四川省兴文第二中学校2023-2024学年高三下学期开学考试理科数学试题

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1．A 2．D 3．B 4．D 5．C 6．A 7．D 8．B. 9．A 10．D 11．C 12．B
13．11 14． 15．3 16．①②④
17．解：（1）因为，故，
整理得到即,
所以，而，故.
（2）由余弦定理可得，
故，解得，故.
18．解：（1）各班报名人数总共100人，抽取10人，抽样比为，
故班分别抽取（人），（人），（人），（人）.
（2）由题意，的可能取值为1,2,3,4，
,,
,,
所以的分布列为：
（3）由题意，1班每位同学获奖的概率为,设1班获奖人数为，则，
所以至少1人获奖的概率为.
19．解：（1）如图，
取BC的中点F，连接AF交DB的中点O，连接OP，
由，所以，
由是边长为6的等边三角形，且，
所以是边长为2的等边三角形，所以，
在直角中，，
在中，，
所以，又，所以平面BCED，
又因为平面，所以平面平面BCED.
（2）由（1）知：OF，DB，OP两两垂直，建立如下图所示坐标系，
在底面ABC中，由题意可知，且，
所以，
所以，，
设为平面PBD的一个法向量，所以，
即，令，所以，即，
设为平面PCE的一个法向量，所以，
即，令，所以，
即，设平面PDB与平面PEC所成锐二面角的平面角为，
则，所以．
所以平面PDB与平面PEC所成锐二面角的平面角的正弦值为．
20．（1）解：因为的渐近线方程为，所以，所以.
又右焦点到渐近线的距离为，所以，得.
又因为，所以，所以.所以双曲线的标准方程为；
（2）解：由（1）可知的方程为，
设，所以有，过点作与平行的直线分别与双曲线交于点，
由，得，
整理得，所以，
由于，故，
则，故，
所以.同理可得.所以直线：恒过定点.
21．解：（1）若，则，，
所以，又与在上单调递增，所以在上单调递增，
又，所以当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值即最小值，所以.
（2）因为，，，
所以，显然与在上单调递增，
所以在上单调递增，当时，时，
所以存在使得，所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，由（1）可知时有，此时，显然符合；
①若时，有，
由上单调递增，且，
所以存在使得，要使的解集为集合的子集，
而的解集为，因为，所以，
又上单调递增，所以，即有，
则，令，，则，
所以在上单调递增，因为，所以，此时；
②若时，所以，
又在上单调递减，时，所以
所以存在使得，则不等式的解集为，
因为，又，所以只需，
又显然成立，所以，符合题意；综上可得.
22．解：（1）由C的参数方程消去参数t，得C的普通方程为．
（2）根据（1），设，（，且），则，
因为，所以，得， 又，
因为，所以，即， 因为A，P，B三点共线，所以，
即，整理得，把和，代入上式，
得，故点P轨迹的极坐标方程为．
23．解：（1）当时，，
由，得或或，解得，
所以不等式的解集为；
（2）等价于，由，得，
因为，当且仅当时，取等号，
所以，解得或，所以，的取值范围为.
1
2
3
4