高一数学下学期第一次月考模拟试卷（平面向量+三角恒等变换）-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(苏教版2019必修第二册)

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姓名___________ 班级_________ 考号_______________________
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．（2022春·江苏南京·高一南京市雨花台中学校考阶段练习）已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对于A，，A错误；对于B，，B错误；
对于C，，则，C正确；
对于D，，D错误.故选：C.
2．（2022春·山东·高一统考阶段练习）若角，均为锐角，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】角，均为锐角，即，而，则，
又，则，
所以.故选：B
3．（2022春·江苏镇江·高一江苏省丹阳高级中学校考阶段练习）已知、满足：，，，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，，∴，
所以.故选：C.
4．（2022春·河北石家庄·高一统考阶段练习）如图，在平行四边形中，E是中点，G为与的交点，若，则用表示（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在平行四边形中，，故与相似，
所以，即，
所以，
又，，
所以，
所以.
故选：B
5．（2022春·福建龙岩·高一上杭县第二中学校考阶段练习）在中，若，则－定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
【答案】C
【解析】由向量的数量积的运算公式，可得，即，
因为，所以为钝角，所以－定是钝角三角形.故选：C.
6．（2022春·山东·高一校联考阶段练习）化简（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】.
故选：B
7．（2022春·福建厦门·高一厦门双十中学校考阶段练习）若向量，，，且，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，，且，
所以，解得.所以，
所以在上的投影向量为
.故选：C
8．（2023春·湖南邵阳·高一统考阶段练习）函数，若，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数，
因为，则，所以，
因为，所以，一个为的最大值，一个为最小值，
则，或
解得，或
所以（i），或（ii）
对于（i），当时，的最小值是，
对于（ii），当时，的最小值是，
综上，的最小值是，故选：D
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2022秋·福建福州·高一统考期末）若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】，∵，则，∴.
对C，，C对；
对A，，，A对；
对B，，B错；
对D，，D对.故选：ACD.
10．（2022春·重庆北碚·高一西南大学附中校考阶段练习）八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2的正八边形ABCDEFGH，其中=2，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．在上的投影向量为
【答案】ACD
【解析】，A正确；
由向量加法的平行四边形法则知是
以为邻边的平行四边形的对角线对应的向量，起点是，
易知该平行四边形的对角线长不等于的二倍，
即，而，因此B错误；
，C正确；
，在上的投影为，
又，∴在上的投影向量为，D正确．故选：ACD．
11．（2022春·江苏泰州·高一校考阶段练习）对任意的锐角，下列不等关系恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】对于A，若，则，
整理可得：，
对任意的锐角，恒成立，故A正确；
对于B，，
当，，，，故B不正确；
对于C，若，则，
整理可得：，
对任意的锐角，恒成立，故C正确；
对于D，，
当，，，，故D不正确.故选：AC
12．（2022秋·河南洛阳·高一宜阳县第一高级中学校考阶段练习）已知点O为所在平面内一点，且则下列选项正确的有（ ）
A． B．直线过边的中点
C． D．若，则
【答案】ACD
【解析】，则，A正确；
若，则，
所以是△的重心，
直线过中点，而与不平行，
所以直线不过边的中点，B错误；
又，而，，所以，C正确；
若，且，所以，
而，D正确.故选：ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．（2023春·广东东莞·高一东莞市东华高级中学校联考阶段练习）已知向量，满足，，，则______．
【答案】2
【解析】因为，所以.故答案为：2.
14．（2023春·湖北荆州·高一沙市中学校考阶段练习）_________．
【答案】
【解析】 .
故答案为：
15．（2022春·山东临沂·高一校考阶段练习）在中，点是边上（不包含顶点）的 动点，若，则 的最小值______.
【答案】
【解析】如图，可知x，y均为正，且，
，
当且仅当，即时等号成立，
则的最小值为.
故答案为：.
16．（2022春·江苏泰州·高一校考阶段练习）已知，且，则___________.
【答案】
【解析】，
，
则，
即，又，
则，则，
即，则.
故答案为：.
四．解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2022春·湖北襄阳·高一襄阳四中校考阶段练习）
（1）已知，是两个不共线的向量，向量，，求（用，表示）.
（2）设，是不共线的两个非零向量.若与共线，求实数的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）∵，，
∴；
（2）由，不共线可知为非零向量，而与共线，
所以存在唯一实数，使得，
因为，不共线，所以，解得
18．（2022春·北京顺义·高一北京市顺义区第一中学校考阶段练习）已知向量与的夹角，且，．
（1）求，；
（2）求；
（3）与的夹角的余弦值．
【答案】（1），；（2）；（3）
【解析】（1）已知向量与的夹角，且，，
则，
所以；
（2）
（3）与的夹角的余弦值为.
19．（2022春·江苏南京·高一南京市雨花台中学校考阶段练习）已知，．
（1）求的值；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为，，
又，所以，
∴.
（2）因为，
，
又因为，所以，
由（1）知，，
所以．
因为，，则，所以．
20．（2021春·江苏苏州·高一苏州市第三中学校校考期中）如图，已知一条河的两岸平行，河的宽度为d，某人从河的北岸出发到河对岸，河水自西向东流速为，设某人在静水中游泳的速度为，在流水中实际速度为．
（1）如果要使此人游得路程最短，且，求此人游泳的方向与水流方向的夹角和的大小；
（2）如果要使此人游得时间最短，且，求他实际前进的方向与水流方向的夹角和的大小．
【答案】（1），;（2） ,.
【解析】（1）如果要使此人游得路程最短，
只需此人的游泳速度和水流的速度的和速度与对岸垂直，如图，
此人游泳的方向与水流方向的夹角，
此时，.
（2）如下图，设与的夹角为，与的夹角为，实际游泳的距离为，
所以，，所以，
故当与的夹角为时，此人游泳到对岸用时最短，
如下图，当，由于，
故，此时，所以.
21．（2023秋·广东广州·高一广州市第一中学校考阶段练习）已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）求函数的最大值与最小值．
【答案】（1），
（2）最大值，最小值-2，
【解析】（1）由于,故，
解得，,
故函数的单调递增区间为，
（2）
当时，，
故当时，取最小值-2，当时，取最大值.
22．（2022春·重庆北碚·高一西南大学附中校考阶段练习）如图，A，B是单位圆上的相异两定点（为圆心），（为锐角），点C为单位圆上的动点，线段AC交线段于点M（点M异于点、B）
（1）求（结果用表示）；
（2）若
①求的取值范围；
②设，记，求的最小值.
【答案】（1）；（2）①；②
【解析】（1）；
（2）①设，，则，
，，
又，则.
②设，则，
因为，
所以，
所以，
因为，所以，即，
化简得，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为．