四川省成都市树德中学2023-2024学年高三下学期开学考试数学（理）试题

这是一份四川省成都市树德中学2023-2024学年高三下学期开学考试数学（理）试题，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2. 已知命题：，，则为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3.若复数，为的共轭复数，则复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
4. 如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是( )
A.A，B，C，D四点中必有三点共线 B.A，B，C，D四点中不存在三点共线
C.直线AB与CD相交 D.直线AB与CD平行
5. 双曲线的离心率为，则（ ）
A．B．C．D．
6.已知变量x，y的关系可以用模型y＝cekx拟合，设z＝ln y，其变换后得到一组数据如下：
由上表可得线性回归方程eq \(z,\s\up6(^))＝－4x＋eq \(a,\s\up6(^))，则c等于( )
A．－4 B．e－4 C．109 D．e109
7.已知圆，直线，若圆上任意一点关于直线的对称点仍在圆上，则点必在（ ）
A．一个离心率为的椭圆上 B． 一个离心率为的双曲线上
C． 一个离心率为的椭圆上 D． 一个离心率为的双曲线上
8. 已知函数f(x)＝ex－eq \f(1,ex)，g(x)＝sin x＋eq \f(1,6)x3－ax.对于任意x1，x2，且x1≠x2，都有eq \f(fx1－fx2,gx1－gx2)>0，则实数a的取值范围是( )
A．a<0 B．a≤0C．a<1 D．a≤1
9. 将6个相同的小球放入3个不同的盒子中，每个盒子至多可以放3个小球，且允许有空盒子，则不同的放法共有( )
A．10种 B．16种C．22种 D．28种
10. 已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F(c,0)，上顶点为A(0，b)，直线x＝eq \f(a2,c)上存在一点P满足(eq \(FP,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→)))·eq \(AP,\s\up6(→))＝0，则椭圆的离心率的取值范围为( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5)－1,2)，1))D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))
11. 函数在上的所有零点之和为( )
A.4B.4π C．6 D. 6π
12.要在棱长为的正方体盒子内部放一种圆柱体物件，且此物件恰好以盒子体对角线所在直线为轴，则能放下这样的圆柱体物件的侧面积最大值是（）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 平面向量，若的夹角为钝角，则t的取值范围是________.
14. 把一枚硬币任意抛掷三次，事件“至少一次出现正面”，事件“恰有一次出现正面”，则．
15.已知在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，AC＝4，点P在以A为圆心且与边BC相切的圆上，则eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))的最大值为________．
16.若不等式xex－a≥ln x＋x－1恒成立，则实数a的最大值为________．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（12分）已知数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
18. （12分）如图1,在正方形中，是的中点，点在线段上,且.若将 分别沿折起，使两点重合于点,如图2.
(1)求证:平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
图1 图2
19. （12分）发展新能源是我国的国家战略.小型风力发电项目投资较少，开发前景广阔.受风力自然资源影响，项目投资存在一定风险.根据测算，IEC（国际电工委员会）风能风区的分类标准如下：
某公司计划用不超过100万元的资金投资于A、B两个小型风能发电项目.调研结果是：未来一年内，位于一类风区的A项目获利%的可能性为0.6，亏损%的可能性为0.4；
B项目位于二类风区，获利35%的可能性为0.6，亏损10%的可能性是0.2，不赔不赚的可能性是0.2.
假设投资A项目的资金为（）万元，投资B项目资金为（）万元，且公司要求对A项目的投资不得低于B项目.
（1）记投资A，B项目的利润分别为和，试写出随机变量与的分布列和期望，;
（2）根据以上的条件和市场调研，试估计一年后两个项目的平均利润之和 的最大值，并据此给出公司分配投资金额建议.
20. （12分）已知函数．
（1）当，时，求的单调区间；
（2）当时，若函数有两个不同的极值点，，且不等式有解，求实数的取值范围.
21. （12分）已知抛物线的准线与半椭圆相交于两点，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)若点是半椭圆上一动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，求面积的取值范围．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
选修4─4：坐标系与参数方程
22.(10分)已知极坐标系的极点与直角坐标系的坐标原点重合、极轴与x轴的正半轴重合，若直线的极坐标方程为ρsin(θ−)= QUOTE ．
(1)写出直线的参数方程；
(2)设直线与圆ρ=2相交于A，B两点，求点P(1，1)到A，B两点的距离之积．
选修4─5：不等式选讲
23.(10分)已知关于的不等式的解集为
（1）求实数的值；
（2）求的最大值.
成都树德中学高2021级高三下入学考试试题
理科数学参考答案
选择题：BDCBC DADAC CD
填空题：13. 14. 15.eq \f(56,5) 16.2
解答题
17.（Ⅰ）当时， ，
当时由可得
，
两式相减得，即，————4分
且上式对于时成立．————5分
所以数列的通项公式，————6分
（Ⅱ），————10分
所以
…————12分
18.（1）证明：设正方形的边长为4，由图1知,,
,,
,,即————2分
由题意知，在图2中，,,平面,平面,且,
平面,平面,.————4分
又平面,平面,且,平面————6分
（2）由（1）知平面，则建立如图所示空间直角坐标系，过点作，垂足为，在中，,,从而，,,,
,,.————8分
设平面的一个法向量为，则，
令，则，，.————10分
设直线与平面所成角为,
则,.直线与平面所成角的正弦值为.————12分
19.（1）A项目投资利润的分布列
————3分
B项目投资利润的分布列
————6分
（2）
而 如图所示：由图可知，当，公司获得获利最大，最大为17.5万元.
建议给两公司各投资50万.————12分
20.（1）当，时，，
∴，————2分
∵，令，则或，令，则，
∴的单调递增区间为，，单调递减区间为；————4分
（2）证明：由题可得，∵函数有两个不同的极值点，，
∴方程有两个不相等的正实数根，————5分
于是有解得．————6分
∵不等式有解，∴．
∴
．————10分
设，，
故在上单调递增，故，
∴．故实数的取值范围为．————12分
21.（Ⅰ）由题可知，抛物线的准线为，则有得，
所以.————4分
（Ⅱ）设点坐标为，且满足.
由题意可知切线斜率不会为0，即设切线为，
代入得，
由可得①，
设切点，抛物线的上半部曲线函数关系式为，则，
故，将其代入①可得②.
设切线为，切点，同理可得③.
由②③可知是方程的两根，所以，，
又，，所以代入②③可知，是的两点，即直线方程为————8分（由代半留半得出切点弦方程扣2分）
故
又因为且，所以.————10分
令，由二次函数性质可知，其在上单调递减，故，
所以————12分
22.因为直线的极坐标方程可化为为.
所以直线的普通方程是．————3分
参数方程为（t为参数）————4分
（II）因为点A,B都在直线l上，所以可设它们对应的参数为t1和t2,则点A,B的坐标分别.————6分
圆化为直角坐标系的方程． 以直线的参数方程代入圆的方程整理得到 ①————8分
因为和是方程①的解，从而＝－2．所以|PA|·|PB|= ||＝|－2|＝2．————10分
23.（1）由，得
则解得,————4分
（2）————8分
当且仅当，即时等号成立，故．————10分x
16
17
18
19
z
50
34
41
31
风能分类
一类风区
二类风区
平均风速m/s
8.5---10
6.5---8.5
P
0.6
0.4
0
P
0.6
0.2
0.2