2023-2024学年河南省济源市高一上学期期末质量调研数学试题（含解析）

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这是一份2023-2024学年河南省济源市高一上学期期末质量调研数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若实数a，b，c满足ac2>bc2，m>0，则下列结论中正确的是
( )
A. a>bB. a>bC. 1a<1bD. ba2.下列各式中：①0∉N；②0∈⌀；③⌀∈0；④⌀⊆0；⑤0,1=0,1；⑥Z⊆Q.正确的个数是
( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
3.命题“任意x∈R，都有ex>0”的否定为( )
A. 存在x0∈R，使得ex0≤0B. 不存在x∈R，使得ex≤0
C. 存在x0∈R，使得ex0>0D. 对任意x∈R，都有ex≤0
4.方程lg3x+2x−8=0的解所在区间是
．( )
A. (1,2)B. (2,3)C. (3,4)D. (5,6)
5.华罗庚是享誉世界的数学大师，国际上以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”“华氏不等式”“华氏算子”“华—王方法”等，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征．已知函数y=fx的图象如图所示，则fx的解析式可能是
( )
A. f(x)=2sinxB. f(x)=2csxC. fx=12sinxD. fx=12csx
6.设a=33，b=0.90.8，c=lg0.90.8，则
( )
A. c>a>bB. a>c>bC. a>b>cD. c>b>a
7.若π2<θ<π，tanθ=−3，则1+sin2θ+cs2θsinθ−csθ 2+2cs2θ=( )
A. −35B. −54C. −45D. 45
8.设f(x)是定义在(−∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数，对任意的x1,x2∈(0,+∞)满足x2fx1−x1fx2x1−x2>0且f(1)=2，则不等式f(x)>2x的解集为
( )
A. (−1,0)∪(1,+∞)B. (−1,0)∪(0,1)
C. (−∞,−1)∪(1,+∞)D. (−∞,−2)∪(2,+∞)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 幂函数的图象都过1,1点
B. 函数y=x2与y=( x)4是同一函数
C. 函数y=2x与y=lg2x的图象关于直线y=x对称
D. y=sinx，x∈−2024π,2024π是以2π为周期的函数
10.记无理数e=2.7182⋯5904523536⋯小数点后第x位上的数字是y，则y是x的函数，记作y=fx，定义域为M，值域为N，则下列说法正确的是
( )
A. f4=2B. x也是y的函数
C. N⊆MD. y=fx不是周期函数
11.将函数fx=sin2x+φφ<π2的图象向左平移π4个单位得到函数gx的图象，若gx的图象与fx的图象关于y轴对称，则下列说法正确的有
( )
A. φ=π4
B. fx图象的对称轴过gx图象的对称中心
C. 在−π8,π8上，gx与fx都单调递减
D. fx和gx图象的交点为kπ2,1k∈Z
12.设函数y=fx的定义域为R，且f1+x=f1−x，fx−2+f−x=0，当x∈−1,1时，fx=−x+1，则下列说法正确的是
( )
A. y=fx是偶函数
B. y=fx+3为奇函数
C. f1+f2+f3+⋅⋅⋅+f2024=0
D. 函数y=fx−lgx有11个不同的零点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知某扇形的半径为3，面积为3π2，那么该扇形的弧长为．
14.设a，b∈R，定义运算a⊗b=a,a≤bb,b15.随着全民健身运动的开展，人们的健身需求更加多样化和个性化．某健身机构趁机推出线上服务，健身教练开通直播，线上具有获客、运营、传播等便利，线下具有器械、场景丰富等优势，成功吸引新会员留住老会员．据机构统计，当直播间吸引粉丝量不低于2万人时，其线下销售健身卡的利润y(单位：万元)随粉丝量x(单位：万人)的变化情况如下表所示．根据表中数据，我们用函数模型y=lgax+m+b进行拟合，建立y关于x的函数解析式．请你按此模型估测，当直播间的粉丝量为17万人时，线下销售健身卡的利润大约为万元．
16.已知fx=sinωx+φ(ω>0)满足fπ4=1，f5π3=0，且fx在π4,5π6上单调，则ω的最大值为．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
设函数fx=lgx2−1的定义域为集合A,gx= 4x+a−2的定义域为集合B．
(1)当a=1时，求∁RA∩B；
(2)若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数a的取值范围．
18.(本小题12分)
(1)计算：lg4+2lg5+ln e−7lg73−4(−2)4+827−23；
(2)当a>0时，求关于x的不等式ax2−3x+2>ax−1的解集．
19.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系中，锐角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边和单位圆交于A点，将OA绕点O按逆时针方向旋转角β后，终边在第二象限和单位圆交于B点．点A的横坐标为35，点B的横坐标为−1213．
(1)求2cs3π2+α+csπ−α的值；
(2)求csπ4+α2的值；
(3)求tanβ的值．
20.(本小题12分)
春运是中国在农历春节前后发生的一种大规模全国性交通运输高峰期、高交通运输压力现象.已知某火车站候车厅，候车人数与时间t相关，时间t(单位：小时)满足0(1)求f(t)的表达式，并求当天中午12点时，候车厅候车人数;
(2)若为了解决旅客的安全饮水问题，需要提供的免费矿泉水瓶数P=f(t)−3320t320，则一天中哪个时间需要提供的矿泉水瓶数最少?
21.(本小题12分)
如图，在扇形OPQ中，半径OP=1，圆心角∠POQ=π3，C是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形，记∠POC=x，矩形ABCD的面积为fx．
(1)求fx；
(2)求fx的最大值及此时x的值；
(3)若fx≥3− 36，求x的取值范围．
22.(本小题12分)
已知a>1，函数fx=ax−1+x−4，gx=x−3+lgax．
(1)若a=2，fm=m，求g2m；
(2)若fm=−2，gm=−2，求m；
(3)若fm=0，gn=0，求证：m+n=4．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】利用不等式性质一一判定选项即可．
【详解】因为ac2>bc2，m>0，所以a>b，故 A正确；
若0>a>b⇒a若a>0>b⇒1a>1b，故 C错误；
若0>a>b,m=−b⇒ba>0=b+ma+m，故 D错误．
故选：A
2.【答案】B
【解析】【分析】根据集合元素之间的关系，集合与集合的关系一一判断即可．
【详解】①0∉N错误，N中包括0；
②0∈⌀错误，⌀中没有任何元素；
③⌀∈0错误，⌀与0之间为包含关系，不应该用属于符号；
由③可知，④正确；
⑤0,1=0,1错误，0,1中有两个元素0,1，0,1中只有一个元素0,1；
⑥Z⊆Q正确，有理数中包括整数．
故选：B
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查命题的否定，注意全称量词命题和存在量词命题的关系，属于基础题．
根据题意，由全称量词命题和存在量词命题的关系，分析可得答案．
【解答】
解：根据题意，命题“任意x∈R，都有ex>0”为全称量词命题，
其否定为：存在x0∈R，使得ex0≤0，
故选：A．
4.【答案】C
【解析】【分析】判断所给选项中的区间的两个端点的函数值的积的正负性即可选出正确答案．
【详解】∵f(x)=lg3x−8+2x，
∴f(1)=lg31−8+2=−6<0，f(2)=lg32−8+4<0，f(3)=lg33−8+6=−1<0，f(4)=lg34>0，f(5)=lg35+2>0,f(6)=lg36+4>0∴f(3)⋅f(4)<0，
∵函数f(x)=lg3x−8+2x的图象是连续的，
∴函数f(x)的零点所在的区间是(3,4)．
故选C
【点睛】本题考查了根据零存在原理判断方程的解所在的区间，考查了数学运算能力．
5.【答案】A
【解析】【分析】根据指数函数、三角函数的单调性及复合函数的单调性判定选项即可．
【详解】由y=fx的图象在纵轴右侧先单调递增再递减，
又y=2x和y=sinx在纵轴右侧均先递增，而y=12x和y=csx在纵轴右侧均先递减，由复合函数的单调性可排除B、C，
若fx=12csx，则根据复合函数单调性有x∈−π2,0时函数单调递减，与图象不符，故 D错误；
而f(x)=2sinx，则根据复合函数单调性有x∈−π2,π2时函数单调递减，与图象相符，故 A正确．
故选：A
6.【答案】A
【解析】【分析】利用幂函数，指数函数以及对数函数的单调性以及中间值法即可比较大小．
【详解】因为31=1，
所以c>a>b．
故选：A
7.【答案】C
【解析】【分析】利用余弦、正弦的二倍角公式及其逆用结合角的范围将目标式子化简，然后结合正弦、余弦的齐次式，将之化为正切的式子，然后将条件代入即可得出答案．
【详解】因为π2<θ<π，tanθ=−3，所以csθ<0，sinθ>0，
所以1+sin2θ+cs2θsinθ−csθ 2+2cs2θ=2cs2θ+2csθsinθsinθ−csθ 21+cs2θ
=2csθcsθ+sinθsinθ−csθ 4cs2θ=2csθsin2θ−cs2θ2csθ
=cs2θ−sin2θ=cs2θ−sin2θcs2θ+sin2θ=1−tan2θ1+tan2θ=1−91+9=−45．
故选：C．
8.【答案】A
【解析】【分析】设Fx=fxx，判断出Fx的奇偶性、单调性，由此求得不等式f(x)>2x的解集．
【详解】设Fx=fxx，由于f(x)是定义在(−∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数，
所以F−x=f−x−x=fxx=Fx，所以Fx是定义在(−∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数．
任取0Fx1−Fx2=fx1x1−fx2x2=x2fx1−x1fx2x1x2<0，Fx1所以Fx在0,+∞上递增，则Fx在−∞,0上递减．
f(1)=2=f−1，F1=f11=2=F−1，
对于不等式f(x)>2x，
当x>0时，有fxx>2，即Fx>F1⇒x>1；
当x<0时，由fxx<2，即Fx综上所述，不等式f(x)>2x的解集为(−1,0)∪(1,+∞)．
故选：A
9.【答案】AC
【解析】【分析】根据幂函数的性质可判定A，利用同一函数的定义可判定B，利用反函数的性质可判定C，利用周期性定义可判定D．
【详解】对于A，易知幂函数y=xαα∈R，显然恒过定点1,1，故 A正确；
对于B，由y=( x)4可知x≥0，即其定义域为0,+∞，而y=x2的定义域为R，所以两函数定义域不同，故B错误；
对于C，由反函数的定义易知函数y=2x与y=lg2x互为反函数，
故其函数图象关于直线y=x对称，故 C正确；
对于D，根据周期性定义知对于定义域内x=2024π，2024π+2π∉−2024π,2024π，不满足周期性定义，故 D错误．
故选：AC．
10.【答案】AD
【解析】【分析】根据给定信息求出函数的定义域M，值域为N，再逐项判断即可．
【详解】由题可得M=N∗，N=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，则N不是M的子集，所以C不正确，
无理数e小数点后第4位上的数为2，故f4=2， A正确，
当y=2时，对应的x不是唯一确定的，根据函数的定义可知x不是y的函数，故 B不正确，
由于e为无理数，所以y=fx不是周期函数，故 D正确．
故选：AD
11.【答案】AB
【解析】【分析】利用三角函数图象变换及三角函数的图象与性质一一判定选项即可．
【详解】由gx的图象与fx的图象关于y轴对称可知gx=f−x，
又根据题意可知gx=sin2x+π4+φ=sin2x+π2+φ=sin−2x+φ，
整理得cs2x+φ+sin2x−φ=0，即sin2x+cs2xcsφ−sinφ=0，
显然sin2x+cs2x不能恒为零，所以csφ−sinφ=0φ<π2⇒φ=π4，故 A正确；
即fx=sin2x+π4,gx=−sin2x−π4，
令2x+π4=π2+kπ⇒x=π8+kπ2，所以2x−π4=kπ⇒x=π8+kπ2，
即fx图象的对称轴为x=π8+kπ2，gx图象的对称中心为π8+kπ2,0，故 B正确；
当x∈−π8,π8⇒2x+π4∈0,π2，此时fx单调递增，显然 C错误；
由fx=gx⇒sin2x+π4+sin2x−π4=2sin2xcsπ4=0⇒sin2x=0，
即2x=kπ⇒x=kπ2，此时fkπ2=gkπ2=sinkπ+π4=± 22，故 D错误．
故选：AB
12.【答案】BC
【解析】【分析】利用抽象函数的对称性及奇偶性性质可判定A、B，利用函数的周期性可计算C，结合对数函数的图象与性质可判定D．
【详解】因为f1+x=f1−x，fx−2+f−x=0，
所以y=fx的图象关于x=1轴对称，且关于−1,0中心对称，
且f1+1+x=f1−1+x=f−x=−fx−2，
即fx+2=−fx−2⇒fx+8=−fx+4=fx，
所以y=fx的一个正周期为T=8，
因为当x∈−1,1时，fx=−x+1，则f2=f0=1，
所以由题意可知：f−2=f4=−f−6=−f2≠f2，故 A错误；
同理fx+3=f−1−x=−fx−1=−f3−x，
所以y=fx+3为奇函数，故 B正确；
易知f1=0,f2=1,f3=f−1=0,f4=f−4=−1，f5=−f−7=−f1=0，
f6=f−4=−1,f7=f−1=0,f8=f0=1，
所以f1+f2+f3+⋅⋅⋅+f8=0，
故f1+f2+f3+⋅⋅⋅+f2024=20248×0=0，故 C正确；
函数y=fx−lgx的零点等价于y=fx与y=lgx的交点个数，
作出函数图象如下：
如图所示，fx≤1，当x>10时，y=fx与y=lgx无交点，
同理x<−10时，y=fx与y=lgx无交点，
即两函数交点在−10,10上，易知共有10个交点，故D错误．
故选：BC
【点睛】方法点睛：抽象函数的奇偶性、对称性、周期性常有以下结论
(1)fx+a=fb−x⇒fx关于x=a+b2轴对称，
(2)fx+a+fb−x=2c⇒fx关于a+b2,c中心对称，
(3)fx+a=fx+b⇒fx的一个周期为T=a−b，
(4)fx+a=−fx+b⇒fx的一个周期为T=2a−b．
可以类比三角函数的性质记忆以上结论．
13.【答案】π
【解析】【分析】
本题主要考查扇形面积公式的应用，结合扇形的面积公式是解决本题的关键．比较基础．
根据扇形的面积公式直接进行求解即可．
【解答】
解：设扇形的弧长为l，
则S=12×3×l=3π2，
得l=π，
故答案为：π
14.【答案】 22
【解析】【分析】根据题中定义，结合正弦函数、余弦函数的性质进行求解即可．
【详解】当sinx≥csx时，fx=csx，由sinx≥csx⇒sinx−csx≥0⇒ 2sinx−π4≥0⇒2kπ≤x−π4≤2kπ+π(k∈Z)
⇒2kπ+π4≤x≤2kπ+5π4(k∈Z)，
所以fxmax=f2kπ+π4=cs2kπ+π4= 22(k∈Z)；
当sinx⇒2kπ+5π4综上所述：函数fx=sinx⊗csx的最大值是 22，
故答案为： 22
【点睛】关键点睛：运用分类讨论法，结合正弦型函数的正负性进行求解即可．
15.【答案】133 或413
【解析】【分析】代入表格数据利用待定系数法及对数运算法则计算得函数解析式，再求x=17时的函数值即可．
【详解】根据题意及表格有43=lgam+3+b73=lgam+5+b103=lgam+9+b，作差得1=lgam+5m+31=lgam+9m+5,
即m+5m+3=m+9m+5=a⇒m=−1,a=2，则43=lg2−1+3+b=1+b⇒b=13，
所以y=lg2x−1+13，
则x=17时，y=lg217−1+13=133．
故答案为：133
16.【答案】1817
【解析】【分析】
本题考查利用正弦型函数的单调性解决参数问题，属于一般题．
由 fπ4=1 ， f5π3=0 得到 T=17π3+6nn∈N ，再由函数在区间 π4,5π6 上单调，求出 ω 的取值范围，从而求出 ω 的最大值．
【解答】
解： ∵f(x)=sin (ωx+φ)(ω>0) 满足 fπ4=1,f53π=0 ，
∴53π−π4=T4+nT2 (n∈N)，即 T=17π3+6nn∈N ，
∴ω=6+12n17n∈N ，
∵fx 在 π4,5π6 上单调，
∴5π6−π4=7π12≤T2=2π2ω ，即 ω≤127 ，
解6+12n17⩽127，得n⩽2714，
∴ 当 n=1 时 ω 最大，最大值为 1817．
故答案为： 1817．
17.【答案】解：(1)由x2−1>0，解得x>1或x<−1，
所以A=−∞,−1∪1,+∞，
所以∁RA=−1,1．
当a=1时，由4x+1−2≥0，得22x+2≥2，即2x+2≥1，
解得x≥−12，所以B=−12,+∞．
所以∁RA∩B=−12,1．
(2)由(1)知，A=−∞,−1∪1,+∞．
由4x+a−2≥0，得22x+2a≥2，即2x+2a≥1，
解得x≥12−a，所以B=12−a,+∞．
因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件，所以B⊆A．
所以12−a>1，解得a<−12．
所以实数a的取值范围是−∞,−12．

【解析】(1)根据真数大于0列不等式求得集合A，根据被开方数不小于0列不等式求得集合B，最后根据集合的交并补混合运算求出答案;
(2)由题意可得集合B是集合A的子集，从而列不等式可求出实数a的取值范围．
18.【答案】解：(1)由lg4+2lg5+ln e−7lg73−4−24+827−23
=lg4+lg52+lne12−3−−2+233−23=lg4×25+12−3−2+233×−23
=2+12−5+94=−14
(2)由ax2−3x+2>ax−1⇔ax2−3+ax+3>0，
即ax−3x−1>0，
若a=3，则ax−3x−1=3x−12>0⇒x∈−∞,1∪1,+∞，
若a>3，则3a<1，所以ax−3x−1>0⇒x∈−∞,3a∪1,+∞，
若3>a>0，则3a>1，所以ax−3x−1>0⇒x∈−∞,1∪3a,+∞，
综上a=3时，不等式解集为−∞,1∪1,+∞；
a>3时，不等式解集为−∞,3a∪1,+∞；
3>a>0时，不等式解集为−∞,1∪3a,+∞．

【解析】(1)利用指数与对数的运算法则计算即可；
(2)含参讨论解一元二次不等式即可．
19.【答案】解：(1)由题意及三角函数定义可知α∈0,π2，csα=35，所以sinα= 1−cs2α=45，
由诱导公式可知2cs3π2+α+csπ−α=2sinα−csα=1；
(2)由(1)及二倍角公式可知2cs2π4+α2−1=csπ2+α=−sinα=−45
⇒cs2π4+α2=110，
又α∈0,π2，所以π4+α2∈π4,π2，故csπ4+α2= 1010(负值舍去)；
(3)由题意可知csα+β=−1213，α+β为第二象限角，
所以sinα+β= 1−cs2α+β=513，
所以csβ=csα+β−α=csα+βcsα+sinα+βsinα
=−1213×35+513×45=−1665，
因为α∈0,π2，α+β为第二象限角，csβ<0，
则β为第二象限角，即sinβ= 1−cs2β=6365，
所以tanβ=sinβcsβ=−6316

【解析】(1)利用三角函数定义，同角三角函数的平方关系及诱导公式计算即可；
(2)利用诱导公式，二倍角公式计算即可；
(3)利用三角函数定义，同角三角函数的平方关系及商数关系结合余弦的差角公式计算即可．
20.【答案】解：(1)当0所以╔╔f(t)= \ begin{cases}5320-20t(16-t),(0
f(12)=5320−20×12×4=4360，
故当天中午12点时，候车厅候车人数为4 360人．
╔╔(2)P= \ begin{cases}20(t+\dfrac{100}{t}),(0
①当0 ②当16≤t≤24时，P≥200024+320≈403;
又403>400，所以t=10时，需要提供的矿泉水瓶数最少．

【解析】本题考查了基本不等式的实际应用和函数模型的应用，是中档题．
21.【答案】解：(1)根据题意可知BC=AD=sinx,OB=csx,OA= 33AD= 33sinx，
所以fx=AB×AD=OB−OA×AD=csx− 33sinx⋅sinx，
整理得fx=csxsinx− 33sin2x=12sin2x+12 3cs2x−12 3
= 33sin2x+π6−12 3x∈0,π3，
(2)由(1)知fx= 33sin2x+π6−12 3x∈0,π3，
所以2x+π6∈π6,5π6，显然2x+π6=π2时，fxmax= 36，此时x=π6；
(3)由(1)(2)知fx= 33sin2x+π6−12 3≥3− 36⇒sin2x+π6≥ 32，
且2x+π6∈π6,5π6
所以2x+π6∈π3,2π3⇒x∈π12,π4，
即不等式的解集为x∈π12,π4．

【解析】(1)解直角三角形结合三角恒等变换计算即可；
(2)利用三角函数的图象与性质计算即可；
(3)利用三角函数的图象与性质计算即可．
22.【答案】解：(1)若a=2，fm=m，则依题意fm=2m−1+m−4=m⇒2m−1=4⇒2m=4×2=8，
所以g2m=g8=8−3+lg28=8；
(2)若fm=−2，gm=−2，则fm=am−1+m−4=−2⇒am−1=2−m，gm=m−3+lgam=−2⇒lgam=1−m⇒m=a1−m，
所以am−1=2−m=1m⇒m=1；
(3)若fm=0，gn=0，则fm=am−1+m−4=0⇒am−1=4−m，gn=n−3+lgan=0⇒lgan=3−n⇒a3−n=n，
所以am−1a3−n=4−mn⇒am+n−4=4−mn，
设m+n−4=t，则at=1−tn⇒at+1nt=1，
易知n>0,a>1，设ℎt=at+1nt，显然ℎt=at+1nt在R上单调递增，
又ℎ0=a0=1，即ℎt=1恰有一个根t=0，
故m+n−4=t=0⇒m+n=4，得证．

【解析】(1)根据指数与对数的运算法则计算即可；
(2)利用函数解析式及指数与对数的运算法则消元转化计算即可；
(3)利用函数解析式得出am−1=4−ma3−n=n，作商得am+n−4=4−mn，根据换元法设m+n−4=t，则at+1nt=1，结合函数ℎt=at+1nt单调性计算即可证明．
思路点睛：第一二问，均借助函数解析式结合指数对数的运算法则计算即可；第三问利用函数解析式得出am−1=4−ma3−n=n，要证m+n=4，显然作商可得m+n结构，利用换元法设m+n−4=t，得at+1nt=1，借助函数ℎt=at+1nt的单调性计算即可证明．
x(万人)
3
5
9
y(万元)
43
73
103

2023-2024学年河南省济源市高一上学期期末质量调研数学试题（含解析）

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