专题03 一元二次函数、方程和不等式（考点清单）-2024-2025学年高一数学上学期期末重难点突破（人教A版2019）

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\l "_Tc28826" 二、知识回归 PAGEREF _Tc28826 \h 2
\l "_Tc6348" 三、典型例题讲与练 PAGEREF _Tc6348 \h 3
考点清单 \l "_Tc6439" 01 作差法比大小 PAGEREF _Tc6439 \h 3
\l "_Tc17970" 【期末热考题型1】比较两个代数式的大小 PAGEREF _Tc17970 \h 3
\l "_Tc10734" 考点清单02基本不等式的应用 PAGEREF _Tc10734 \h 6
\l "_Tc7825" 【期末热考题型1】和定，求积的最值 PAGEREF _Tc7825 \h 6
\l "_Tc32721" 【期末热考题型2】积定，求和的最值 PAGEREF _Tc32721 \h 7
\l "_Tc649" 【期末热考题型3】配凑法 PAGEREF _Tc649 \h 8
\l "_Tc6955" 【期末热考题型4】“1”的妙用 PAGEREF _Tc6955 \h 9
\l "_Tc29271" 【期末热考题型5】代入消元法 PAGEREF _Tc29271 \h 10
\l "_Tc16206" 【期末热考题型6】二次与二次（或一次）商式 PAGEREF _Tc16206 \h 12
\l "_Tc32744" 考点清单03 基本不等式在实际中的应用 PAGEREF _Tc32744 \h 14
\l "_Tc10956" 【期末热考题型1】在实际问题中判断使用基本不等式求最值 PAGEREF _Tc10956 \h 14
\l "_Tc31353" 考点清单04 分类讨论法解决一元二次不等式（含参）问题 PAGEREF _Tc31353 \h 17
\l "_Tc5915" 【期末热考题型1】二次项系数不含参数 PAGEREF _Tc5915 \h 17
\l "_Tc26662" 【期末热考题型2】二次项系数含参 PAGEREF _Tc26662 \h 19
\l "_Tc25181" 【期末热考题型3】不能十字相乘法分解的一元二次不等式 PAGEREF _Tc25181 \h 23
\l "_Tc17697" 考点清单05 一元二次不等式与对应函数、方程的关系 PAGEREF _Tc17697 \h 25
\l "_Tc7242" 【期末热考题型1】一元二次不等式与对应函数、方程的关系 PAGEREF _Tc7242 \h 25
\l "_Tc32099" 考点清单06 分式不等式的解法 PAGEREF _Tc32099 \h 28
\l "_Tc14224" 【期末热考题型1】解分式不等式 PAGEREF _Tc14224 \h 28
\l "_Tc32014" 考点清单07 不等式恒成立问题（有解问题） PAGEREF _Tc32014 \h 29
\l "_Tc27439" 【期末热考题型1】一元二次不等式在上恒（能）成立 PAGEREF _Tc27439 \h 29
\l "_Tc21739" 【期末热考题型2】不等式在区间上恒（能）成立 PAGEREF _Tc21739 \h 31
\l "_Tc27534" 考点清单08 一元二次不等式的实际应用 PAGEREF _Tc27534 \h 33
\l "_Tc7061" 【期末热考题型1】一元二次不等式的实际问题 PAGEREF _Tc7061 \h 33
一、思维导图
二、知识回归
知识回顾1：重要不等式
一般地，，有，当且仅当时，等号成立.
知识回顾2：基本不等式链
（其中，当且仅当时，取“”号）
（注意：一正，二定，三相等，特别“一正”，“三相等”这两类陷阱）
知识回顾3：四个二次的关系
知识回顾4：一元二次不等式的解法
1：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；
2：写出相应的方程，计算判别式：
①时，求出两根，且（注意灵活运用十字相乘法）；
②时，求根；
③时，方程无解
3：根据不等式，写出解集.
知识回顾5：分式不等式的解法
①移项化零：将分式不等式右边化为0：
②
③
④
⑤
三、典型例题讲与练
01 作差法比大小
【期末热考题型1】比较两个代数式的大小
【解题方法】作差法
【典例1】（多选）（2023上·四川成都·高一树德中学校考期中）下列命题中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】CD
【详解】对于A项：因为：，，所以得：，
又因为：，所以得：，故A项错误；
对于B项：令，，所以得：，但，故B项错误；
对于C项：由，得：，所以得：，故C项正确；
对于D项：由，，得：，
所以得：，故D项正确；
故选：CD.
【典例2】（2022上·河北衡水·高一校考阶段练习）已知关于的不等式的解集为．
(1)求的值；
(2)当时，比较与的大小．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为的解集为，
所以，解得.
故k的值为.
（2）由（1）知，，所以，
因为，所以，，
所以
，
所以，
即：.
【专训1-1】（多选）（2023上·山东青岛·高一青岛大学附属中学校考阶段练习）在a克的糖水中含有b克的糖（），再添加少许的糖m克（），全部溶解后糖水更甜了，由此得糖水不等式，若，则（ ）
A．若，则B．若，则
C．D．当时，．
【答案】ABC
【详解】由，则，
若，
若，则，故；
若，则，故；
由题设，结合不等式性质显然有；
故选：ABC
【专训1-2】（2023上·浙江金华·高一校考阶段练习）（1）已知，试比较与的大小；
（2）已知，为实数，试比较与的大小.
【答案】（1）答案见解析（2）≥
【详解】（1）【作差比较法，分类讨论】
∵，
又∵，，
∴当时，，所以；
当时，，所以；
当时，，所以.
综上，当时，；当时，；当时，.
（2）【作差比较法，配方变形】
，
当且仅当，取等号.
所以≥.
02基本不等式的应用
【期末热考题型1】和定，求积的最值
【解题方法】基本不等式
【典例1】（2023上·甘肃酒泉·高一校考期中）若，则的最大值是（ ）
A．B．4C．8D．16
【答案】B
【详解】因为，可得，则，
当且仅当时，即时，等号成立，所以的最大值为.
故选：B.
【典例2】（2023上·河南省直辖县级单位·高一济源市第四中学校考阶段练习）已知正数a，b满足，则的最大值为 .
【答案】/
【详解】因为正数a，b满足，所以，平方化简得，
当且仅当时，等号成立，所以的最大值为.
故答案为：
【专训1-1】（2023·江苏·高一专题练习）若，则的最大值是 .
【答案】
【详解】由得，，，
因为，，所以利用基本不等式可得，
整理得，即，即，当且仅当即时，等号成立，
所以.故当时，的最大值为.
故答案为.
【期末热考题型2】积定，求和的最值
【解题方法】基本不等式
【典例1】（2023上·广东深圳·高一校考阶段练习）设，则的最大值是（ ）
A．3B．C．D．
【答案】B
【详解】因为，则，
当且仅当，即时，等号成立，
可得，
所以的最大值是.
故选：B.
【典例2】（2023上·上海普陀·高一校考期中）已知：，则的最小值是 ．
【答案】2
【详解】由，得，因此，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，取得最小值2.
故答案为：2
【专训1-1】（2023上·上海闵行·高三校考期中）已知，则函数的最小值是 ．
【答案】
【详解】因为，所以，
由基本不等式可得，
当且仅当，即时等号成立，
故答案为：
【期末热考题型3】配凑法
【解题方法】拼凑项，化整体，利用基本不等式
【典例1】（2024上·广东·高三校联考阶段练习）若，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．D．3
【答案】D
【详解】因为，所以，
所以，当且仅当，即时取等号.
故选：D.
【典例2】（2023上·北京顺义·高一校考期中）函数的最小值是 ；此时 .
【答案】 12 2
【详解】，
因为，所以，；
当且仅当，即时，取到等号，所以的最小值为12.
故答案为：12，2.
【专训1-1】（2023上·山西朔州·高一怀仁市第一中学校校考阶段练习）已知，则的最小值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】A
【详解】，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：A.
【专训1-2】（2023上·广东广州·高一广州空港实验中学校考期中）设均为正数，且，则的最小值是 ．
【答案】
【详解】因为均为正数，且，
所以，
当且仅当，即时取等，
所以的最小值是.
【期末热考题型4】“1”的妙用
【解题方法】将已知条件中的等式与目标式相乘
【典例1】（2023上·北京·高一北京市十一学校校考期末）已知实数，满足，，且，则的最小值为（ ）
A．8B．10C．12D．14
【答案】C
【详解】因为，，且，
所以，
当且仅当，即时取等号，
则的最小值为12．
故选：C．
【典例2】（2023上·四川成都·高一成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考期中）若，则的最小值为（ ）
A．12B．C．D．
【答案】D
【详解】因为，故，则，
故
，
当且仅当，即时等号成立，
即的最小值为，
故选：D
【专训1-1】（2023上·上海黄浦·高一上海市大同中学校考期中）已知，且，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】，且，则，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，取得最小值.
故答案为：
【专训1-2】（2023上·江西赣州·高一赣州市第三中学校联考期中）设，则的最小值为 .
【答案】
【详解】因为，所以，，
则
，
当且仅当，即时，等号成立.
则的最小值为.
故答案为：.
【期末热考题型5】代入消元法
【解题方法】带入消元
【典例1】（2023上·黑龙江·高一校联考期中）已知，，，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．D．4
【答案】A
【详解】由，，，得，
故，故；
所以，
当且仅当，结合，即时等号成立．
即的最小值为2，
故选：A
【典例2】（2023上·重庆渝北·高三重庆市渝北中学校校考阶段练习）已知，，且，则的最小值为 .
【答案】/
【详解】由，可得，因为，可得，
，
当时，即时，等号成立.
所以的最小值为.
故答案为：
【专训1-1】（2023上·江苏无锡·高一辅仁高中校考阶段练习）若，且，的最小值为（ ）
A．15B．C．17D．
【答案】C
【详解】∵，
∴，其中，
∴，
又∵，∴，
则
，
当且仅当即时，等号成立.
∴的最小值为17.
故选：C
【专训1-2】（2023上·江苏扬州·高三统考阶段练习）已知正实数满足，则的最小值是 ．
【答案】
【详解】由题设且，则，
所以，
当且仅当，时等号成立，
所以的最小值是.
故答案为：
【期末热考题型6】二次与二次（或一次）商式
【解题方法】分离变量法
【典例1】（2022上·四川成都·高一石室中学校考阶段练习）设，则 （ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】，则，
，
当且仅当时，等号成立，则.
故选：D.
【典例2】（2021·高一课时练习）当时，求的最小值．
【答案】5．
【详解】，
当且仅当时，等号成立，即．
【专训1-1】（2022上·湖南益阳·高一校考阶段练习）已知，则函数的最小值是 ．
【答案】
【详解】因为，
当且仅当，即时，等号成立.
所以函数的最小值是
故答案为:.
【专训1-2】（2021·天津河西·统考模拟预测）函数的最小值为 .
【答案】9
【详解】因为，则，
所以
，
当且仅当即时等号成立，
∴已知函数的最小值为9.
故答案为：9.
03 基本不等式在实际中的应用
【期末热考题型1】在实际问题中判断使用基本不等式求最值
【解题方法】基本不等式
【典例1】（2023上·江苏南通·高一统考期中）第十九届亚运会于2023年9月23日在杭州举办，本届亚运会吉祥物是一套名为“江南忆”的三个机器人模型，三个机器人模型分别取名“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”.某公益团队联系亚运会组委会计划举办一场吉祥物商品展销会，成套出售“江南忆”，将所获利润全部用于体育设施建设.据市场调查：每套吉祥物纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为60元，（单位：元，其中销售量单位为：万套）.而当每套吉祥物售价定为x元时，销售量可达到万套.注：利润＝（售价－供货价格）×销售量（不计其他成本）
(1)每套吉祥物纪念品售价为125元时，能获得的总利润是多少万元？
(2)每套吉祥物纪念品售价为多少元时，单套吉祥物的利润最大？并求出最大值.
【答案】(1)320
(2)售价为145元，利润最大，最大值为80元
【详解】（1）每套吉祥物纪念品售价为125元时，
销售量为（万套），
供货单价为（元），
总利润为（万元）.
（2）设单套售价为元，此时销售量为万套，
供货价格为元，
同时，所以.
所以单套利润为
，
当且仅当，即时取等号.
所以每套吉祥物售价为145元时，单套的利润最大，最大值是80元.
【典例2】（2023上·上海浦东新·高一上海市建平中学校考期中）已知某公司生产某款产品的年固定成本为30万元，每万件产品还需另外投入16万元，设该公司一年内共生产万件产品并全部销售完，每万件产品的销售收入为万元，且已知.
(1)求一年的总利润W（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式：
(2)已知某年的年产量超过40万件，当年产量为多少万件时，公司在该款产品的生产中所获得的总利润最大?并求出最大总利润.（总利润=总销售收入-固定成本-额外投入）
【答案】(1)，
(2)50; 5770万元
【详解】（1）一年的总利润:
（2）年产量超过40万件，即，此时
，
当且仅当，即时取等号.
故当年产量为50万件时，公司在该款产品的生产中所获得的总利润最大，最大总利润为5770万元.
【专训1-1】（2023上·江苏苏州·高一江苏省黄埭中学校考阶段练习）某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整出的员工平均每人每年创造利润为万元，剩余员工平均每人每年创造的利润可以提高.
(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？
(2)在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则的取值范围是多少？
【答案】(1)500名
(2)
【详解】（1）由题意得：，
即，又，所以.
即最多调整500名员工从事第三产业.
（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为万元，
从事原来产业的员工的年总利润为万元，
则
所以
所以，
即恒成立，
因为，
当且仅当，即时等号成立.
所以，又，所以，
即的取值范围为.
【专训1-2】（2023上·福建福州·高一福州高新区第一中学（闽侯县第三中学）校联考期中）某集装箱码头在货物装卸与运输上进行大力改进，改进后单次装箱的成本（单位：万元）与货物量（单位：吨）满足函数关系式，单次装箱收入（单位：万元）与货物量的函数关系式已知单次装箱的利润，且当时，.
(1)求实数的值；
(2)当单次装箱货物量为多少吨时，单次装箱利润可以达到最大，并求出最大值.
【答案】(1)
(2)每日产量为吨时，日利润最大万元
【详解】（1）由题意得，每日利润与日产量的函数关系式为:
，
当时，，即：，
解得.
（2）当时，为单调递减函数，
故当时，的最大值为，
当时，，
当且仅当，
即时，的最大值为，
综合上述情况，当每日产量为吨时，日利润最大万元.
04 分类讨论法解决一元二次不等式（含参）问题
【期末热考题型1】二次项系数不含参数
【解题方法】十字相乘法+分类讨论法
【典例1】（2023上·贵州六盘水·高一统考期中）解关于的不等式.
【答案】时，解集为；时，解集为；时，解集为.
【详解】由题可得，得，
①当时，即当时，解得；
②当时，即当时，原不等式无解；
③当时，即当时，解得，
综上可得：
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
【典例2】（2023上·福建南平·高一福建省南平市高级中学校考期中）设.
(1)当时，的解集；
(2)解关于的不等式.
【答案】(1).
(2)答案见解析.
【详解】（1）当时，，解得或，
所以不等式的解集为：.
（2）不等式等价于.
当即时，不等式可化为，不等式的解集为；
当即时，不等式可化为，不等式的解集为；
当即时，不等式可化为，此时.
综上所述：
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
【专训1-1】（2023上·北京石景山·高一校考期中）已知函数，其中.
(1)当时，求的最小值；
(2)求不等式的解集.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）当时，，
所以，当时，有最小值.
（2）解可得，或.
当时，恒成立，
即此时不等式的解集为R；
当时，
解不等式可得，或，
此时不等式的解集为或；
当时，
解不等式可得，或，
此时不等式的解集为或.
综上所述，当时，不等式的解集为R；
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为或.
【专训1-2】（2023上·广东广州·高一广州市第五中学校考期中）已知函数，.
(1)求不等式的解集；
【答案】(1)答案见解析
【详解】（1）因为，
所以由，得，则，
当时，，所以的解集为；
当时，不等式为，故其解集为；
当时，，所以的解集为；
综上：当时，的解集为；
当时，的解集为；
当时，的解集为；
【期末热考题型2】二次项系数含参
【解题方法】十字相乘法+分类讨论法
【典例1】（2023上·天津·高一校联考期中）设
(1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；
(2)解关于的不等式.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）由题意可得对一切实数成立，
即对一切实数成立，
当时，不满足题意；
当时，得， 解得，
所以实数的取值范围为
（2）由题意可得，
即，
当时，不等式可化为，解集为，
当时，，即，即
解集为，
当时，，即，即，
①当，解集为，
②当，解集为，
③当，解集为.
综上所述：
当时，
当时，不等式的解集为，
当，不等式的解集为，
当，不等式的解集为，
当，不等式的解集为.
【典例2】（2023上·福建莆田·高一莆田第四中学校考期中）已知．
(1)若的解集为，求关于的不等式的解集；
(2)解关于的不等式．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）因为的解集为，即的解集为，
所以、为关于的方程的两根且，
所以，解得，
所以等价于，解得或，
故关于的不等式的解集为.
（2）不等式，即，即，
当时，原不等式可化为，解得；
当时，原不等式可化为，解得或；
当时，原不等式可化为，
当，即时，解得；
当，即时，解得；
当，即时，解得．
综上所述，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为．
【专训1-1】（2023上·河南南阳·高三校考阶段练习）解关于x的不等式．
【答案】当时，不等式的解集为；
当时，则不等式的解集为；
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
【详解】当时，即，则不等式的解集为；
当时，由，即，
当时，，则不等式的解集为；
当时，则，若，即时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
综上：当时，不等式的解集为；
当时，则不等式的解集为；
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
【专训1-2】（2023上·河北承德·高一承德市双滦区实验中学校考期中）已知不等式．
(1)若，解不等式．
(2)当时，求关于的不等式的解集．
【答案】(1).
(2)当时，不等式的解集为：.
当时，不等式的解集为：.
当时，不等式的解集为：.
当时，不等式的解集为：.
【详解】（1）当时，代入不等式得，
整理式子，
所以不等式的解集为：.
（2）当时，代入不等式得，解得.
当时，不等式整理得，对应得方程，有两个根或.
所以对两根大小进行讨论：
当，即时，不等式的解集为：.
当，即时，不等式的解集为：.
当，即时，不等式的解集为：.
综上所述：当时，不等式的解集为：.
当时，不等式的解集为：.
当时，不等式的解集为：.
当时，不等式的解集为：.
【期末热考题型3】不能十字相乘法分解的一元二次不等式
【解题方法】法
【典例1】（2023上·上海杨浦·高一上海市杨浦高级中学校考期中）（1）若对一切恒成立，求实数的取值范围；
（2）解关于的不等式：.
【答案】（1）；（2）答案见解析
【详解】（1）因为对一切恒成立，
当时，则有，合乎题意；
当时，则有，解得.
综上所述，实数的取值范围是；
（2）对于不等式，.
当时，即当时，不等式的解集为；
当时，即当或时，解不等式可得或，
此时，不等式的解集为或.
综上所述，当时，不等式的解集为；
当当或时，不等式的解集为或.
【典例2】（2023上·北京·高一北京市十一学校校考期中）（1）解方程组；
（2）解关于的不等式；
（3）已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集.
【答案】（1）或；（2）答案见解析；（3）或
【详解】（1）由，消得到，整理得到，
得到或，
当时，，当时，，
所以，方程组的解为或.
（2），
当，即时，不等式的解集为，
当，即或，
当时，不等式即为，得到，
当时，不等式即为，得到，
当，即或时，方程有两解或，此时不等式的解为或，
综上所述，当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当或时，不等式的解集为或.
（3）因为不等式的解集为，
则有，且的两根为，由韦达定理得，得到，
不等式可化为，即，
解得或，
故不等式的解集为或.
【专训1-1】（2023上·广东佛山·高一佛山市顺德区乐从中学校考阶段练习）讨论下列一元二次不等式的解集：
(1)，；
(2)，.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）解：不等式，化为，则
①当时，解得或；
②当时，解得；
③当时，解得或.
综上所述：①当时，解集为或；
②当时，解集为；
③当时，解集为或.
（2）方程的，则
①当即时，由可解得；
②当即时，方程的两个根为
，且，
所以由可解得或.
综上所述：①当时，解集为；
②当时，解集为或.
05 一元二次不等式与对应函数、方程的关系
【期末热考题型1】一元二次不等式与对应函数、方程的关系
【解题方法】根与系数的关系
【典例1】（2023上·浙江台州·高一校联考期中）不等式的解集为，则下列选项正确的为（ ）
A．
B．
C．不等式的解集为
D．不等式的解集为或
【答案】D
【详解】记，因为
所以，故A错误；
因为
所以，故B错误；
由题知和2是方程的两个实根，
所以，且
解得
故或，C错误；
或，D正确；
故选：D.
【典例2】（多选）（2023上·河南南阳·高一校考阶段练习）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的有（ ）
A．B．不等式的解集是
C．D．不等式的解集为
【答案】AC
【详解】由已知可得且-1，2是方程的两根，所以A选项正确；
由根与系数的关系可得，解得，，
则不等式可化为，即，所以，所以B选项不正确；
因为，所以C选项正确；
不等式可化为，化为，
解不等式得或，故不等式的解集为，
所以D选项不正确.
故选：AC.
【专训1-1】（2023·全国·高一专题练习）已知关于x的不等式的解集为，求关于x的不等式的解集（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】C
【详解】因为不等式的解集为，
所以1和2是对应方程的解，且，
由根与系数的关系知,解得;
所以不等式化为，
即，解得，
所以不等式的解集为．
故选：C
【专训1-2】（多选）（2020上·浙江温州·高一温州中学校考阶段练习）已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．不等式的解集为
C．不等式的解集为或
D．
【答案】AC
【详解】关于x的不等式的解集为，
所以二次函数的开口方向向上，即，故A正确；
且方程的两根为－3、4，由韦达定理得，解得.
对于B，，由于，所以，
所以不等式的解集为，故B不正确；
对于C，因为，所以，即，
所以，解得或，
所以不等式的解集为或，故C正确；
对于D，，故D不正确.
故选：AC.
06 分式不等式的解法
【期末热考题型1】解分式不等式
【解题方法】转化为一元二次不等式
【典例1】（2023上·江苏苏州·高一江苏省苏州第十中学校校考阶段练习）不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】，即即，
∴，得，
∴不等式的解集为.
故选：A.
【典例2】（2023上·贵州黔西·高一校考期中）（1）求不等式的解集；
（2）解不等式：.
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）解：由不等式，可得化为，
解得或，即不等式的解集为.
（2）由不等式，即，解得或，
解不等式的解集为.
【专训1-1】（2023上·山东泰安·高一泰安一中校考期中）关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由，得，
解得，所以不等式的解集为.
故选：D
【专训1-2】（2023上·北京·高一汇文中学校考期中）不等式的解集是 ．
【答案】
【详解】由题设，则，解得.
故答案为：
07 不等式恒成立问题（有解问题）
【期末热考题型1】一元二次不等式在上恒（能）成立
【解题方法】判别法+分类讨论法
【典例1】（2023上·河北石家庄·高一石家庄市第二十四中学校考阶段练习）若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】当时，恒成立，即有，符合题意；
当时，，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：D.
【典例2】（2023上·云南曲靖·高一宣威市第三中学校考阶段练习）已知不等式的解集为或．
(1)求的值；
(2)为何值时，的解集为．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）不等式的解集为或，
所以1和是方程的实数根，
方程可化为，
由根与系数的关系知，，
解得.
（2）由（1）知：不等式为，
令，解得，
所以当时，不等式的解集为．
【典例3】（2023上·福建南平·高一校考阶段练习）设函数.若关于的不等式有实数解，求实数的取值范围.
【答案】
【详解】依题意，有实数解，即不等式有实数解，
当时，有实数解，则，
当时，取，则成立，
即有实数解，
于是得，
当时，二次函数的图象开口向下，要有解，
当且仅当，从而得，
综上，，
所以实数的取值范围是.
【专训1-1】（2023上·江苏扬州·高一扬州中学校考期中）若不等式对于任意恒成立，则实数k的取值范围为 ．
【答案】
【详解】不等式对于任意恒成立，
即，设，
则，即实数k的取值范围为.
故答案为：.
【专训1-2】（2023上·新疆阿克苏·高一校考阶段练习）已知函数．
(1)若对，有成立，求实数a的取值范围；
【答案】(1)
【详解】（1）因为，
则，
解得或，
故实数的范围为.
【期末热考题型2】不等式在区间上恒（能）成立
【解题方法】变量分离法
【典例1】（2023上·山西吕梁·高三统考阶段练习）已知关于x的不等式在上恒成立，则a的最小值为 .
【答案】
【详解】由不等式在上恒成立，
得在上恒成立，所以，
所以在上恒成立，
又，
所以，当且仅当，即时，等号成立.
所以，故a的最小值为.
故答案为：
【典例2】（2023上·福建·高一福建省罗源第一中学校联考期中）已知函数
(1)若的解集是或，求实数的值；
(2)当时，若时函数有解，求的取值范围．
【答案】(1)1
(2)
【详解】（1）依题意，的解集是或，则，
且是方程的两个根，
所以，解得．
（2）时，在有解，
即在有解，
法一：因为的开口向上，对称轴
①即时，函数取得最小值.
②即时，当取得最小值，此时，
解得或.又.
③当即，当时取得最小值，此时不成立，
即无解.
综上，．
法二：在有解，
当时不成立，
当时，即在有解，，
令，，
当且仅当即取“”，，.
【专训1-1】（2023上·山东青岛·高一山东省青岛第十七中学校考期中）命题：，.若为真命题，则实数的取值范围是 .
【答案】
【详解】因为，为真命题，
则在上恒成立，
令，，
则，所以，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
【专训1-2】（2023上·河南郑州·高一校考阶段练习）已知不等式的解集为．
(1)若，且，求实数a的取值范围．
(2)若对于有解，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题知在上恒成立，
又，所以，解得，
所以，实数a的取值范围为.
（2）由，得到，
因为恒成立，故，
令，因为，所以，
故，
又因为对于有解，即在区间上有解，
故，所以实数a的取值范围为.
08 一元二次不等式的实际应用
【期末热考题型1】一元二次不等式的实际问题
【解题方法】分解因式解不等式
【典例1】2．（2023上·湖南株洲·高一校考阶段练习）某公司生产某种产品，其年产量为x万件时利润为万元.
(1)当时，年利润为，若公司生产量年利润不低于400万时，求生产量x的范围；
(2)在（1）的条件下，当时，年利润为.求公司年利润的最大值.
【答案】(1)
(2)480万元
【详解】（1）当时，令，
即，解得：，
所以生产量x的范围是；
（2）当时，，
则，
当时，，
当且仅当时，等号成立，
则此时最大值为万元，
综上，公司年利润的最大值为480万元.
【典例2】（2023·高一课时练习）某旅店有200张床位．若每张床位一晚上的租金为50元，则可全部租出；若将出租收费标准每晚提高元（为正整数），则租出的床位会相应减少张．若要使该旅店某晚的收入超过12600元，则每张床位的出租价格可定在什么范围内？
【答案】每个床位的出租价格应定在70元到180元之间（不包括70元，180元）
【详解】设该旅店某晚的收入为y元，则
由题意，则
即，即，
解得：，且
所以每个床位的出租价格应定在70元到180元之间（不包括70元，180元）
【专训1-1】（2023·全国·高一专题练习）某小型雨衣厂生产某种雨衣,售价P(元/件)与月销售量x(件)之间的关系为P＝160－2x,生产x件的成本R＝500＋30x.若每月获得的利润y不少于1300元,则该厂的月销售量x的取值范围为 .
【答案】
【详解】由题意,得:
,令,得,
,.
判别式
二次函数(的图象
一元二次方程
()的根
有两个不相等的实数根，()
有两个相等的实数根
没有实数根
()的解集
()的解集