第11章：解三角形 章末检测试卷-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(苏教版2019必修第二册)

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第11章：解三角形章末检测试卷一、单选题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2023·高一单元测试）在中，角、、对的边分别为、、．若，，，则角等于（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由余弦定理可得，，故.故选：A.2．（2022·高一课时练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列条件能确定三角形有两解的是（ ）A． B．C． D．【答案】B【解析】如图所示．若A为锐角，且有两解，则．对于A选项，，，但，此时没有两解，A选项不满足条件；对于B选项，，此时有两解，B选项满足条件；对于C选项，，且，此时只有一解，C选项不满足条件．对于D选项，，此时没有两解，D选项不满足条件；故选：B．3．（2023·全国·高一专题练习）在中，，，则一定是（ ）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形【答案】D【解析】在中，因为，，所以由余弦定理可得，，所以，即，所以，结合可得一定是等边三角形．故选：D.4．（2023春·安徽安庆·高一安庆一中校考阶段练习）小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为（ ）A．20 m B．30 m C．20 m D．30 m【答案】D【解析】，由题意知：∠CAM＝45°，∠AMC＝105°，所以∠ACM＝30°，在Rt△ABM中，AM＝＝，在△ACM中，由正弦定理得＝，所以CM＝＝，在Rt△DCM中，CD＝CM·sin∠AMD＝＝30.故选：D.5．（2023·高一单元测试）在中，角的对边分别为，的面积为，则（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题知，的面积为，所以，即所以由正弦定理得，即，所以，因为，所以．故选：D6．（2022春·河南安阳·高一安阳县第一高级中学校考阶段练习）在中，角、、所对的边分别为、、，且，则下列结论正确的是（ ）A．B．的最小内角是最大内角的一半C．是钝角三角形D．若，则的外接圆直径为【答案】B【解析】由，不妨设，，，，解得，，.由正弦定理知，即A选项错误；∵，∴最大的内角为，最小的内角为，由余弦定理知，，，，角A和角C都为锐角，故，即B选项正确；最大的内角为，∵，∴为锐角，是锐角三角形，即C选项错误；∵，∴，由正弦定理，∴的外接圆直径，即D选项错误.故选：B7．（2023·全国·高一专题练习）在中，内角所对的边分别为，点为的中点，，，且的面积为，则（ ）A． B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】由题知，在中，点D为的中点，，，且的面积为，所以在中由余弦定理得，即，因为，即，代入，所以，即，所以，所以，故选：B8．（2023秋·吉林·高一吉林一中校考阶段练习）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，则的取值范围为（ ）．A． B． C． D．【答案】D【解析】中，由余弦定理得，，且的面积为，由，得，化简得；又，，所以，化简得，解得或（不合题意，舍去）；因为，所以，所以，由，且，，解得，所以，所以，所以；设，其中，所以，又，所以时，y取得最大值为，时，；时，，且．所以，即的取值范围是，故选：D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．（2022春·广东广州·高一校联考期中）已知中，其内角A，B，C的对边分别为a，b，下列命题正确的有（ ）A．若，，，则B．若，，，则C．若A>B，则D．若，，则外接圆半径为10【答案】ABC【解析】A.因为，，，由余弦定理得：，解得，故A正确；B.因为，，，由正弦定理得：，解得，故B正确；C.因为，所以，由正弦定理，得(R为外接圆半径)，所以，故C正确；D.因为，，设R为外接圆半径，由正弦定理，，所以，故D错误.故选：ABC10．（2023·江苏·高一专题练习）的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ）A．若，则B．若为钝角三角形，则C．若，则有两解D．若三角形为斜三角形，则【答案】ACD【解析】对于A，若，则，由正弦定理可得，所以，，A正确；对于B，若为钝角三角形，假设为钝角，则，可得，B错误；对于C，，则，如图：所以有两解，C正确；对于D，因为，所以因为，所以，所以，D正确.故选：ACD11．（2023·全国·高一专题练习）重庆的解放碑是重庆的地标性建筑，吸引众多游客来此打卡拍照．如图所示，现某中学数学兴趣小组对解放碑的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图，为解放碑的最顶端，为基座（即在的正下方），在步行街上（与在同一水平面内）选取两点，测得的长为．小组成员利用测角仪已测得，则根据下列各组中的测量数据，能确定计算出解放碑高度的是（ ）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】对于A选项，如图，根据，可利用正弦定理求得，从而求得，故A正确；对于选项，根据，，利用正弦定理可求得，从而求得，故B正确；对于C选项，根据四个条件，无法通过解三角形求得，故C错误；对于D选项，由借助直角三角形和余弦定理，用表示出，然后结合在三角形中利用余弦定理列方程，解方程求得，故正确.故选：．12．（2023·全国·高一专题练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，内角A的平分线交BC于点D，，，以下结论正确的是（ ）A． B． C． D．的面积为【答案】ACD【解析】在中，∵，则，整理得，所以，由二倍角公式得，解得，在中，则，故选项A正确；在中，则，故选项B错误；由题意可知：，即，由，解得，故选项C正确；在中，∵，则，∴，故选项D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（2023·全国·高一专题练习）在中，内角，，所对的边分别是，，，若，，，则______．【答案】【解析】由余弦定理得即，解得（舍），14．（2023·全国·高一专题练习）在中，设、、分别是三个内角、、所对的边，，，面积，则内角的大小为__．【答案】或【解析】∵的面积，∴，∵，∴或．15．（2023·全国·高一专题练习）在中，a，b，c分别是内角A，B，C所对边的长，已知，，，则边AB的长是______．【答案】8【解析】因为，，所以，，又因为，所以，又因为，在中由正弦定理得.16．（2023·全国·高一专题练习）南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积术”，与著名的海伦公式等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减小，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即．现有周长为的满足，试用“三斜求积术”求得的面积为______．【答案】【解析】由正弦定理可得．设，因为的周长，解得：，所以，.四、解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（2023·江苏·高一专题练习）在中，内角、、所对的边分别为、、．已知，，，．（1）求和的值；（2）求的值．【答案】（1）；或；（2）或【解析】（1）因为，，，则由正弦定理得：，即，又，所以为锐角，则，由余弦定理得：，即，解得：或，经检验或均能构成三角形，所以：或.（2），由（1）得：当时，则，所以为锐角，则，所以，当时，则，所以，故的值为或.18．（2023·高一单元测试）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角B的大小；（2）如图，若D是外接圆的劣弧AC上一点，且．求AD．【答案】（1）；（2）2【解析】（1）由边化角可得，即，即，所以，因为，所以，所以，,所以.（2）在中，由余弦定理得，所以，由圆的内接四边形的性质可知,在中，由余弦定理得，所以即，解得或（舍）.19．（2023·全国·高一专题练习）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求A；（2）若，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）根据正弦定理及，得.∵，∴.∵，∴.（2）由（1）知，又，由余弦定理得，即，∵，∴，即，当且仅当时取等号.∴.∴的最大值为.20．（2023·全国·高一专题练习）在中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且满足，．（1）求cosC的值；（2）若，D是AB的中点，求CD的长．【答案】（1）或；（2）或.【解析】（1）在中，，，当时，，；当时，，（2）由（1） 当时，，因为，所以，在中，由正弦定理可得，又，，，所以，在中，由余弦定理可得又，，，所以，所以，由（1） 当时，，因为，所以，在中，由正弦定理可得，又，，，所以，在中，由余弦定理可得又，，，所以21．（2023·全国·高一专题练习）记锐角的角所对的边分别为．已知．（1）求角的大小；（2）若，求边上的高的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，所以，由正弦定理边角互化可得：所以，因为，所以，所以．因为所以.（2）设边上高为，垂足为，设，则，所以，，由（1）得，所以，因为，所以，即，解不等式得或；解不等式得，因为，所以22．（2023·江苏·高一专题练习）2022年北京冬奥会的成功举办激发了人们对冰雪运动的热情．如图是某滑雪场的横截面示意图，雪道分为两部分，小明同学在点测得雪道的坡度，在点测得点的俯角．若雪道长为270m，雪道长为260m．（1）求该滑雪场的高度h；（2）据了解，该滑雪场要用两种不同的造雪设备来满足对于雪量和雪质的不同要求，其中甲设备每小时造雪量比乙设备少，且甲设备造雪所用的时间与乙设备造雪所用的时间相等．求甲、乙两种设备每小时的造雪量．【答案】（1）235m；（2）甲种设备每小时的造雪量是，乙种设备每小时的造雪量是．【解析】（1）过作，过作，两直线交于，过作垂直地面交地面于，如图：根据题知 ，∴．∵BC的坡度，∴．设，则，∵，∴，解得（负值已舍去），∴，所以，该滑雪场的高度h为235m．（2）设甲种设备每小时的造雪量是，则乙种设备每小时的造雪量是，根据题意得：，解得，经检验，是原分式方程的解，也符合题意，∴．所以，甲种设备每小时的造雪量是，乙种设备每小时的造雪量是．