后均能收入八百九十六文；绫布和罗布各出售一尺共收入一百二十文列出方程即可．
【详解】解：设绫布有x尺，则罗布有尺，
由题意得，，
故选B．
【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．
12. 现有一列数：，，，，…，，（为正整数），规定，，，…，，若，则的值为（ ）
A. 97B. 98C. 99D. 100
【答案】B
【解析】
【分析】先根据题意求出，则，再解方程即可求得
【详解】，，，…，
解得：
经检验，是原方程的解．
故选B
【点睛】本题考查了找规律问题，整式的加减运算，分式方程，求得是解题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．只要求填写最后结果）
13. 因式分解__________．
【答案】
【解析】
【分析】先观察该式可提（a-b），然后在利用平方差公式即可求出.
【详解】x2（a-b）+4（b-a）= x2（a-b）-4（a-b）=（a-b）(x2-4)=(a-b)(x+2)(x-2)
【点睛】本题利用提公因式法和公式法进行因式分解，学生们熟练掌握因式分解的方法即可.
14. 已知，则___________．
【答案】4
【解析】
【分析】可求，分式化为，代入计算即可求解．
【详解】解：由得
，
原式
；
故答案为：．
【点睛】本题考查了用整体代入法进行分式化简求值，得出，掌握解法是解题的关键．
15. 已知：一组数据，，，，的平均数是，方差是，那么另一组数据，，，，的平均数和方差分别是______和______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据平均数，方差的计算公式即可求解．
【详解】解：∵，
∴
∴平均数是；
∵
∴
，
∴方差是．
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查平均数，方差的计算，同一组数据同时乘以一个相同非零数，再加或减去同一个数对平均数，方差的影响，掌握平均数，方差的计算方法是解题的关键．
16. 若关于分式方程有增根，则的值是_______．
【答案】1
【解析】
【分析】先把分式方程去分母变为整式方程，然后把代入计算，即可求出的值．
【详解】解：∵，
去分母，得：；
∵分式方程有增根，
∴，
把代入，则
，
解得：；
故答案为：．
【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
17. 不改变分式的值，把分式 的系数都化为整数的结果是________
【答案】
【解析】
【分析】根据分式的性质把分式的分子、分母都扩大100倍即可.
【详解】原式=.
故答案为.
【点睛】本题考查了分式基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.
18. 若＝，则a的值是_____．
【答案】8
【解析】
【分析】将等式的右边进行分式的加法运算，其结果与等式的左边比较即可求得的值
【详解】
．
解得．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了分式的加法运算，掌握分式的加法运算是解题的关键．
三、解答题（本大题共7个小题，满分78分．解答应写出计算过程、文字说明或推演步骤）
19. 因式分解：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】（1）直接利用提公因式法分解因式即可；
（2）直接利用完全平方公式分解因式即可；
（3）直接利用平方差公式分解因式即可；
（4）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可．
【小问1详解】
原式；
【小问2详解】
原式；
【小问3详解】
原式
；
【小问4详解】
原式
．
【点睛】本题考查了因式分解，涉及提公因式法和公式法，熟练掌握知识点是解题的关键．
20. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据分式的加减法则进行计算即可；
（2）先算括号里的，根据除法法则把除法变乘法，利用完全平方公式将分母因式分解，最后约分化简即可．
【小问1详解】
解：原式

．
【小问2详解】
解：原式
．
【点睛】本题考查了解分式方程，分式的加减法则的应用，能熟记知识点的内容是解此题的关键．
21. 跳绳是某校体育活动的特色项目．体育组为了了解七年级学生1分钟跳绳次数情况，随机抽取20名七年级学生进行1分钟跳绳测试（单位：次），数据如下：
100 110 114 114 120 122 122 131 144 148
152 155 156 165 165 165 165 174 188 190
对这组数据进行整理和分析，结果如下：
请根据以上信息解答下列问题：
（1）填空：______，______；
（2）学校规定1分钟跳绳165次及以上为优秀，请你估计七年级240名学生中，约有多少名学生能达到优秀？
（3）某同学1分钟跳绳152次，请推测该同学的1分钟跳绳次数是否超过年级一半的学生？说明理由．
【答案】（1），
（2）
（3）是，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据众数与中位数的定义进行计算即可求解；
（2）根据样本估计总体，用跳绳165次及以上人数的占比乘以总人数，即可求解；
（3）根据中位数的定义即可求解；
【小问1详解】
解：这组数据中，165出现了4次，出现次数最多
∴，
这组数据从小到大排列，第10个和11个数据分别为，
∴，
故答案为：，．
【小问2详解】
解：∵跳绳165次及以上人数有7个，
∴估计七年级240名学生中，有个优秀，
【小问3详解】
解：∵中位数为，
∴某同学1分钟跳绳152次，可推测该同学的1分钟跳绳次数超过年级一半的学生．
【点睛】本题考查了求中位数，众数，样本估计总体，熟练掌握中位数、众数的定义是解题的关键．
22. 解分式方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）无解
【解析】
【分析】（1）观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
（2）观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【小问1详解】
解：，
方程变形为：2，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并，得，
∴．
经检验，是分式方程的解．
所以原分式方程的解为．
【小问2详解】
，
∴．
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并，得，
∴．
经检验，不是分式方程的解．
所以原分式方程无解．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，解决此题的关键是了解：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．
23. 先化简，再求值：，其中
【答案】，
【解析】
【分析】根据分式混合运算法则先化简，再代值求解即可得到答案．
详解】解：
，
，
；
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的混合运算和求值，能正确运用分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
24. 2022年10月16日，习总书记在第二十次全国代表大会上的报告中提出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”．某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车的进价是每辆B型汽车的进价的1.5倍，若用3000万元购进A型汽车的数量比2400万元购进B型汽车的数量少20辆．
（1）A型和B型汽车的进价分别为每辆多少万元？
（2）该公司决定用不多于3600万元购进A型和B型汽车共150辆，最多可以购买多少辆A型汽车？
【答案】（1）A型汽车的进价为每辆30万元，B型汽车的进价为每辆20万元
（2）60辆
【解析】
【分析】（1）设B型汽车的进价为每辆万元，则A型汽车的进价为每辆万元，根据“用3000万元购进A型汽车的数量比2400万元购进B型汽车的数量少20辆”列出方程，即可求解；
（2）设购买辆A型汽车，则购买辆B型汽车，根据“用不多于3600万元购进A型和B型汽车共150辆”列出不等式，即可求解．
【小问1详解】
解：设B型汽车的进价为每辆万元，则A型汽车的进价为每辆万元，
依题意得：
解得：
经检验，是方程的解
答：A型汽车的进价为每辆30万元，B型汽车的进价为每辆20万元
【小问2详解】
解：设购买辆A型汽车，则购买辆B型汽车，
依题意得：
解得：
答：最多可以购买60辆A型汽车．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，明确题意，准确列出方程和不等式是解题的关键．
25. 阅读下列材料，并解答相应问题：
对于二次三项式这样的完全平方式，可以用公式法将它分解成的形式，但是对于二次三项式，就不能直接应用完全平方式，我们可以在二次三项式中先加一项，使其一部分成为完全平方式，再减去项，使整个式子的值不变，于是有下面的因式分解：
仔细领会上述的解决问题的思路、方法，认真分析完全平方式的构造，结合自己对完全平方式的理解，解决下列问题：
（1）因式分解：① ；
② ．
（2）拓展：因式分解：．
【答案】（1）①；②；（2）
【解析】
【分析】（1）①直接由因式分解的方法进行计算，即可得到答案；
②直接由因式分解的方法进行计算，即可得到答案；
（2）直接由因式分解的方法进行计算，即可得到答案；
【详解】解：（1）①
=
=
=；
②
=
=
=
=
=；
（2）
=
=．
【点睛】此题考查了因式分解的应用，以及十字相乘法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．平均数
众数
中位数
145