资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩8页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
- 11.2 正弦定理-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(苏教版2019必修第二册) 试卷 0 次下载
- 11.3 余弦定理、正弦定理的应用-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(苏教版2019必修第二册) 试卷 0 次下载
- 第11章：解三角形 章末检测试卷-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(苏教版2019必修第二册) 试卷 0 次下载
- 12.1 复数的概念-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(苏教版2019必修第二册) 试卷 0 次下载
- 12.2 复数的运算-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(苏教版2019必修第二册) 试卷 0 次下载
第11章：解三角形 重点题型复习-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(苏教版2019必修第二册)
展开
这是一份第11章：解三角形 重点题型复习-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(苏教版2019必修第二册)，文件包含第11章解三角形重点题型复习原卷版docx、第11章解三角形重点题型复习解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共37页， 欢迎下载使用。
第11章：解三角形重点题型复习题型一 余弦定理解三角形【例1】（2023·全国·高一专题练习）在中，若，，，则等于（ ）A． B． C． D． 【答案】A【解析】在中，若，，,则,即，即，解得 ，舍去，故选：A【变式1-1】（2023秋·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中学校考期末）中，角的对边分别为，且，，，那么满足条件的三角形的个数有（ ）A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个【答案】C【解析】因为在中，，，，由余弦定理可得：，所以，也即，解得：，所以满足条件的三角形的个数有2个，故选：.【变式1-2】（2022·高一课时练习）在ABC中，，，a，b是方程的两个根，且，则边AB的长为（ ）A．10 B． C． D．5【答案】B【解析】由题意得∵，∴，∴.故选：B【变式1-3】（2023·全国·高一专题练习）已知在中，，那么的值为（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由可得，，由余弦定理可得，故选：A【变式1-4】（2023·江苏·高一专题练习）一个钝角三角形的三边为连续的正整数，则三边长为______．【答案】【解析】因为一个钝角三角形的三边为连续的正整数，所以，设该钝角三角形的三边为，设该钝角三角形的最大的边所对角为，则为钝角，所以，即，解得因为，所以或，当时，三边长为，不能构成三角形，舍去；当时，三边长为，可以构成三角形.所以，满足题意的三角形的三边长为题型二 正弦定理解三角形【例2】（2023·全国·高一专题练习）在中，已知，，，解三角形．【答案】，，.【解析】∵，，∴，，∴由正弦定理得，，，∴，，.【变式2-1】（2023·全国·高一专题练习）在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，c的值．【答案】A＝45°，【解析】A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°．，由得，，所以A＝45°，．【变式2-2】（2023·全国·高一专题练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则外接圆的半径为（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，因为，所以，所以外接圆的半径为.故选：A.【变式2-3】（2023·全国·高一专题练习）不解三角形，判断下列三角形解的个数．（1），，；（2），，；（3），，．【答案】（1）一解；（2）两解；（3）无解【解析】（1）由正弦定理，∴，∵，∴，∴只有一解，三角形解的个数为一解.（2）由正弦定理，∴，∴，∵，，∴，∴有两解，三角形解的个数为两解.（3）∵，∴，∴，∴无解，三角形无解.【变式2-4】（2022春·重庆·高一统考学业考试）（多选）在中，角,,所对的边分别为,,，下列四个命题中，正确的命题为（ ）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则这个三角形有两解【答案】BCD【解析】对于A，因为，则，所以，故A错误;对于B, 若，又，则，，则，故B正确;对于C，若，则，由正弦定理可得所以，故C正确;对于D, 由正弦定理得,所以,由得,所以为锐角或钝角，有两解，故D正确.故选: BCD题型三 三角形的面积问题【例3】（2022春·山东菏泽·高一统考期末）在中，角A､B､C对边分别为a､b､c，且，当，时，的面积是（ ）A ． B． C． D．【答案】C【解析】对于，用正弦定理得：.因为，且,所以.由余弦定理得：,解得：（舍去）.所以的面积是.故选：C【变式3-1】（2022春·天津和平·高一校考期中）在中，已知，，，则的面积为（ ）A． B．或 C． D．【答案】B【解析】因为中，已知，，，所以，由余弦定理得，解得或2，所以的面积或．故选：B.【变式3-2】（2023·全国·高一专题练习）已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，（表示的面积），则（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由余弦定理可得，即①，又，即②，①代入②可得，整理可得，则③，③代入①可得，由余弦定理可得．故选：C.【变式3-3】（2022春·河北唐山·高一统考期末）的内角、、所对的边是、、，其面积为.若，则角________.【答案】【解析】因为，则，，则，所以，，解得.【变式3-4】（2023·高一单元测试）我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在中，、、所对的边长分别为、、，则的面积.根据此公式，若，且，则的面积为__.【答案】【解析】由于，所以，故，即，因为，，故.由余弦定理得，整理得，所以.题型四 判断三角形的形状【例4】（2023·江苏·高一专题练习）在中，已知，则是（ ）A．直角三角形； B．锐角三角形； C．钝角三角形； D．等边三角形．【答案】A【解析】由已知，所以，因为，所以，即三角形为直角三角形．故选：A．【变式4-1】（2022春·上海浦东新·高一上海市川沙中学校考期中）在中，，则的形状为_____.(填“锐角三角形”、“钝角三角形”或“直角三角形”)【答案】钝角三角形【解析】在中，，由正弦定理得，所以，，由余弦定理得，因为，所以.故的形状是钝角三角形.【变式4-2】（2023·高一课时练习）在中，，则的形状为______．【答案】直角三角形【解析】因为据正、余弦定理得：，，即，化简得：，，即，所以为直角三角形.【变式4-3】（2023·高一课时练习）在中，，且，试判断的形状．【答案】等边三角形【解析】因为，所以，所以由余弦定理得，因为，所以，因为，，又，所以，则，所以，因为，所以，故，即，又因为，所以，又，所以是等边三角形.【变式4-4】（2023春·四川内江·高一四川省内江市第六中学校考开学考试）已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中正确的命题是（ ）A．若，则一定是等边三角形B．若，则一定是等腰三角形C．若，则一定是等腰三角形D．若，则一定是锐角三角形【答案】A【解析】由正弦定理，若，则，为三角形内角，所以，三角形是等边三角形，A正确；若，由正弦定理得，即，，则或，即或，三角形为等腰三角形或直角三角形，B错；例如，，，满足，但此时不是等腰三角形，C错；时，由余弦定理可得，即为锐角，但是否都是锐角，不能保证，因此该三角形不一定是锐角三角形，D错.故选：A．题型五 求多三角形中的边角问题【例5】（2022·全国·高一假期作业）如图，在平面四边形中，，，，，，则（ ）A．1 B．3 C．2 D．4【答案】C【解析】设，在中，由正弦定理可得①，由可得，则，，在中，由正弦定理可得②，①②两式相除，得，即，整理得，化简得，故.故选:C【变式5-1】（2023·全国·高一专题练习）在某次军训演习中，小王在相距为的点和，分别测得对方两人的藏身地点在处和处，且，如图所示．此时的距离为______________．【答案】【解析】在中，由正弦定理得，解得，在中，因为，所以为等边三角形，所以，在中由余弦定理得，解得.【变式5-2】（2023·全国·高一专题练习）如图，在锐角中，，，，点在边的延长线上，且.（1）求；（2）求的周长.【答案】（1）；（2）30.【解析】（1）在中，，，，由正弦定理可得，故，因为是锐角三角形，所以 .（2）由（1）得，所以.在中，，，，所以.所以的周长为.【变式5-3】（2022春·全国·高一期末）如图，在梯形中，已知，，，，．（1）求；（2）求的长；（3）求的面积．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）因为，则为钝角，由，可得，．.（2）在中，由正弦定理得，即，解得.（3）因为，则，所以，，，在中，由余弦定理得，即，解得或（舍）．.【变式5-4】（2022·全国·高一期中）如图，四边形ABCD中，，，．（1）求的值；（2）若，，求CD的长．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由余弦定理，，则，所以，又，且，所以.（2）过作于，，又，所以，，令，则，故，在△中，即，所以，即CD的长为.题型六 三角形中的最值范围问题【例6】（2023·全国·高一专题练习）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则△ABC面积的最大值是______．【答案】【解析】由正弦定理及，得，∵，∴,∵，∴．由余弦定理，∴，即 ，当且仅当 时取等号，∴，当且仅当时等号成立，∴的面积的最大值为．【变式6-1】（2022·高一课时练习）在中，角所对的边分别为，已知向量，且．若，且是锐角三角形，则的取值范围为______．【答案】【解析】由题意得，所以，因为，所以，所以，由正弦定理得，所以，，则．因为是锐角三角形，所以，，又，所以，即，所以，所以，故．【变式6-2】（2023·全国·高一专题练习）在中，角的对边分别为.已知角边上的高为.（1）若，求的周长；（2）求面积的最小值.【答案】（1）12；（2）【解析】（1）依题意，得，故，又，，所以，则，又由得，因此，则，故的周长为12.（2）法一：由题意可得，则，又因为，因为，所以当，即时，，故，所以的面积为，所以面积的最小值为.法二：在中由余弦定理可得，，又由（1）可知，即，所以，解得，当且仅当时，等号成立.所以，所以面积最小值为.【变式6-3】（2023·全国·高一专题练习）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．（1）求B；（2）若的面积等于，求的周长的最小值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，所以，因为，所以，所以，∵，所以，所以，∴；（2）依题意，∴ac＝4，所以，当且仅当时取等号，又由余弦定理得，∴，当且仅当a＝c＝2时取等号，所以的周长最小值为．【变式6-4】（2023·安徽宿州·统考一模）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.（1）求角A的大小；（2）求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由正弦定理可得，即，由余弦定理的变形得，又，所以.（2）由得，且，所以，所以，因为，从而，所以，从而.即的取值范围为.题型七 三角形的中线、角平分线与垂线【例7】（2022·高一课时练习）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，角C的平分线交AB于点D，且，，则c的值为（ ）A．3 B． C． D．【答案】C【解析】在△BCD中，，即，在△DCA中，即，由，解得.故选:C.【变式7-1】（2022春·湖北荆州·高一沙市中学校考期中）在中，，，，（1）若平分边且交于，求的长；（2）若平分且交于，求的长．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，所以，解得（2）由正弦定理可得因为，所以即，又，所以由可得【变式7-2】（2022春·江苏宿迁·高一统考期中）在斜三角形△中，，，分别是内角，，的对边，.（1）求角；（2）若点为的中点，，，求的长.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）在斜△中，由余弦定理知：，且，所以，则，由得：，则，又，所以，又，则，即.（2）由正弦定理得：，即，从而.在△中，从而，则，.因为为中点，所以，从而，即.【变式7-3】（2023秋·广东揭阳·高三统考期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，点D为BC边的中点.（1）求A；（2）若，，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由及正弦定理得：.由，得.所以.因为，所以，则.又，所以；（2）∵点D为BC边的中点，∴，∴，又∵，，∴，即. ①又∵在△ABC中， ，，，∴，②∴由①②得：，∴△ABC的面积.【变式7-4】（2022春·江苏盐城·高一盐城市田家炳中学校考期中）在△ABC中， .（1）求∠B的大小；（2）再从下列三个条件中，选择两个作为已知，使得△ABC存在且唯一，求△ABC的面积条作①；条件②；条件③：AB边上的高为.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，接第一个解答计分.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由正弦定理及.得，因为，所以因为，所以.（2）选择条件①②，△ABC存在且唯一，解答如下：由，及，得.由正弦定理及，得，解得.方法1：由，得.所以.方法2：由余弦定理，得即，解得所以选择①③，△ABC存在且唯一，解答如下：由，及，得.因为AB边上的高为，所以.由正弦定理及，得，解得：.（以下与选择条件①②相同）题型八 解三角形在实际中的应用【例8】（2023·山西·校联考模拟预测）中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为37，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部的仰角分别为30°和45°，在处测得楼顶部的仰角为15°，则鹳雀楼的高度约为（ ）A．64 B．74 C．52 D．91【答案】B【解析】因为中，⊥，m，，所以m，因为中，⊥，，所以，由题意得：，故，在中，由正弦定理得：，即，故m，故m故选：B【变式8-1】（2023·江苏·高一专题练习）一帆船要从A处驶向正东方向200海里的B处，当时有自西北方向吹来的风，风速为海里/小时，如果帆船计划在5小时内到达目的地，则船速的大小应为（ ）A．海里/小时 B．海里/小时 C．海里/小时 D．海里/小时【答案】A【解析】如图所示，，，，，；又，船速的大小应为海里小时．故选：A【变式8-2】（2023春·安徽合肥·高一合肥一中校考阶段练习）（多选）如图，在海岸上有两个观测点C，D，C在D的正西方向，距离为2 km，在某天10:00观察到某航船在A处，此时测得∠ADC=30°，5分钟后该船行驶至B处，此时测得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，则（ ）A．当天10:00时，该船位于观测点C的北偏西15°方向B．当天10:00时，该船距离观测点CkmC．当船行驶至B处时，该船距观测点CkmD．该船在由A行驶至B的这5 min内行驶了km【答案】ABD【解析】A选项中，∠ACD=∠ACB+∠BCD=60°+45°=105°，因为C在D的正西方向，所以A在C的北偏西15°方向，故A正确.B选项中，在△ACD中，∠ACD=105°，∠ADC=30°，则∠CAD=45°.由正弦定理，得AC=，故B正确.C选项中，在△BCD中，∠BCD=45°，∠CDB=∠ADC+∠ADB=30°+60°=90°，即∠CBD=45°，则BD=CD=2，于是BC=2，故C不正确.D选项中，在△ABC中，由余弦定理，得AB2=AC2+BC2－2AC·BCcos∠ACB=2+8－22=6，即AB=km，故D正确.故选：ABD．【变式8-3】（2023·江苏·高一专题练习）如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点.从点测得点的仰角点的仰角以及；从点测得，已知山高，则山高________.【答案】【解析】在中，，，所以．在中，，，从而，由正弦定理得，，因此．在中，，，得．【变式8-4】（2023·全国·高一专题练习）在临港滴水湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图ABCD所示.为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形ABCD区域中，将三角形ABD区域设立成花卉观赏区，三角形BCD区域设立成烧烤区，边AB、BC、CD、DA修建观赏步道，边BD修建隔离防护栏，其中米，米，.（1）如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏（精确到0.1米）？（2）考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形ABCD区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？【答案】（1）247.4m；（2）应使得，来修建观赏步道.【解析】（1），解得：，因为C是钝角，所以.由余弦定理得：，故需要修建247.4m的隔离防护栏；（2）解法一：，当且仅达时取到等号，此时m，设，，在中，，解得：，故，因为，所以，故当，即时，取的最大值为1，，当且仅当时取到等号，此时答：修建观赏步道时应使得，.解法二：，当且仅达时取到等号，此时，设，.则由余弦定理，，故由平均值不等式，，从而，等号成立当且仅当.答：修建观赏步道时应使得，.
第11章：解三角形重点题型复习题型一 余弦定理解三角形【例1】（2023·全国·高一专题练习）在中，若，，，则等于（ ）A． B． C． D． 【答案】A【解析】在中，若，，,则,即，即，解得 ，舍去，故选：A【变式1-1】（2023秋·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中学校考期末）中，角的对边分别为，且，，，那么满足条件的三角形的个数有（ ）A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个【答案】C【解析】因为在中，，，，由余弦定理可得：，所以，也即，解得：，所以满足条件的三角形的个数有2个，故选：.【变式1-2】（2022·高一课时练习）在ABC中，，，a，b是方程的两个根，且，则边AB的长为（ ）A．10 B． C． D．5【答案】B【解析】由题意得∵，∴，∴.故选：B【变式1-3】（2023·全国·高一专题练习）已知在中，，那么的值为（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由可得，，由余弦定理可得，故选：A【变式1-4】（2023·江苏·高一专题练习）一个钝角三角形的三边为连续的正整数，则三边长为______．【答案】【解析】因为一个钝角三角形的三边为连续的正整数，所以，设该钝角三角形的三边为，设该钝角三角形的最大的边所对角为，则为钝角，所以，即，解得因为，所以或，当时，三边长为，不能构成三角形，舍去；当时，三边长为，可以构成三角形.所以，满足题意的三角形的三边长为题型二 正弦定理解三角形【例2】（2023·全国·高一专题练习）在中，已知，，，解三角形．【答案】，，.【解析】∵，，∴，，∴由正弦定理得，，，∴，，.【变式2-1】（2023·全国·高一专题练习）在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，c的值．【答案】A＝45°，【解析】A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°．，由得，，所以A＝45°，．【变式2-2】（2023·全国·高一专题练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则外接圆的半径为（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，因为，所以，所以外接圆的半径为.故选：A.【变式2-3】（2023·全国·高一专题练习）不解三角形，判断下列三角形解的个数．（1），，；（2），，；（3），，．【答案】（1）一解；（2）两解；（3）无解【解析】（1）由正弦定理，∴，∵，∴，∴只有一解，三角形解的个数为一解.（2）由正弦定理，∴，∴，∵，，∴，∴有两解，三角形解的个数为两解.（3）∵，∴，∴，∴无解，三角形无解.【变式2-4】（2022春·重庆·高一统考学业考试）（多选）在中，角,,所对的边分别为,,，下列四个命题中，正确的命题为（ ）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则这个三角形有两解【答案】BCD【解析】对于A，因为，则，所以，故A错误;对于B, 若，又，则，，则，故B正确;对于C，若，则，由正弦定理可得所以，故C正确;对于D, 由正弦定理得,所以,由得,所以为锐角或钝角，有两解，故D正确.故选: BCD题型三 三角形的面积问题【例3】（2022春·山东菏泽·高一统考期末）在中，角A､B､C对边分别为a､b､c，且，当，时，的面积是（ ）A ． B． C． D．【答案】C【解析】对于，用正弦定理得：.因为，且,所以.由余弦定理得：,解得：（舍去）.所以的面积是.故选：C【变式3-1】（2022春·天津和平·高一校考期中）在中，已知，，，则的面积为（ ）A． B．或 C． D．【答案】B【解析】因为中，已知，，，所以，由余弦定理得，解得或2，所以的面积或．故选：B.【变式3-2】（2023·全国·高一专题练习）已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，（表示的面积），则（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由余弦定理可得，即①，又，即②，①代入②可得，整理可得，则③，③代入①可得，由余弦定理可得．故选：C.【变式3-3】（2022春·河北唐山·高一统考期末）的内角、、所对的边是、、，其面积为.若，则角________.【答案】【解析】因为，则，，则，所以，，解得.【变式3-4】（2023·高一单元测试）我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在中，、、所对的边长分别为、、，则的面积.根据此公式，若，且，则的面积为__.【答案】【解析】由于，所以，故，即，因为，，故.由余弦定理得，整理得，所以.题型四 判断三角形的形状【例4】（2023·江苏·高一专题练习）在中，已知，则是（ ）A．直角三角形； B．锐角三角形； C．钝角三角形； D．等边三角形．【答案】A【解析】由已知，所以，因为，所以，即三角形为直角三角形．故选：A．【变式4-1】（2022春·上海浦东新·高一上海市川沙中学校考期中）在中，，则的形状为_____.(填“锐角三角形”、“钝角三角形”或“直角三角形”)【答案】钝角三角形【解析】在中，，由正弦定理得，所以，，由余弦定理得，因为，所以.故的形状是钝角三角形.【变式4-2】（2023·高一课时练习）在中，，则的形状为______．【答案】直角三角形【解析】因为据正、余弦定理得：，，即，化简得：，，即，所以为直角三角形.【变式4-3】（2023·高一课时练习）在中，，且，试判断的形状．【答案】等边三角形【解析】因为，所以，所以由余弦定理得，因为，所以，因为，，又，所以，则，所以，因为，所以，故，即，又因为，所以，又，所以是等边三角形.【变式4-4】（2023春·四川内江·高一四川省内江市第六中学校考开学考试）已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中正确的命题是（ ）A．若，则一定是等边三角形B．若，则一定是等腰三角形C．若，则一定是等腰三角形D．若，则一定是锐角三角形【答案】A【解析】由正弦定理，若，则，为三角形内角，所以，三角形是等边三角形，A正确；若，由正弦定理得，即，，则或，即或，三角形为等腰三角形或直角三角形，B错；例如，，，满足，但此时不是等腰三角形，C错；时，由余弦定理可得，即为锐角，但是否都是锐角，不能保证，因此该三角形不一定是锐角三角形，D错.故选：A．题型五 求多三角形中的边角问题【例5】（2022·全国·高一假期作业）如图，在平面四边形中，，，，，，则（ ）A．1 B．3 C．2 D．4【答案】C【解析】设，在中，由正弦定理可得①，由可得，则，，在中，由正弦定理可得②，①②两式相除，得，即，整理得，化简得，故.故选:C【变式5-1】（2023·全国·高一专题练习）在某次军训演习中，小王在相距为的点和，分别测得对方两人的藏身地点在处和处，且，如图所示．此时的距离为______________．【答案】【解析】在中，由正弦定理得，解得，在中，因为，所以为等边三角形，所以，在中由余弦定理得，解得.【变式5-2】（2023·全国·高一专题练习）如图，在锐角中，，，，点在边的延长线上，且.（1）求；（2）求的周长.【答案】（1）；（2）30.【解析】（1）在中，，，，由正弦定理可得，故，因为是锐角三角形，所以 .（2）由（1）得，所以.在中，，，，所以.所以的周长为.【变式5-3】（2022春·全国·高一期末）如图，在梯形中，已知，，，，．（1）求；（2）求的长；（3）求的面积．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）因为，则为钝角，由，可得，．.（2）在中，由正弦定理得，即，解得.（3）因为，则，所以，，，在中，由余弦定理得，即，解得或（舍）．.【变式5-4】（2022·全国·高一期中）如图，四边形ABCD中，，，．（1）求的值；（2）若，，求CD的长．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由余弦定理，，则，所以，又，且，所以.（2）过作于，，又，所以，，令，则，故，在△中，即，所以，即CD的长为.题型六 三角形中的最值范围问题【例6】（2023·全国·高一专题练习）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则△ABC面积的最大值是______．【答案】【解析】由正弦定理及，得，∵，∴,∵，∴．由余弦定理，∴，即 ，当且仅当 时取等号，∴，当且仅当时等号成立，∴的面积的最大值为．【变式6-1】（2022·高一课时练习）在中，角所对的边分别为，已知向量，且．若，且是锐角三角形，则的取值范围为______．【答案】【解析】由题意得，所以，因为，所以，所以，由正弦定理得，所以，，则．因为是锐角三角形，所以，，又，所以，即，所以，所以，故．【变式6-2】（2023·全国·高一专题练习）在中，角的对边分别为.已知角边上的高为.（1）若，求的周长；（2）求面积的最小值.【答案】（1）12；（2）【解析】（1）依题意，得，故，又，，所以，则，又由得，因此，则，故的周长为12.（2）法一：由题意可得，则，又因为，因为，所以当，即时，，故，所以的面积为，所以面积的最小值为.法二：在中由余弦定理可得，，又由（1）可知，即，所以，解得，当且仅当时，等号成立.所以，所以面积最小值为.【变式6-3】（2023·全国·高一专题练习）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．（1）求B；（2）若的面积等于，求的周长的最小值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，所以，因为，所以，所以，∵，所以，所以，∴；（2）依题意，∴ac＝4，所以，当且仅当时取等号，又由余弦定理得，∴，当且仅当a＝c＝2时取等号，所以的周长最小值为．【变式6-4】（2023·安徽宿州·统考一模）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.（1）求角A的大小；（2）求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由正弦定理可得，即，由余弦定理的变形得，又，所以.（2）由得，且，所以，所以，因为，从而，所以，从而.即的取值范围为.题型七 三角形的中线、角平分线与垂线【例7】（2022·高一课时练习）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，角C的平分线交AB于点D，且，，则c的值为（ ）A．3 B． C． D．【答案】C【解析】在△BCD中，，即，在△DCA中，即，由，解得.故选:C.【变式7-1】（2022春·湖北荆州·高一沙市中学校考期中）在中，，，，（1）若平分边且交于，求的长；（2）若平分且交于，求的长．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，所以，解得（2）由正弦定理可得因为，所以即，又，所以由可得【变式7-2】（2022春·江苏宿迁·高一统考期中）在斜三角形△中，，，分别是内角，，的对边，.（1）求角；（2）若点为的中点，，，求的长.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）在斜△中，由余弦定理知：，且，所以，则，由得：，则，又，所以，又，则，即.（2）由正弦定理得：，即，从而.在△中，从而，则，.因为为中点，所以，从而，即.【变式7-3】（2023秋·广东揭阳·高三统考期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，点D为BC边的中点.（1）求A；（2）若，，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由及正弦定理得：.由，得.所以.因为，所以，则.又，所以；（2）∵点D为BC边的中点，∴，∴，又∵，，∴，即. ①又∵在△ABC中， ，，，∴，②∴由①②得：，∴△ABC的面积.【变式7-4】（2022春·江苏盐城·高一盐城市田家炳中学校考期中）在△ABC中， .（1）求∠B的大小；（2）再从下列三个条件中，选择两个作为已知，使得△ABC存在且唯一，求△ABC的面积条作①；条件②；条件③：AB边上的高为.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，接第一个解答计分.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由正弦定理及.得，因为，所以因为，所以.（2）选择条件①②，△ABC存在且唯一，解答如下：由，及，得.由正弦定理及，得，解得.方法1：由，得.所以.方法2：由余弦定理，得即，解得所以选择①③，△ABC存在且唯一，解答如下：由，及，得.因为AB边上的高为，所以.由正弦定理及，得，解得：.（以下与选择条件①②相同）题型八 解三角形在实际中的应用【例8】（2023·山西·校联考模拟预测）中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为37，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部的仰角分别为30°和45°，在处测得楼顶部的仰角为15°，则鹳雀楼的高度约为（ ）A．64 B．74 C．52 D．91【答案】B【解析】因为中，⊥，m，，所以m，因为中，⊥，，所以，由题意得：，故，在中，由正弦定理得：，即，故m，故m故选：B【变式8-1】（2023·江苏·高一专题练习）一帆船要从A处驶向正东方向200海里的B处，当时有自西北方向吹来的风，风速为海里/小时，如果帆船计划在5小时内到达目的地，则船速的大小应为（ ）A．海里/小时 B．海里/小时 C．海里/小时 D．海里/小时【答案】A【解析】如图所示，，，，，；又，船速的大小应为海里小时．故选：A【变式8-2】（2023春·安徽合肥·高一合肥一中校考阶段练习）（多选）如图，在海岸上有两个观测点C，D，C在D的正西方向，距离为2 km，在某天10:00观察到某航船在A处，此时测得∠ADC=30°，5分钟后该船行驶至B处，此时测得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，则（ ）A．当天10:00时，该船位于观测点C的北偏西15°方向B．当天10:00时，该船距离观测点CkmC．当船行驶至B处时，该船距观测点CkmD．该船在由A行驶至B的这5 min内行驶了km【答案】ABD【解析】A选项中，∠ACD=∠ACB+∠BCD=60°+45°=105°，因为C在D的正西方向，所以A在C的北偏西15°方向，故A正确.B选项中，在△ACD中，∠ACD=105°，∠ADC=30°，则∠CAD=45°.由正弦定理，得AC=，故B正确.C选项中，在△BCD中，∠BCD=45°，∠CDB=∠ADC+∠ADB=30°+60°=90°，即∠CBD=45°，则BD=CD=2，于是BC=2，故C不正确.D选项中，在△ABC中，由余弦定理，得AB2=AC2+BC2－2AC·BCcos∠ACB=2+8－22=6，即AB=km，故D正确.故选：ABD．【变式8-3】（2023·江苏·高一专题练习）如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点.从点测得点的仰角点的仰角以及；从点测得，已知山高，则山高________.【答案】【解析】在中，，，所以．在中，，，从而，由正弦定理得，，因此．在中，，，得．【变式8-4】（2023·全国·高一专题练习）在临港滴水湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图ABCD所示.为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形ABCD区域中，将三角形ABD区域设立成花卉观赏区，三角形BCD区域设立成烧烤区，边AB、BC、CD、DA修建观赏步道，边BD修建隔离防护栏，其中米，米，.（1）如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏（精确到0.1米）？（2）考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形ABCD区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？【答案】（1）247.4m；（2）应使得，来修建观赏步道.【解析】（1），解得：，因为C是钝角，所以.由余弦定理得：，故需要修建247.4m的隔离防护栏；（2）解法一：，当且仅达时取到等号，此时m，设，，在中，，解得：，故，因为，所以，故当，即时，取的最大值为1，，当且仅当时取到等号，此时答：修建观赏步道时应使得，.解法二：，当且仅达时取到等号，此时，设，.则由余弦定理，，故由平均值不等式，，从而，等号成立当且仅当.答：修建观赏步道时应使得，.
相关资料
更多
