2023-2024学年重庆市开州区文峰教育集团九年级（下）入学数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年重庆市开州区文峰教育集团九年级（下）入学数学试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.6的相反数是( )
A. 6B. −6C. 16D. −16
2.下列四个图形中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.下列各点中，在反比例函数y=4x的图象上的是( )
A. (−1,4)B. (1,−4)C. (1,4)D. (2,3)
4.若两个相似三角形的周长之比是1：2，则它们的面积之比是( )
A. 1：2B. 1： 2C. 2：1D. 1：4
5.如图，AB/​/CD，FE⊥DB，垂足为E，∠1=50°，则∠2的度数是( )
A. 60°B. 50°C. 40°D. 30°
6.估计 2×( 2+ 5)的值应在( )
A. 5和6之间B. 2和3之间C. 3和4之间D. 4和5之间
7.观察下列四个图形组成的一组图形，发现它们是按照一定规律排列的，依此规律排列下去，第10个图形共有个点组成．( )
A. 26B. 27C. 28D. 29．
8.如图，PM与⊙O相切于点M，OP=4，∠OPM=30°，则OM长为( )
A. 2B. 4C. 4 3D. 2 2
9.如图，已知正方形ABCD的边长为3，点P是对角线BD上的一点，PF⊥AD于点F，PE⊥AB于点E，连接PC，当PE：PF=1：2时，则PC=( )
A. 3
B. 2
C. 5
D. 52
10.已知关于x的两个多项式A=x2−ax−2，B=x2−2x−3，其中a为常数，下列说法：
①若A−B的值始终与x无关，则a=−2；
②关于x的方程A+B=0始终有两个不相等的实数根；
③若A⋅B的结果不含x2的项，则a=52；
④当a=1时，若AB的值为整数，则x的整数值只有2个．
以上结论正确的个数有( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
11.2−1+20230= ______．
12.若一个多边形的内角和比外角和大360°，则这个多边形的边数为______．
13.将分别标有数字1，2，3的三个小球放入一个不透明的袋子中，这些小球除数字外其他都相同.从中随机摸出一个小球记下数字后放回，再从中随机摸出一个小球并记下数字，则两次摸出的小球数字不同的概率______．
14.某校截止到2022年底，校园绿化面积为800平方米.为美化环境，该校计划2024年底绿化面积达到1240平方米.利用方程思想，设这两年绿化面积的年平均增长率为x，则依题意列方程为______．
15.如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=3 2.以A为圆心，AD为半径作弧交BC于点E，则图中阴影部分的面积为______．
16.如图，在等腰三角形纸片ABC中，AB=AC，∠A=40°，折叠该纸片，使点A落在点B处，折痕为DE，则∠CBE= ______°.
17.若关于x的不等式组5x+a≤24(x+32)>x−32有且仅有四个整数解，关于y的分式方程3yy−2+a+112−y=1有整数解，则符合条件的所有整数a的和是______．
18.若一个三位正整数m=abc−(各个数位上的数字均不为0)满足a+b+c=9，则称这个三位正整数为“吉祥数”.对于一个“吉祥数”m，将它的百位数字和个位数字交换以后得到新数n，记F(m)=m+n9.如：m=216满足2+1+6=9，则216为“吉祥数”，那么n=612，所以F(216)=216+6129=92.则最小的“吉祥数”是______；对于任意一个“吉祥数”m，若F(m)能被7整除，则满足条件的“吉祥数”m的最大值是______．
三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
计算：
(1)(a−2)2+(1+a)(1−a)；
(2)(m+2−5m−2)÷m2−3mm−2．
20.(本小题10分)
如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°能与△DEC重合．
(1)请用尺规作图法，作AC的垂直平分线，垂足为F；(不要求写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)问情况下，连接DF，求证：△CFD≌△ABC(填空)．
证明：(2)∵点F是边AC中点，
∴CF= ______，
∵∠BCA=30°，∠ABC=90°，
∴BA=12AC,∠A=60°，
∴AB= ______，
∵将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，
∴AC=CD，∠FCD=60°，
∴∠A= ______，
在△ABC和△CFD中，AB=CF∠A=∠FCD(ㅤㅤ)
∴△ABC≌△CFD(SAS)．
21.(本小题10分)
“感受数学魅力，提升数学素养”，某校在其举办的数学文化节上开展了趣味数学知识竞赛，现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机抽取10名同学的成绩进行整理、描述和分析(单位：分，满分100分，90分及90分以上为优秀)，将学生竞赛成绩分为A，B，C三个等级：A：70≤x<80，B：80≤x<90，C：90≤x≤100.下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩为：74，75，84，84，84，86，86，95，95，97；
八年级10名学生的竞赛成绩在B等级中的数据为：81，82，84，88，88．
两组数据的平均数、中位数、众数如表所示：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：a= ______，b= ______，m= ______；
(2)根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由(一条理由即可)；
(3)若八年级共有500名学生参赛，估计八年级参赛学生中成绩为优秀的人数．
22.(本小题10分)
八年级学生到距学校150km的景区游览.景区提供了快车和慢车两种车型前往学校接学生到景区，所有车辆均沿同一路线往返．
(1)由于快车有其他接送任务，八年级(1)班学生乘慢车从学校出发时，快车才从景区出发前往学校接八年级(2)班学生，1.2小时后快车在前往学校的途中与慢车相遇.若快车每小时比慢车多行驶25km，求慢车的平均速度；
(2)有四名学生负责准备活动道具，在八年级(2)班学生乘快车出发0.5小时后，他们四人才完成准备工作，学校立即安排一辆小车送他们前往景区.为安全起见，快车接上学生返回景区时速度减慢，结果和小车同时抵达景区.若小车速度是快车返回景区的速度的1.25倍，求快车返回景区的平均速度．
23.(本小题10分)
如图，在矩形ABCD中AB=6，BC=4.动点P从点A出发，沿折线A→B→C运动(运动路线不包含点A、点C)，当它到点C时停止，设点P运动的路程为x，连接AC、AP、PC.设△APC的面积为y．
(1)直接写出y与x的函数关系式，并注明x的取值范围，在x的取值范围内画出该函数图象；
(2)根据函数图象，写出该函数的一条性质；
(3)根据函数图象，直接写出当y=5时x的值(结果保留一位小数，误差范围±0.2)．
24.(本小题10分)
想了一百种初夏的文案，也不及一场露营的美好，欢欢和乐乐两家人周末自驾去草原营地C露营.如图，两家人同时从点A出发，欢欢驾驶燃油车自西向东行驶到点B，再沿北偏东60°方向行驶到营地C，由于乐乐驾驶电动汽车，需先到位于点A东北方向的充电站D充电，充电时间为30分钟，完成充电后立即从点D出发，前往位于点D正东方向的营地C.已知AD=60千米，CD=90千米.(参考数据： 2≈1.41， 6≈2.45)
(1)求BC的长度(结果保留根号)；
(2)欢欢到达营地C后立即开始搭帐篷，搭建过程需1个小时，已知欢欢驾驶燃油车的速度为90千米/时，乐乐驾驶电动汽车的速度为75千米/时，请计算说明欢欢能否在乐乐到达营地C前搭完帐篷．
25.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2−x+c(a≠0)与x轴交于A(−1,0)、B(3,0)两点，直线AC与y轴交于点C，与抛物线交于点D，OA=OC．
(1)求该抛物线与直线AC的解析式；
(2)若点E是x轴下方抛物线上一动点，连接AE、CE.求△ACE面积的最大值及此时点E的坐标；
(3)将原抛物线沿射线AD方向平移2 2个单位长度，得到新抛物线：y1=a1x2+b1x+c1(a≠0)，新抛物线与原抛物线交于点F，在直线AD上是否存在点P，使以点P、D、F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
26.(本小题10分)
如图，已知在直角△ABC中，∠ABC=90°，E为AC边上一点，连接BE，过E作ED⊥AC，交BC边于点D．

(1)如图1，连接AD，若CE=2，BD=3 2，∠C=45°，求△ADE的面积；
(2)如图2，作∠ABC的角平分线交AC于点F，连接DF，若∠BDE=∠CDF，求证：AE+DE= 2BE；
(3)如图3，若∠C=30°，将△BCE沿BE折叠，得到△BEF，且BF与AC交于点G，连接AD，DF，点E在AC边上运动的过程中，当BF⊥AC时，直接写出DFDA的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
此题主要考查了相反数的含义以及求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：相反数是成对出现的，不能单独存在．
求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加一个“−”，据此解答即可．
【解答】
解：根据相反数的含义，可得
6的相反数是：−6．
故选：B．
2.【答案】D
【解析】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、是中心对称图形，故本选项正确；
故选：D．
根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．
本题考查了中心对称图形的知识，在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
3.【答案】C
【解析】解：A、−1×4=−4≠4，故不在函数图象上；
B、1×(−4)=−4≠4，故不在函数图象上；
C、1×4=4，故在函数图象上；
D、2×3=6≠4，故不在函数图象上．
故选：C．
根据y=4x得k=xy=4，所以只要点的横坐标与纵坐标的积等于4，就在函数图象上．
本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
4.【答案】D
【解析】解：∵两个相似三角形的周长之比是1：2，
∴两个相似三角形的相似比是1：2，
∴它们的面积之比是：1：4，
故选：D．
根据相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．
本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：如图所示，
∵FE⊥BD，
∴∠FED=90°，
∴∠1+∠D=90°，
∵∠1=50°，
∴∠D=40°，
∵AB/​/CD，
∴∠2=∠D=40°．
故选：C．
根据直角三角形的两锐角互余，求出∠D=40°，再根据平行线的性质即可解答．
本题主要考查平行线的性质、垂线及直角三角形的性质，解决此题时，根据直角三角形的性质求出∠D的度数是解决此题的关键．
6.【答案】A
【解析】解： 2×( 2+ 5)
=2+ 10，
∵3< 10<4，
∴5<2+ 10<6，
故选：A．
先计算二次根式的乘法，再算减法，然后估算出的值的范围，从而估算出−2的值的范围，即可解答．
本题考查了无理数的大小，二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：第一个图形有1+3×0=1个●；
第二个图形有1+3×1=4个●；
第三个图形有1+3×2=7个●；
…
第n个图形有1+3(n−1)=(3n−2)个●，
∴当n=10时，有3×10−2=28个●．
故选：C．
仔细观察图形中●的个数，找到图形的变化的规律，即可解答．
考查了图形的变化类问题，解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的相互联系，探寻其规律．本题的关键规律为第n个图形有(3n−2)个●．
8.【答案】A
【解析】解：∵PM与⊙O相切于点M，
∴OM⊥PM，
∵∠OPM=30°，
∴OM=12OP．
∵OP=4，
∴OM=2．
故选：A．
利用圆的切线的性质和含30°角的直角三角形的性质解答即可．
本题主要考查了圆的切线的性质，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握切线的性质定理是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：连接AP，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=3，∠ADB=45°，
∵PF⊥AD，PE⊥AB，∠BAD=90°，
∴四边形AEPF是矩形，
∴PE=AF，∠PFD=90°，
∴△PFD是等腰直角三角形，
∴PF=DF，
∵PE：PF=1：2，
∴AF：DF=1：2，
∴AF=1，DF=2=PF，
∴AP= AF2+PF2= 1+4= 5，
在△ABP和△CBP中，
AB=BC∠ABD=∠CBD=45°BP=BP,
∴△ABP≌△CBP(SAS)，
∴AP=PC= 5，
故选：C．
先证四边形AEPF是矩形，可得PE=AF，∠PFD=90°，由等腰直角三角形的性质可得PF=DF，可求AF，DF的长，由勾股定理可求AP的长，由“SAS”可证△ABP≌△CBP，可得AP=PC= 5．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：①∵A=x2−ax−2，B=x2−2x−3，
∴A−B=(x2−ax−2)−(x2−2x−3)=(2−a)x+1，
∵A−B的值始终与x无关，
∴a=2，
故①不符合题意；
②A+B=x2−ax−2+x2−2x−3=2x2−(a+2)x−5=0，
∵Δ=(a+2)2+40>0，
∴关于x的方程A+B=0始终有两个不相等的实数根，
故②符合题意；
③A⋅B=(x2−ax−2)⋅(x2−2x−3)=x4−(2+a)x3+(2a,−5)x2+(3a+4)x+6，
∵A⋅B的结果不含x2的项，
∴2a−5=0，
解得a=52；
故③符合题意；
④当a=1时，A=x2−x−2，
∴AB=x2−x−2x2−2x−3=(x−2)(x+1)(x−3x+1)=x−2x−3=1+1x−3，( )
∵AB的值为整数，
∴x−3=±1，
解得x=4或x=2，
故④符合题意；
故选：B．
根据A−B=(2−a)x+1，A−B的值始终与x无关，可得a=2；根据A+B=2x2−(a+2)x−5=0，利用判别式Δ>0，可得关于x的方程A+B=0始终有两个不相等的实数根；根据A⋅B=x4−(2+a)x3+(2a,−5)x2+(3a+4)x+6，当2a−5=0时，A⋅B的结果不含x2的项；④根据AB=1+1x−3，由AB的值为整数，可得x−3=±1，求出x的值．
本题考查整式的运算，熟练掌握整式的加减乘除运算法则，一元二次方程判别式与根的关系是解题的关键．
11.【答案】32
【解析】解：原式=12+1
=32．
故答案为：32．
根据零指数幂及负整数指数幂的运算法则进行计算即可．
本题考查的是零指数幂及负整数指数幂，熟知运算法则是解题的关键．
12.【答案】6
【解析】【分析】
本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，注意利用多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°是解题的关键．
根据多边形的内角和公式(n−2)⋅180°，外角和等于360°列出方程求解即可．
【解答】
解：设多边形的边数是n，
根据题意得，(n−2)⋅180°−360°=360°，
解得n=6．
故答案为6．
13.【答案】23
【解析】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中两次摸出的小球数字不同的结果有(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，共6种，
∴两次摸出的小球数字不同的概率为69=23．
故答案为：23．
画树状图得出所有等可能的结果数以及两次摸出的小球数字不同的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
14.【答案】800(1+x)2=1240
【解析】解：根据题意得：800(1+x)2=1240，
故答案为：800(1+x)2=1240．
根据2022年底绿化面积×(1+年平均增长率)2=2024年底绿化面积，列出一元二次方程即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15.【答案】9 2−92−9π4
【解析】解：在Rt△ABE中，AB=3，AE=AD=3 2，
∴BE= AE2−AB2=3=AB，
∴∠BAE=∠BEA=45°，
∴∠DAE=90°−45°=45°，
∴S阴影部分=S矩形ABCD−S△ABE−S扇形ADE
=3×3 2−12×3×3−45π×(3 2)2360
=9 2−92−9π4．
故答案为：9 2−92−9π4．
根据直角三角形的边角关系求出BE以及各个内角度数，进而求出扇形圆心角度数，根据扇形面积、矩形面积、三角形面积的计算方法，依据S阴影部分=S矩形ABCD−S△ABE−S扇形ADE进行计算即可．
本题考查扇形面积的计算，矩形的性质以及直角三角形的边角关系，掌握扇形面积的计算方法以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键．
16.【答案】30
【解析】解：∵AB=AC，且∠A=40°，
∴∠ABC=∠C=180°−40°2=70°；
由题意得：
AE=BE，
∴∠A=∠ABE=40°，
∴∠CBE=70°−40°=30°，
故答案为：30．
首先运用等腰三角形的性质求出∠ABC的大小；借助翻折变换的性质求出∠ABE的大小问题即可解决．
该命题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是根据翻折变换的性质找出图中相等的边或角，利用等腰三角形的性质等几何知识来分析、判断、解答．
17.【答案】−10
【解析】解：关于x的不等式组整理得x≤2−a5x>−52，
∵关于x的不等式组5x+a≤24(x+32)>x−32有且仅有四个整数解，
∴1≤2−a5<2，
∴−8解分式方程得y=a+92且a+92≠2，
∵关于y的分式方程有整数解，且a为整数，
∴符合条件的所有整数a为−7，−3，
∴符合条件的所有整数a的和为：−7−3=−10．
故答案为：−10．
解一元一次不等式组和分式方程，根据已知列出关于a的不等式，即可解得a的范围，从而可得答案．
本题考查解一元一次不等式组和分式方程，解题的关键是掌握解一元一次不等式组和分式方程的一般步骤．
18.【答案】117 351
【解析】解：(1)∵a+b+c=9，各个数位上的数字均不为0，这个三位数要最小，
∴百位上是1，十位上是1，
∴个位是7，
∴最小的“吉祥数”是117；
(2)设m=100a+10b+c，其中a+b+c=9，则n=100c+10b+a，
∴F(m)=100a+10b+c+100c+10b+a9=101(a+c)+20b9=101(9−b)+20b9=909−81b9=101−9b，
∵a+b+c=9，且a，b，c均不为0，
∴b=1，2，，
当b=1时，F(m)=101−9×1=92，不能被7整除，不合题意，
当b=2时，F(m)=101−9×2=83，不能被7整除，不合题意，
当b=3时，F(m)=101−9×3=74，不能被7整除，不合题意，
当b=4时，F(m)=101−9×4=65，不能被7整除，不合题意，
当b=5时，F(m)=101−9×5=56，能被7整除，符合题意，
∴a+c=4，
∴a=1c=3，a=2c=2，a=3c=1，
∴m=153或252或351，
当b=6时，F(m)=101−9×6=47，不能被7整除，不合题意，
当b=7时，F(m)=101−9×7=38，不能被7整除，不合题意，
∴满足条件的“吉祥数”m的最大值是315．
故答案为：117，351．
(1)根据题意最小的“吉祥数”百位上是1，十位上是1，则个位是7即可解答；
(2)设m=100a+10b+c，其中a+b+c=9，则n=100c+10b+a，表示出F(m)=101−9b，b=1，2，，然后把b依次代入找出符合题意得b即可解答．
本题考查整式的加减，因式分解，分类讨论是解题关键是解题关键．
19.【答案】解：(1)(a−2)2+(1+a)(1−a)
=a2−4a+4+1−a2
=−4a+5；
(2)(m+2−5m−2)÷m2−3mm−2
=(m+2)(m−2)−5m−2⋅m−2m(m−3)
=m2−9m(m−3)
=(m+3)(m−3)m(m−3)
=m+3m．
【解析】(1)根据完全平方公式和平方差公式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可；
(2)先通分括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，然后约分即可．
本题考查分式的混合运算、平方差公式和完全平方公式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
20.【答案】12AC CF ∠FCD
【解析】(1)解：如图，分别以点A、C为圆心，以大于12AC为半径画弧，两弧相交于点M、N，过点M、N作直线l，交AC于点F，则直线l即为所求作AC的垂直平分线；
(2)证明：∵点F是边AC中点，
∴CF=12AC，
∵∠BCA=30°，∠ABC=90°，
∴BA=12AC,∠A=60°，
∴AB=CF，
∵将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，
∴AC=CD，∠FCD=60°，
∴∠A=∠FCD，
在△ABC和△CFD中，
AB=CF∠A=∠FCDAC=CD，
∴△ABC≌△CFD(SAS)．
故答案为：12AC，CF，∠FCD，AC=CD．
(1)分别以点A、C为圆心，以大于12AC为半径画弧，两弧相交于点M、N，过点M、N作直线l，交AC于点F，则直线l即为所求作AC的垂直平分线；
(2)先根据中点的定义和含30°角的直角三角形性质证明AB=CF，再根据旋转的性质和直角三角形性质得到∠A=∠FCD，根据“边角边”即可证明△CFD≌△ABC．
本题考查了尺规作图−作已知线段的垂直平分线，旋转的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，理解题意，熟知相关知识，并根据已知条件灵活应用是解题关键．
21.【答案】86 84 30
【解析】解：(1)由扇形统计图可得，八年级A等级的有10×20%=2(人)，
把八年级10名同学的成绩从小到大排列，排在中间的数分别是84，88，故中位数a=84+882=86；
在74，75，84，84，84，86，86，95，95，97中，出现次数最多的是84，
∴众数b=84；
m%=1−20%−510=30%，即m=30，
故答案为：86，84，30；
(2)八年级的成绩更好，理由如下：
因为两个年级的平均数相同，但八年级的中位数和众数均高于七年级，所以八年级的成绩更好；
(3)500×30%=150(名)，
答：估计八年级参赛学生中成绩为优秀的人数约150名．
(1)根据中位数，众数定义可得a，b的值，由八年级A，D等级的人数可求出m的值；
(2)根据平均数，众数、中位数以及方差的意义解答即可；
(3)用总人数乘样本中成绩为优秀的人数所占比例即可．
本题考查了中位数，众数，方差以及用样本估计总体等知识，掌握中位数，众数，方差等概念是解答本题的关键．
22.【答案】解：(1)设慢车的平均速度为x km/h，则快车的平均速度为(x+25)km/h，
根据题意得：1.2x+1.2(x+25)=150，
解得：x=50．
答：慢车的平均速度为50km/h；
(2)设快车返回景区的平均速度为y km/h，则小车的平均速度为1.25y km/h，
根据题意得：150y−1501.25y=0.5，
解得：y=60，
经检验，y=60是所列方程的解，且符合题意．
答：快车返回景区的平均速度为60km/h．
【解析】(1)设慢车的平均速度为x km/h，则快车的平均速度为(x+25)km/h，利用路程=速度×时间，可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
(2)设快车返回景区的平均速度为y km/h，则小车的平均速度为1.25y km/h，利用时间=路程÷速度，结合快车返回景区比小车多用0.5小时，可得出关于y的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出一元一次方程；(2)找准等量关系，正确列出分式方程．
23.【答案】解：(1)当点P在AB上时，即0当点P在BC上时，即6∴y=2x(0图象如下图：

(2)根据图象可知：当0(3)当0∴x=2.5，
当6∴x=253≈8.3，
综上所述：x=2.5或8.3．
【解析】(1)由三角形的面积公式可求解，根据解析式画出图象即可；
(2)根据图象可得当0(3)将y=5代入解析式可求解．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，三角形的面积公式，函数图象的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
24.【答案】解：(1)过点A作AE⊥CD交CD延长线于点E，过点B作BF⊥CD于点F，

由题意知，AB/​/CD，
∴四边形ABFE是矩形，
∴AE=BF，AB=EF，
在Rt△ADE中，
∵∠DAE=45°，AD=60千米，
cs∠DAE=AEAD，
∴AE=AD⋅cs∠DAE=60⋅cs45°=30 2(千米)，
∴BF=30 2千米，
在Rt△BCF中，
∵BF=30 2千米，∠CBF=60°，
cs∠CBF=BFBC，
∴BC=BFcs∠CBF=30 2cs60°=60 2(千米)，
答：BC的长度为60 2千米．
(2)在Rt△ADE中，
∵∠DAE=45°，
∴∠ADE=45°，
∴DE=AE=30 2≈42.3(千米)，
在Rt△BCF中，
∵BF=30 2千米，∠CBF=60°，
tan∠CBF=CFBF，cs∠CBF=BFBC，
∴CF=BF⋅tan∠CBF=30 2⋅tan60°=30 6≈73.5(千米)，
BC=BFcs∠CBF=30 2cs60°=60 2≈84.6(千米)，
∴AB=EF=ED+CD−CF≈42.3+90−73.5=58.8(千米)，
∴欢欢家从点A出发到点C所走的路程为：AB+BC=58.5+84.6=143.1(千米)，
所用时间为：143.190=1.59(小时)，
乐乐从点A出发到点C所走的路程为：AD+DC=60+90=150(千米)，
所用时间为：15075+0.5=2.5(小时)，
∵2.5−1.59=0.91<1，
∴欢欢不能否在乐乐到达营地C前搭完帐篷．
【解析】(1)过点A作AE⊥CD交CD延长线于点E，过点B作BF⊥CD于点F，在Rt△ADE中，求出AE，再在Rt△BCF中，求出BC即可；
(2)在Rt△ADE中，求出DE，在Rt△BCF中，求出CF，进而求出EF，AB，再分别求出欢欢和乐乐从A到C所花的时间，比较即可．
本题考查解直角三角形的−方向角问题，作辅助线构建直角三角形是解题的关键．
25.【答案】解：(1)把A(−1,0)、B(3,0)代入y=ax2−x+c，得a+1+c=09a−3+c=0，解得a=12c=−32，
∴抛物线的解析式为y=12x2−x−32；
∵OC=OA=1，
∴C(0,1)，
设直线AC的解析式为y=kx+1，则−k+1=0，解得k=1，
∴直线AC的解析式为y=x+1．
(2)如图1，作EG⊥x轴交直线AC于点G，作EH⊥AD于点H．
设E(x,12x2−x−32)(−1∴EG=x+1−(12x2−x−32)=−12x2+2x+52．
∵OA=OC=1，∠AOC=90°，
∴∠OCA=45°，AC= 12+12= 2，
∵∠HGE=∠OCA=45°，
∴EH=EG⋅sin45°= 22(−12x2+2x+52)，
∴S△ACE=12× 2× 22(−12x2+2x+52)=−14x2+x+54=−14(x−2)2+94，
∵−14<0，且−1<2<3，
∴当x=2时，S△ACE最大=94，此时E(2,−32).
∴△ACE面积的最大值为94，此时点E的坐标为(2,−32).
(3)存在．
如图2，在直线AC上取一点A′，使它的横坐标为1，则A′(1,2)，AA′= 22+22=2 2，
∴点A′即为抛物线平移后点A的对应点，
可知抛物线向右、向上各平移2个单位长度．
∵y=12x2−x−32=12(x−1)2−2，
∴平移后的抛物线为y=12(x−3)2，其顶点坐标为(3,0)；
∵原抛物线与新抛物线都经过点B(3,0)，
∴点B即为新抛物线与原抛物线的交点F．
作A′K⊥x轴于点K，则∠AKA′=∠FKA′=90°，AK=A′K=FK=2，
∴∠AA′K=∠FA′K=45°，
∴∠AA′F=90°．
由y=x+1y=12x2−x−32，得x=5y=6或x=−1y=0(不符合题意，舍去)，
∴D(5,6)，
∴FD= (5−3)2+(6−0)2=2 10．
①当FP1=FD时，则点P1与点D关于点A′对称，
∴P1(−3,−2)；
②当P2D=FD=2 10时，
∵CD= 2×5=5 2，
∴CP2=5 2−2 10，
∴xp= 22×(5 2−2 10)=5−2 5，yp=5−2 5+1=6−2 5，
P2(5−2 5,6−2 5)；
③当DP3=FP3时，
∵∠P3DF=∠FDP1，∠DFP3=∠DP1F，
∴△P3DF∽△FDP1，
∴P3DFD=FDDP1，
∵DP1= 2×(5+3)=8 2，
∴P3D=FD2DP1=(2 10)28 2=5 22，
∴CP3=5 2−5 22=5 22，
∴xp=5 22× 22=52，yp=52+1=72，
∴P3(52,72)；
④当P4D=FD=2 10时，则CP4=5 2+2 10，
∴xp= 22×(5 2+2 10)=5+2 5，yp=5+2 5+1=6+2 5，
∴P4(5+2 5,6+2 5).
综上所述，点P的坐标为(−3,−2)或(5−2 5,6−2 5)或(52,72)或(5+2 5,6+2 5).
【解析】(1)把A(−1,0)、B(3,0)代入y=ax2−x+c，列方程组求a、c的值，再用待定系数法求直线AC的解析式；
(2)过点E作x轴的垂线交直线AC于点G，作EH⊥AC于点H，用点E的横坐标x分别表示线段EG、EH的长，得出△ACE面积关于x的函数解析式，再利用二次函数的性质求出△ACE面积的最大值及点E的坐标；
(3)先求出点D的坐标及线段BD的长，再按BD为腰或底边分别求出相应的情况下点P的坐标．
此题重点考查二次函数的图象和性质、相似三角形的判定和性质、用待定系数法求函数解析式、用解方程组的方法求函数图象的交点坐标、解一元二次方程、化简二次根式等知识和方法，解题时应注意数形结合、分类讨论等数学思想的运用，此题计算烦琐，难度较大，属于考试压轴题．
26.【答案】(1)解：∵ED⊥AC，∠C=45°，
∴∠EDC=∠C=45°，
∴CE=DE=2，
∴CD= CE2+DE2=2 2，
∵BD=3 2，
∴BC=BD+CD=5 2，
在直角△ABC中，∠ABC=90°，∠C=45°，
∴∠BAC=∠C=45°，
∴AB=BC=5 2，
∴AC= AB2+BC2=10，
∴AE=AC−CE=8，S△ADE=12×AE⋅DE=12×8×2=8；
(2)证明：如图2中，过点B作BT⊥BE交ED的延长线于点T．

∵∠BDE=∠CDF，
∴∠CDE=∠BDF，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC=∠ABC=90°，
∴∠A+∠C=∠EDC+∠C=90°，
∴∠EDC=∠A，
∴∠A=∠BDF，
∵∠ABF=∠DBF，BF=BF，
∴△ABF≌△DBF(SAS)，
∴AB=BD，
∵∠ABC=∠EBT=90°，
∴∠ABE=∠DBT，
∵∠BDT=∠CDE=∠A，
∴△ABE≌△DBT(ASA)，
∴BE=BT，AE=DT，
∴AE+DE=DT+DE=ET，
∴△BET是等腰直角三角形，
∴ET= 2BE，
∴AE+ED= 2BE；
(3)解：如图，

∵∠C=30°，
∴∠BAC=60°，
当BF⊥AC时，∠ABG=30°，
∵将△BCE沿BE折叠，得到△BEF，
∴∠FBE=∠CBE=30°，
又∠C=∠EBC=30°，
∴EB=EC，EB=EA，
∴△ABE是等边三角形，
设AB=a，则AC=2a，
∴BC= 3a，
∴BF=2BG=2× 3GE= 3AE= 3a，
∵BD= 33a，
在Rt△ABD中，AD=2BD=2 33a，
如图，连接AF，

∵GE⊥BF，EF=EB，
∴∠AEF=∠AEB=60°，
∴△AFE是等边三角形，
∴AF=AE=AB，
∴∠FAD=∠FAE+∠EAD=60°+30°=90°，
∴DF= AF2+AD2= a2+(2 33a)2= 213a，
∴DFDA= 213a2 33a= 72．
【解析】(1)ED⊥AC，∠C=45°利用等腰直角三角性质CD、BC，再利用勾股定理求得AC，计算出AE即可求出面积；
(2)如图2中，过点B作BT⊥BE交ED的延长线于点T.证明△ABF≌△DBF(SAS)，推出AB=BD，再证明△ABE≌△DBT(ASA)，推出BE=BT，AE=DT，推出AE+DE=DT+DE=ET，推出△BET是等腰直角三角形，可得结论；
(3)根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得AD，证明△ADF是直角三角形，进而勾股定理求得DF，即可求解．
本题考查了全等三角形全等的证明和性质的综合运用，还考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定理；勾股定理解直角三角形，解题的关键是旋转构造全等．学生
平均数
中位数
众数
七年级
86
85
b
八年级
86
a
88