北师大版数学九年级上册 2.3 第2课时 利用一元二次方程解决面积问题课件

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2.3 用公式法求解一元二次方程第二章 一元二次方程第2课时 利用一元二次方程解决面积问题1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.（难点）2.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.（重点）问题 某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形土地上修建三条等宽的通道，使其中两条与AB平行，另外一条与AD平行，其余部分种花草，要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道宽应该设计为多少？设通道宽为xm，则由题意列的方程为_____________________.(30-2x)(20-x)=6×78问题引入导入新课问题：在一块长16m,宽12m的矩形荒地上,要建造上个花园,并使花园所占面积为荒地面积的一半.想一想，你会怎么设计这片荒地？看一看：下面几位同学的设计方法是否合理？讲授新课解：设小路的宽为 xm, 根据题意得： 即 x2 - 14x + 24 = 0. 解方程得 x1 = 2 , x2 = 12. 将x =12 代入方程中不符合题意舍去. 答：小路的宽为2m.小明设计： 如右图所示.其中花园四周小路的宽都相等.通过解方程, 得到小路的宽为2m或12m.问题：他的结果对吗？你能将小明的解答过程重现吗？xx解：设扇形半径为 xm, 根据题意得： 即 πx2 = 96. 解方程得 x1 = , x2 = (舍去), 答：扇形半径约为5.5m.小亮设计： 如右图所示.其中花园每个角上的扇形都相同.问题：你能帮小亮计算一下这个扇形的半径是多少吗？ 小颖设计： 如右图所示.其中花园是两条互相垂直的小路,且它的宽都相等.问题：你能帮小颖计算一下图中x吗？解：设小路的宽为 xm, 根据题意得： 即 x2 - 28x + 96 = 0. 解方程得 x1 = 4 , x2 = 24, 将x =24 代入方程中不符合题意舍去答：小路的宽为4m.例1：要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21cm正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度？(精确到0.1cm)27cm21cm典例精析 分析:这本书的长宽之比 ： 正中央的矩形长宽之比 ： ，上下边衬与左右边衬之比 ： .9 79 727cm21cm解：设中央长方形的长和宽分别为9a和7a由此得到上下边衬宽度之比为：9 727cm21cm解:设上下边衬的9xcm，左右边衬宽为7xcm依题意得解方程得故上下边衬的宽度为:故左右边衬的宽度为:方程的哪个根合乎实际意义?为什么?试一试：如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？解:设正中央的矩形两边别为9xcm，7xcm.依题意得27cm21cm解得 故上下边衬的宽度为:故左右边衬的宽度为:例2：如图所示，在△ABC中，∠C=90°， AC=6cm，BC=8cm.点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使△PCQ的面积为9 cm²？根据题意得AP= xcm,PC=(6-x)cm,CQ=2xcm解：若设出发x s后可使△PCQ的面积为9cm²整理，得解得 x1= x2=3答：点P，Q出发3s后可使△PCQ的面积为9cm². 主要集中在几何图形的面积问题, 这类问题的面积公式是等量关系. 如果图形不规则应割或补成规则图形,找出各部分面积之间的关系,再运用规则图形的面积公式列出方程;方法点拨2032xx解：设道路的宽为x米例3：如图，在一块宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540㎡,求道路的宽为多少？典例精析还有其他解法吗？2032xx解：设道路的宽为 x 米20-x32-x(32-x)(20-x)=540整理，得x2-52x+100=0解得 x1=2,x2=50当x=50时，32-x=-18,不合题意，舍去.∴取x=2答：道路的宽为2米.方法二： 在宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540㎡,求这种方案下的道路的宽为多少？解：设道路的宽为 x 米(32-x)(20-x)=540可列方程为2032xxx20-x 在宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540m2,求这种种方案下的道路的宽为多少？解：设道路的宽为 x 米(32-2x)(20-x)=540可列方程为32-2x2032xxxx20322x2x32-2x20-2x 在宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540m2,求这种种方案下的道路的宽为多少？解：设道路的宽为 x 米(32-2x)(20-2x)=540可列方程为在宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑四条道路,余下的部分种上草坪，如果横、纵小路的宽度比为3：2，且使小路所占面积是矩形面积的四分之一,求道路的宽为多少？小路所占面积是矩形面积的四分之一 剩余面积是矩形面积的四分之三解:设横、竖小路的宽度分别为3x、 2x， 于是可列方程(30-4x)(20-6x)= —×20×3020㎝30㎝3x2x30-4x20-6x3x2x6x4x30-4x20-6x 我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出水渠的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）.方法点拨解：设AB长是x m. (100-4x)x=400 x2-25x+100=0 x1=5，x2=20 x=20,100-4x=2025 x=5(舍去)答：羊圈的边长AB和BC的长个是20m,20m.例4：如图：要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB和BC的长个是多少米？变式：如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80平方米？住房墙1m解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为x m，由题意得 x(25-2x+1)=80化简，得 x2-13x+40=0解得 x1=5 , x2=8当x=5时，26-2x=16>12 (舍去）当x=8时，26-2x=10