第12章：复数 重点题型复习-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(苏教版2019必修第二册)

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第12章：复数重点题型复习题型一 复数的概念辨析【例1】（2023·全国·高一专题练习）已知复数（i为虚数单位）的实部与虚部互为相反数，则的取值不可能为（ ）．A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知可得，即，解得或计算选项中的三角函数可得，，，，故选：B.【变式1-1】（2022·高一课时练习）已知复数是虚数，则实数m的取值范围是（ ）A．R B． C． D．【答案】C【解析】由题意可得：，则，故实数m的取值范围是.故选：C.【变式1-2】（2023·高一单元测试）“”是“复数为纯虚数”的（ ）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】，时是纯虚数，充分；是纯虚数，则，不必要．故选：A【变式1-3】（2023·高一课时练习）设C为复数集，R为实数集，I为虚数集，M为纯虚数集，则下列式子中不正确的是______（请填代号）．①； ②； ③； ④．【答案】②【解析】，则①判断正确；，则②判断错误；，则③判断正确；，则④判断正确【变式1-4】（2023·全国·高一专题练习）若复数 为纯虚数， 求实数的值．【答案】.【解析】因为复数 为纯虚数，又，于是得，解得，所以实数的值为.【变式1-5】（2022·高一课时练习）若，且，求实数x的取值范围．【答案】【解析】由题意知，可得，解得，当时，可得，此时满足，所以实数x的取值范围.【变式1-6】（2022·高一课时练习）已知复数z的共轭复数，且．求z．【答案】或．【解析】设，则，依题意有，则有，即，因此，解得或，所以或．题型二 复数的四则运算【例2】（2023·全国·高一专题练习）设复数，则（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】设，则，∵，∴，即：，∴，∴，∴.故选：D.【变式2-1】（2022·全国·高一假期作业）复数满足，则（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，则，故，即，故，解得，故，故故选：A【变式2-2】（2022春·广西南宁·高一校考阶段练习）复数满足，则下列说法正确的是（ ）A．的实部为3 B．的虚部为2 C． D． 【答案】BD【解析】由于，可得,即选项D正确；由得的实部为-3，虚部为2，故A错误，B正确；由共轭复数的定义可知，故C错误.故选：BD.【变式2-3】（2023·全国·高一专题练习）已知复数满足，，其中为虚数单位，，若，求的值.【答案】1或7.【解析】，，，所以，又因为，，所以，所以，解得或.所以的值是1或7.题型三 复数的高次方计算【例3】（2022·高一课时练习）若复数为实数，则实数________．【答案】【解析】因为为实数，所以，即．【变式3-1】（2022·高一课时练习）计算：________．【答案】【解析】因为，所以.【变式3-2】（2022春·辽宁沈阳·高一沈阳二中校考阶段练习）若复数满足为虚数单位，则（ ）A． B．1 C． D．【答案】A【解析】由题设，，且，所以.故选：A【变式3-3】（2023·高一课时练习）已知复数满足且，则的值为______．【答案】【解析】设（），则，根据，得；根据，得，由解得，故.，由于；同理得.因此得【变式3-4】（2022·高一单元测试）复数满足为纯虚数；（1）求复数；（2）求.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，所以，则由题意可得：，解得，所以；（2）题型四 复数的几何意义【例4】（2023·全国·高一专题练习）已知复平面内的向量对应的复数分别是－2＋i，3＋2i，则＝________．【答案】【解析】∴对应的复数为(－2＋i)＋(3＋2i)＝1＋3i，【变式4-1】（2022春·福建福州·高一福州黎明中学校考期末）已知复数，则复数z在复平面内对应点所在的象限是（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】依题意，对应复平面的点是，在第一象限.故选：A【变式4-2】（2023·高一课时练习）两个复数，（、、、都是实数且，），对应的向量在同一直线上的充要条件是（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】复数对应的向量为，复数对应的向量为，则的充要条件为.故选：D.【变式4-3】（2023·全国·高一专题练习）求实数分别取何值时，复数对应的点满足下列条件：（1）在复平面内的轴上方；（2）在实轴负半轴上．【答案】（1）或；（2）【解析】（1）因为复数对应的点为，所以，因为点在轴上方，所以，解得或，所以或.（2）因为复数z的对应点在实轴负半轴上，则，解得，所以.【变式4-4】（2023·全国·高一专题练习）如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应的复数分别为0，3＋2i，－2＋4i．求：（1）对应的复数；（2）对应的复数；（3）对应的复数及的长度．【答案】（1）－3－2i；（2）5－2i；（3）【解析】（1）因为，所以对应的复数为32i.（2）因为，所以对应的复数为(3＋2i) (2＋4i)＝52i.（3）因为，所以对应的复数为(3＋2i)＋(2＋4i)＝1＋6i.所以题型五 复数相等及解方程【例5】（2022·高一课时练习）关于的方程有实根，求实数的值.【答案】或【解析】设方程的实根为，则原方程可变为，所以，解得或，所以实数的值为或.【变式5-1】（2023·高一课时练习）已知是关于x的方程的一个根，则实数p＝______，q＝______．【答案】 8 26【解析】因为是关于x的方程的一个根，所以是方程的另一个根，所以，解得，故答案为：8，26.【变式5-2】（2023·全国·高一专题练习）已知关于的实系数一元二次方程有两个虚根和，且，则的值为（ ）A．2 B． C． D．【答案】C【解析】因为方程有两个虚根和，所以，则，又由求根公式知两虚根为，，所以，则，解得，满足要求，所以.故选：C.【变式5-3】（2021春·安徽亳州·高一安徽省涡阳第一中学校考阶段练习）（1）若，求实数，的值；（2）若关于的方程有实根，求实数的值.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）由复数相等的充要条件，得，解得.（2）设方程的实根为，则原方程可变为所以，由即，解得：或，当时，，可得：，当时，，解得：所以或【变式5-4】（2022春·浙江金华·高一统考期中）已知复数是虚数单位.（1）若复数在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围；（2）若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由已知得到，因为在复平面上对应点落在第一象限，所以，解得，所以（2）因为虚数是实系数一元二次方程的根，所以是方程的另一个根，所以，所以，所以，所以，所以.【变式5-5】（2022春·上海长宁·高一上海市第三女子中学校考期末）关于的方程（）的两个根为，．（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的值．【答案】（1）6；（2）或【解析】（1）由得方程有一对共轭复数根，所以，所以，所以.（2）①当，即时，方程有两实数根，所以，，则，解得；②当，即时，方程有两虚数根，即，不妨设，；则解得；综上：实数的值为或．题型六 与复数模有关的最值【例6】（2022春·新疆乌鲁木齐·高一兵团二中校考期末）复数满足，则的最大值为（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】复数满足，其对应的点是以原点为圆心，为半径的圆上的点，复数几何意义是复数对应的点到点的距离，所以的最大值为，故选：D.【变式6-1】（2022春·北京·高一北京二中校考阶段练习）设复数，满足，，则的最大值为（ ）A． B． C．6 D．【答案】D【解析】由题意，复数，满足，，可得在复平面内对应的点是以为圆心，以为半径的圆，复数在复平面内对应的点是以为圆心，以为半径的圆，则的几何意义是两圆上点的距离，所以的最大值为.故选：D.【变式6-2】（2022·高一单元测试）如果复数z满足，那么的最大值是（ ）A． B．1 C．2 D．【答案】D【解析】设复数、在复平面内对应的点分别为，复数在复平面对应的点为：由可知：复数z在复平面内对应的点到两点的距离之和为2，而，所以点在线段上，故，由，当时，的最大值为：，故选：D【变式6-3】（2022春·江西新余·高一统考期末）已知复数满足（是虚数单位），则的最大值为__________【答案】【解析】因为复数满足，所以根据复数的几何意义有，复数对应的点到点的距离为1，即点的轨迹为以为圆心，半径的圆，所以的最大值为，故答案为：.【变式6-4】（2022春·江苏扬州·高一扬州中学校考阶段练习）已知z∈C，且，（i为虚数单位），则的最大值为______.【答案】【解析】表示以为圆心，为半径的圆，则圆心C到点的距离＝＝，则的最大值为.故答案为：.