数学必修 第二册11.1 余弦定理测试题

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一、余弦定理：
1、公式表达：a2＝b2＋c2－2bccs A，b2＝a2＋c2－2accsB，c2＝a2＋b2－2abcsC
2、语言叙述：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍
【注意】余弦定理的特点
（1）适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立．
（2）揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量．
3、推论：cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)，cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)，cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)
4、余弦定理的推导示例：在∆ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c
如图，因为AC=AB+BC，
∴AC2=AB+BC2，
即AC2=AB2+BC2+2AB∙BC=AB2+BC2+2AB∙BCcs180°−B
从而b2=a2+c2−2accsB
同理，根据AB=AC+CB，BC=BA+AC，
可以得到c2=a2+b2−2abcsC，a2=b2+c2−2bccsA
二、解三角形
1、解三角形：一般地，三角形的三个角A，B，C和她们的对边a，b，c叫做三角形的元素.
已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
2、余弦定理在解三角形中的应用
（1）类型1：已知两边及一角，解三角形
方法概要：先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：
一是利用余弦定理的推论求出其余角；
二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解；
（2）类型2：已知三边解三角形
法一：已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一
法二：若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解
三、判断三角形形状时常用到的结论
1、为直角三角形或或
2、为锐角三角形，且，且
3、为钝角三角形，且，且
4、若，则或
题型一 已知两边与一角解三角形
【例1】（2022春·湖南株洲·高一校联考期中）（多选）已知 中，内角所对的边分别为， 且， 则的值可能是 （ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2023·高一课时练习）若中，，，，则______．
【变式1-2】（2022春·福建福州·高一校联考期末）在中，，，.则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1-3】（2022·高一课时练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则_________．
题型二 已知三边解三角形
【例2】（2022春·辽宁丹东·高一凤城市第一中学校考阶段练习）中，角A、B、C所对的边为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2022春·浙江丽水·高一校考阶段练习）在中，，则的最小角为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2022·高一课时练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则B等于（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2022·高一单元测试）在中，若，则的最大内角为（ ）
A． B． C． D．
题型三 判断三角形的形状
【例3】（2022春·广西柳州·高一校考阶段练习）在中，，则三角形的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形
C．正三角形 D．等腰三角形
【变式3-1】（2022·高一课时练习）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则该三角形一定是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【变式3-2】（2022春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期中）若三角形的三边长分别是3，4，6，则这个三角形的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定
【变式3-3】（2021春·黑龙江哈尔滨·高一校考期末）（多选）在中，若，则的形状可能为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．不存在
【变式3-4】（2022春·上海浦东新·高一华师大二附中校考阶段练习）已知的三边a､b､c满足：，则此三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定
题型四 求边或角的取值范围
【例4】（2022·高一课时练习）在钝角中，角、、所对的边分别为、、，若，，则最大边的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2022·高一课时练习）在中，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2023·高一课时练习）不等边三角形中，角的对边分别为，且最大边满足，则角的取值范围是______．
【变式4-3】（2022春·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考期中）在中，角所对的边分别为，若，则角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-4】（2022春·黑龙江大庆·高一校考阶段练习）中，，则最大值______．