【突破压轴冲刺名校】 压轴专题12 导数综合问题大题综合 2023届新高考数学复习尖子生30题难题突破（江苏专用）

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1．（2023·江苏宿迁·江苏省沭阳高级中学校考模拟预测）已知函数，为的导函数.
(1)讨论的极值；
(2)若存在，使得不等式成立，求a的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求得，设，求得，分和，两种情况讨论，结合函数的单调性和极值的定义，即可求解；
（2）根据题意转化为存在，使得，构造函数，求得，分、和，结合函数的单调性和极值、最值，即可求解.
【详解】（1）由题意，函数，
可得函数的定义域为，且，
设，则，
①当时，可得，所以在上单调递增，所以没有极值；
②当时，若，则，在上单调递减，
若，则，在上单调递增，
所以在处取得极小值，且极小值为，在上没有极大值，
综上，当时，没有极值；当时，的极小值为，无极大值.
（2）由题意知，存在，使得，
即存在，使得，
构造函数，则，
当，即时，在上恒成立，单调递增，
所以，可得，与矛盾，不满足题意；
当，即时，若，则，单调递减，
若，则，单调递增，此时，
由，可得，所以，
因为，所以不等式不成立；
当，即时，在上恒成立，单调递减，
所以，可得，满足题意.
综上，实数a的取值范围为.
【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
2．（2023春·江苏苏州·高三统考开学考试）设函数，．
(1)设，求的单调性；
(2)若直线与曲线恰好交于一点，确定满足要求的有序实数对的集合．
【答案】(1)在R上单调递减
(2)
【分析】（1）求导，利用导函数符号判断即可；
（2）由题，方程恰有一个实数根，分类讨论，利用导数研究函数单调性，结合函数值域分析b的取值，从而确定的集合
【详解】（1）对求导有，令，则，
令，得，令，得或，
可知在，上分别单调递减，在上单调递增，
且为奇函数，因此在上，，在上，．
所以当a≥1时，，则在R上单调递减；
（2）由题意，方程恰有一个实数根．
①当a≥1时，可知在R上单调递减，
当趋向负无穷大时，趋向正无穷大；当趋向正无穷大时，趋向负无穷大．此时b∈R；
②当时，令，则，使得．
此时在和上单调递减，在上单调递增．
当趋向负无穷大时，趋向正无穷大；当趋向正无穷大时，趋向负无穷大及，此时．
由于，即，解得，，
所以，且，
③当a=0时，即，可知b=0；
④当时，令，则，使得，
此时在和上单调递增，在上单调递减．
当趋向负无穷大时，趋向负无穷大；当趋向正无穷大时，趋向正无穷大及，此时．
由于，即，解得，，
所以，且，
⑤当a≤－1时，则，故在R上单调递增，因此b∈R．
综上所述，.
【点睛】方法点睛：已知曲线的交点个数，求参数的取值范围的常用方法：
(1)直接法：在同一平面直角坐标系中，画出两个函数的图象，然后数形结合求解；
(2)分离参数法：将其交点的个数转化为方程根的个数，然后分离参数，转化成求函数的值域问题进行求解．
3．（2023·江苏·统考一模）已知定义在上的两个函数，.
(1)求函数的最小值；
(2)设直线与曲线，分别交于A，B两点，求的最小值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由题可得，然后利用导数求函数的最值即得；
（2）构造函数，题设等价于恒成立，求实数k的最大值，然后利用导数研究函数的性质，求出k的最大值进而即得.
【详解】（1）因为，，
所以，，则，令，解得，
由，可得，由，可得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为；
（2）由，可得，
作出函数与的大致图象，则直线与两函数图象有交点，
设，
则题设等价于恒成立，求实数k的最大值，且，
所以，
由，可得，且，
由，可得，由，可得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
则，
设，则，函数在上单调递增，
又，则，
解得，则，即，
所以.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数，进而把问题转化为求最值问题，然后利用导函数结合条件即得.
4．（2023·江苏·统考一模）已知，函数，.
(1)若，求证：仅有1个零点；
(2)若有两个零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）代入，求出导数，通过证明单调性继而证明出仅有1个零点；
（2）由解析式可知，证明有两个零点，只需证明在或上存在零点，分类讨论的不同取值时，在这两个区间的单调情况，以及取值范围从而求出实数的取值范围.
【详解】（1）当，，
时，，
所以在上单调递增，且，
所以仅有1个零点.
（2），
当时，，在上单调递增，此时仅有1个零点0；
当时，时，设，
则，所以在上单调递减，
所以，所以在上单调递增，
时，，
，所以在上单调递减，此时仅有1个零点0；
当时，，
由上知在上单调递增，在上，，
所以存在，使得，
在上单调递增，在上单调递减，
所以，，
要使有两个零点，则，
此时；
当时，由上知在上单调递减，
且在上单调递减，，
时，，则，
所以存在使得，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
时，，
所以，所以在上有1个零点，此时有两个零点.
综上，的取值范围为
【点睛】方法点睛：
本题中在判断零点范围是使用了两个技巧：
①合理的放缩函数，如，，在有限定义域内放缩一般要求被放缩函数存在上界或者下界，将函数放缩至上确界或者下确界；
②通过函数取值范围确定零点范围，如通过可得，通过可得，此处用到整体换元的思想，令.
5．（2023·江苏·二模）已知函数 ．
(1)当时，求函数的单调递增区间
(2)若函数在的最小值为，求的最大值．
【答案】(1)单调递增区间为
(2) ．
【分析】（1）求导并判断导数符号，进一步可得单调区间；
（2）求导，对进行分类讨论，根据函数在的最小值为，求得的取值范围，从而得到的最大值．
【详解】（1）当时，，
则，
令，在R上单调递增，
当时，，当时，，
即在上递减，在上递增，
故，
所以恒成立，仅当时取等号，
即的单调递增区间为
（2）
当时，时，，时，，
则在取得最小值，符合题意；
当时，时，，时，，
时，，
因为最小值为，所以得，即；
当时，由（1）可知单调递增，则当时无最小值，不合题意；
当时，时，，时，，
时，，
则有，不合题意；
综上可得，的最大值 ．
【点睛】难点点睛：本题考查了利用导数求函数的单调区间、利用导数根据函数最值求参数的最值，难点在于根据最小值求参数时，要注意讨论a的取值，结合函数的单调性，得到相应的不等式，确定参数范围.
6．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）已知函数，且
(1)求实数的值
(2)若关于的方程有个不同的实数根，，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】因为，所以设，对进行分类讨论，利用导数研究的单调性、最小值，可得实数的值
研究的单调性得要证，即证，即证，即证，设，利用导数研究单调性，即可得证．
【详解】（1）因为，所以
设，则．
当时，，所以单调递增，
所以，不满足题意．
当时，在区间上单调递增，
所以，不满足题意．
当时，在区间上单调递减，
所以，不满足题意．
当时，在区间上单调递减，
在区间上单调递增，所以，
所以，所以
综上可知：．
（2）因为，所以，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以．
要证，即证．
因为，，所以即证，
因为，所以即证
设，
则，
所以在区间上单调递减，所以．
综上可知，原命题得证．
【点睛】方法点睛：极值点偏移问题的解题步骤：若为极值点，证明：
要证，即证（此处根据函数图像分析），也就是证明或者，又因为，，也就是证明：或者，即证明或者，设，求的单调性及最值即可.
7．（2022秋·江苏常州·高三校考阶段练习）已知函数．
(1)当时，求函数的极值；
(2)若，求的取值范围；
(3)当时，试讨论在内零点的个数，并说明理由．
【答案】(1)，无极大值；
(2)；
(3)答案见解析.
【分析】（1）求函数的导数，然后根据导数与函数极值的关系即得；
（2）分，，讨论函数的单调性，结合条件进而即得；
（3）根据（2）的结论，分别讨论，和时零点的个数.
【详解】（1）当时，，由，得，
由，可得，在上单调递减，
由，可得，在上单调递增，
所以，无极大值；
（2）由题可知，
①若，当时，，
当且仅当时取等号，所以符合题意；
②若，当时，；
当时，，
所以当时，，当且仅当，且时取等号，
所以在上单调递增，，所以符合题意；
③若，由（1）可得在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增，又，
由零点存在定理及的单调性，存在唯一的，使得，
当时，单调递减，所以．
可见，不符合题意；
综上，的取值范围是；
（3）①若，由（2）可得时，在内无零点，
当时，，又由单调递增，
则，
所以若在内无零点；
②若，由（2）可得时，在内无零点．
当时，．
可见，若在内无零点
③若，由（2）可得存在唯一的，当时，，单调递减；
当时，单调递增．
又，所以，又，
由零点存在定理及的单调性，存在唯一的，使得，
所以在内存在唯一的零点；
当时，，所以，所以在内没有零点；
所以在有且仅有1个零点．
综上所述：若在内无零点；若在内有且仅有1个零点．
【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令f(x)=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)