数学必修 第二册12.1 复数的概念课后练习题

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一、复数的有关概念
1、定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，实部是eq \a\vs4\al(a)，虚部是eq \a\vs4\al(b).
2、虚数单位：把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝－1，我们把i叫作虚数单位．
3、表示方法：复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)．
4、复数集：①定义：全体复数所成的集合．②表示：通常用大写字母C表示．
【注意】复数概念说明：
（1）复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.
（2）复数的实部是a，虚部是实数b而非bi.
（3）复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是代数形式．
二、复数的分类
对于复数a＋bi，
（1）当且仅当b＝0时，它是实数；
（2）当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；
（3）当b≠0时，叫做虚数；
（4）当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数．
这样，复数z＝a＋bi可以分类如下：复数=实数b=0 虚数(b≠0)(当a=0时为纯虚数).
【注意】复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
三、复数相等
在复数集C＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a＋bi|a，b∈R))中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，
我们规定：两个复数相等的充要条件是实部与虚部分别相等。
四、虚数单位i及其性质
in有如下性质：
i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1，
从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i，
同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.
这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.
题型一 复数的相关概念辨析
【例1】（2023·全国·高一专题练习）（多选）下列命题中，不正确的是（ ）
A．是一个复数 B．形如的数一定是虚数
C．两个复数一定不能比较大小 D．若，则
【变式1-1】（2023·全国·高一专题练习）（多选）下列说法错误的是（ ）
A．复数不是纯虚数
B．若，则复数是纯虚数
C．若是纯虚数，则实数
D．若复数，则当且仅当时，z为虚数
【变式1-2】（2022·高一课时练习）设集合，，，则，，间的关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2022·高一单元测试）设，“复数是纯虚数”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件； B．必要不充分条件；
C．充分必要条件； D．既不充分也不必要条件.
题型二 求复数的实部与虚部
【例2】（2022春·上海浦东新·高一校考期末）若复数，则复数的虚部为_________．
【变式2-1】（2023·全国·高一专题练习）欧拉公式（e为自然对数的底数，i为虚数单位）是瑞士著名数学家欧拉发明的，是英国科学期刊《物理世界》评选出的十大最伟大的公式之一．根据欧拉公式可知，复数虚部为______．
【变式2-2】（2022·高一课时练习）以的虚部为实部，以的实部为虚部的复数是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2022·全国·高一假期作业）已知复数的实部大于虚部，则的取值范围为________．
题型三 虚数单位i及其性质
【例3】（2023·高一课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．表示虚数单位，所以它不是一个虚数
B．的平方根是
C．是纯虚数
D．若，则复数没有虚部
【变式3-1】（2022春·湖南常德·高一临澧县第一中学校考阶段练习）已知为虚数单位，则等于（ ）
A． B．1 C． D．
【变式3-2】（2022春·广东肇庆·高一统考期末）已知i为虚数单位，则_________．
【变式3-3】（2023·高一课时练习）计算：______．
题型四 已知复数类型求参数
【例4】（2023·高一单元测试）已知复数是纯虚数,则实数=（ ）
A．－1 B．1 C．－2 D．2
【变式4-1】（2023·高一课时练习）复数为纯虚数的充要条件是（ ）
A． B．且 C．且 D．且
【变式4-2】（2023·高一课时练习）已知复数．当实数取什么值时，复数是：
（1）虚数；
（2）纯虚数．
【变式4-3】（2022·高一课时练习）已知复数．
（1）若复数z是实数，求实数a的值；
（2）若复数z是虚数，求实数a的取值范围；
（3）复数z是不是纯虚数？若是纯虚数，求出实数a的值；若不是纯虚数，请说明理由．
题型五 利用复数相等求参数
【例5】（2023·全国·高一专题练习）已知复数，，，则（ ）
A．3 B．1 C． D．
【变式5-1】（2022·高一课时练习）已知，，则“”是“”的________条件．
【变式5-2】（2022·高一课时练习）已知，，若，求实数的值．
【变式5-3】（2022·高一课时练习）分别求满足下列条件的实数x，y的值．
（1） ；
（2）.