【全套精品专题】高二数学复习专题精讲练习 高二数学导数大题练习题及答案-

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高二数学导数大题练习题及答案一、解答题1．已知函数(1)讨论的单调区间；(2)设，若对任意的，存在，使成立，求实数的取值范围.2．已知函数.(1)求极值点；(2)若，证明：时，成立.3．求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)4．已知．(1)当时，讨论的单调性；(2)若，对，使得恒成立，求a的取值范围．5．已知函数在点处的切线方程是.(1)记的导函数为，求的最大值；(2)如果，且，求证.6．已知函数．(1)分别求n=1和n=2的函数的单调性；(2)求函数的零点个数．7．已知函数，其中e为自然对数的底数.(1)若，求函数的单调区间；(2)证明：对于任意的正实数M，总存在大于M的实数a，b，使得当时，.8．已知函数．(1)讨论的单调性；(2)讨论在上的零点个数．9．已知函数．(1)当时，讨论的单调性；(2)当时，恒成立，求实数a的取值范围．10．已知函数，，其中e是自然对数的底数，.(1)试判断函数的单调性与极值点个数；(2)若关于x的方程在上有两个不等实根，求实数a的最小值.【参考答案】一、解答题1．(1)答案见解析(2)【解析】【分析】（1）由，按，进行分类讨论求解；（2）由已知，转化为，由已知得，由此能求出实数a的取值范围．(1)，①当时，由于，故，，所以的单调递增区间为；②当时，由，得，在区间上，在区间上，所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；(2)由题目知，只需要即可又因为，所以只需要即可即等价于恒成立，由变量分离可知，，令，下面求的最小值，令，所以得，所以在为减函数，为增函数，所以，所以.2．(1)极大值点为，无极小值点；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）利用导数求出函数的单调区间即得解；（2）令，利用导数求出函数的最小值即得证.(1)解：由题意，得，令，得；，得；列表如下：所以极大值点为，无极小值点.(2)证明：，令，∴.当时，，，从而，∴，在上是增函数，∴.∴当时，成立.3．(1)；(2)；(3).【解析】【分析】（1）（2）（3）由基本初等函数的导数公式，结合求导的乘除法则求各函数的导函数.(1).(2).(3).4．(1)答案见解析(2)【解析】【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的正负可求出函数的单调区间，（2）将问题转化为，而，所以问题再转化为，然后分，和三种情况求解的最小值即可(1)由，得．①，当单调递减；当单调递增．②，当单调递增；当单调递减．(2)依题意得，∴，即当时，单调递减，∴．．1）当时，，∴在上，单调递增，∴恒成立．2）当时，令，则得，①当时，在单调递增，∴恒成立．②当时，．当时，单调递减；当时，单调递增．∴．∴恒成立，即恒成立．令，则，∴，令，∴．当时，单调递增，且，∴，即．∴．综上所述a的取值范围为．【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性，考查利用导数决不等式恒成立问题，解题的关键是将问题转化为，然后利用导数分情况求解的最小值，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题5．(1)；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义，结合导数的性质进行求解即可；（2）根据对数的运算性质，结合（1）中的结论进行证明即可.(1)由题意：，则，又，得，解得：；所以在上单调递增，在上单调递减，所以函数的最大值为；(2)由（1）可知，，所以在上单调递减；与，可得：，故只需要证明：，化为，，即因为在区间上单调递减，而，则，得证不等式成立.【点睛】关键点睛：利用分析法证明是解题的关键.6．(1)当时，函数在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；(2)1个.【解析】【分析】（1）利用导数求函数的单调区间得解；（2）求出，再对分奇数和偶数两种情况讨论得解.(1)解：由已知，得．①当时，，．由，得；由，得．因此，当时，函数在上单调递增，在上单调递减．②当时，，．因为在恒成立，且只有当时，，所以在上单调递增．(2)解：由，得．当为偶数时，在恒成立，且只有当时，，所以在上单调递增．因为，所以有唯一零点．当为奇数时，由，得；由，得．因此，在上单调递增，在上单调递减．因为，所以有唯一零点．综上，函数有唯一零点，即函数的零点个数为1．7．(1)增区间为减区间为(2)证明过程见解析.【解析】【分析】（1）对函数求导，利用辅助角公式合并为同名三角函数，利用单调增减区间代入公式求解即可.（2）将绝对值不等式转化为，移向构造新函数，利用导数判定单调性，借助零点定理和隐零点证明新构造函数恒正，再结合三角函数的特有的周期特点寻找M即可.(1) 令，得令，得,当时, ,单调递增 当,时,    单调递減综上单调递增区间为 单调递减区间为 (2)要证，即证，即证即证 在时成立即可,时, . 令, 当时, 所以所以单调递增， , 满足由单调性可知, 满足 又因为当 ，所以能够同时满足，对于任意的正实数，总存在正整数，且满足时, 使得 成立，所以不妨取 则且时， ，故对于任意的正实数，总存在大于的实数，使得当 时,.8．(1)答案见解析；(2)答案见解析.【解析】【分析】（1）求得，对参数进行分类讨论，根据不同情况下导数的正负即可判断对应的单调性；（2）根据（1）中所求函数的单调性，结合零点存在定理，逐一分析每种情况下函数零点的个数即可.(1)因为，则，当时，，此时在上单调递减；当时，令，可得，则当时，，单调递增，当时，，单调递减.综上所述：当时，在上单调递减；当时，在单调递增，在上单调递减.(2)当时，在上单调递减，又，故当时，，故此时在无零点；当时，，故在单调递减，同时，此时在无零点；当时，，故在单调递增，在单调递减，，若，即时，，故在无零点；若，即时，，此时在有一个零点；若，即时，，又因为，故在上一定存在一个零点；又因为，且，故在上也一定存在一个零点；下证：，令，则，即在单调递减，故，即故.故当时，有两个零点.综上所述：当时，在无零点；时，在有一个零点；时，有两个零点.【点睛】本题考察利用导数研究含参函数的单调性，以及函数的零点个数，涉及零点存在定理，属综合中档题.9．(1)在上单调递增，在上单调递减；(2)【解析】【分析】（1）直接求导，先确定导数的单调性及零点，即可确定的单调性；（2）当时， ，当时，参变分离得，构造函数求导得，再构造函数确定单调性后，即可求出实数a的取值范围．(1)当时，，，易得在上递增，又，故当时，，单调递增；故当时，，单调递减，所以在上单调递增，在上单调递减；(2)当时，不等式恒成立，可得；当时，由恒成立可得恒成立，设，则，可设，可得，设，由，可得恒成立，可得在递增，即在递增，所以，即恒成立，即在递增，所以，再令，可得，当时，，在上递增，当时，，在递减，所以，所以；综上可得.【点睛】本题关键点在于参变分离构造函数求导后，通过因式分解将导数变为，再把分子的因式构造成函数，确定后，即得的正负，进而求解.10．(1)答案见解析(2)【解析】【分析】（1）求出，分类讨论，分和讨论的单调性与极值；（2）利用分离参数法得到，令，利用导数判断的单调性与最值，根据直线与函数的图像有两个交点，求出实数a的最小值.(1)，则.①当时，，则在R上单调递增，此时函数的极值点个数为0；②当时，令，得，当时，，则在上单调递增，当时，，则在上单调递减，此时函数的极值点个数为1.综上所述，当时，在R上单调递增，极值点个数为0；当时，在上单调递增，在上单调递减，极值点个数为1.(2)由，得.令，因为关于x的方程在上有两个不等实根，所以直线与函数的图像在上有两个交点.，令，则，因为，所以或，所以当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以.又，， 所以当时，直线与函数的图像有两个交点，所以实数a的最小值为.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；(4)利用导数研究零点问题，考查数形结合思想的应用．2大于00小于0单调递增极大值单调递减