专题04 函数的概念及其表示（考点清单）-2024-2025学年高一数学上学期期末重难点突破（人教A版2019）

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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc5490" 一、思维导图 PAGEREF _Tc5490 \h 2
\l "_Tc16303" 二、知识回归 PAGEREF _Tc16303 \h 2
\l "_Tc18568" 三、典型例题讲与练 PAGEREF _Tc18568 \h 3
考点清单 \l "_Tc24322" 01定义域 PAGEREF _Tc24322 \h 3
\l "_Tc29044" 【期末热考题型1】求常规函数的定义域 PAGEREF _Tc29044 \h 3
\l "_Tc15792" 【期末热考题型2】求抽象函数、复合函数的定义域 PAGEREF _Tc15792 \h 4
\l "_Tc32438" 考点清单02值域 PAGEREF _Tc32438 \h 4
\l "_Tc31008" 【期末热考题型1】一次、二次、反比例函数的值域 PAGEREF _Tc31008 \h 4
\l "_Tc1375" 【期末热考题型2】根式型值域 PAGEREF _Tc1375 \h 5
\l "_Tc4702" 【期末热考题型3】分式型值域 PAGEREF _Tc4702 \h 5
\l "_Tc10647" 考点清单03解析式 PAGEREF _Tc10647 \h 6
\l "_Tc28411" 【期末热考题型1】待定系数法 PAGEREF _Tc28411 \h 6
\l "_Tc27795" 【期末热考题型2】换元法 PAGEREF _Tc27795 \h 7
\l "_Tc32177" 【期末热考题型3】方程组（消去）法 PAGEREF _Tc32177 \h 7
\l "_Tc4882" 【期末热考题型4】赋值法求抽象函数的解析式 PAGEREF _Tc4882 \h 8
一、思维导图
二、知识回归
知识回顾1：函数的定义
一般地，设，是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数(functin)，记作，.其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集.
函数的四个特征：
①非空性：，必须为非空数集（注意不仅非空，还要是数集），定义域或值域为空集的函数是不存在的.
②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值.
③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应（可以多对一，不能一对多）.
④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定
的关系就不一定是函数关系.
知识回顾2：数的三要素
（1）定义域：函数的定义域是自变量的取值范围．
（2）对应关系：对应关系是函数的核心，它是对自变量实施“对应操作”的“程序”或者“方法”．
（3）值域：与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域(range).
知识回顾3：求函数解析式
（1）待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数，反比例等），可用待定系数法．
（2）换元法：主要用于解决已知这类复合函数的解析式，求函数的解析式的问题，在使用换元法时特别注意，换元必换范围.
（3）配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式，
（4）方程组（消去）法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。
三、典型例题讲与练
01定义域
【期末热考题型1】求常规函数的定义域
【解题方法】使得函数有意义的范围
【典例1】（2023上·江苏苏州·高一统考期中）函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2023上·广东广州·高一广州市第六十五中学校考期中）函数的定义域为 .
【专训1-1】（2016上·宁夏银川·高三阶段练习）函数的定义域为 .
【专训1-2】（2023上·北京朝阳·高一校考阶段练习）函数 的定义域是 ；函数 的定义域为 .
【期末热考题型2】求抽象函数、复合函数的定义域
【解题方法】对应关系“”作用下的整体取值范围相同
【典例1】（2022上·江西南昌·高一校考期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2023上·广东惠州·高一校考阶段练习）若函数的定义域为，则函数的定义域为 ．
【专训1-1】（2023下·辽宁·高二校联考阶段练习）若函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【专训1-2】（2023上·天津北辰·高一天津市第四十七中学校考期中）设函数，则的定义域为 ．
02值域
【期末热考题型1】一次、二次、反比例函数的值域
【解题方法】分离常数法
【典例1】（2023上·贵州黔东南·高一凯里一中校考阶段练习）函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2023上·北京·高一校考期中）函数，的值域为 .
【专训1-1】（2023上·北京·高一北京市十一学校校考期中）函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【专训1-2】（2023上·广西南宁·高一南宁市第一中学校考阶段练习）函数的值域为 ．
【期末热考题型2】根式型值域
【解题方法】换元法
【典例1】（2023上·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中期中）函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）求函数的值域为 .
【专训1-1】（2023上·江苏镇江·高一江苏省扬中高级中学校考阶段练习）函数的值域为 .
【专训1-2】（2023·高一课时练习）求下列函数的值域：
（1）；
（2）；
【期末热考题型3】分式型值域
【解题方法】分离常数法，换元法，判别法
【典例1】（2023上·浙江宁波·高一余姚中学校考阶段练习）函数在上的值域是 .
【典例2】（2022上·辽宁·高一辽宁实验中学校考阶段练习）已知函数，则函数的值域是 .
【专训1-1】（2023上·天津红桥·高一天津市第五中学校考期中）已知函数 ，则函数的值域为 .
【专训1-2】（2021上·浙江杭州·高一校联考期中）函数的值域是 .
03解析式
【期末热考题型1】待定系数法
【解题方法】设出函数解析式，对比系数求解
【典例1】（2023上·河南南阳·高一河南省内乡县高级中学校考阶段练习）已已知是一次函数，且，求 .
【典例2】（2022上·江苏南京·高一江苏省江浦高级中学校联考期中）已知二次函数满足，且.
(1)求的解析式；
(2)解关于的不等式.
【专训1-1】（2022·全国·高一专题练习）设是一次函数，且，求的解析式.
【专训1-2】（2021上·高一课前预习）（1）已知是一次函数，且，求；
已知是二次函数，且满足，求.
【期末热考题型2】换元法
【解题方法】换元法
【典例1】（2023上·浙江·高一校联考期中）已知函数，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（2023上·湖北·高一洪湖市第一中学校联考期中）已知函数满足，则函数值域为 .
【专训1-1】（2023上·江苏镇江·高一江苏省扬中高级中学校考阶段练习）解答下面两题
(1)已知，求的函数解析式；
【专训1-2】（2023·全国·高三对口高考）（1）已知，求；
（2）已知，求；
【期末热考题型3】方程组（消去）法
【解题方法】联立方程组消元
【典例1】（2023上·四川达州·高一校考期中）（1）已知一次函数满足条件，求函数的解析式；
【典例2】（2023上·山东泰安·高一泰安一中校考期中）已知函数满足：.
(1)求函数的解析式：
【专训1-1】（2023上·宁夏银川·高一校考期中）分别求满足下列条件的的解析式：
(1)已知，求函数的解析式；
【专训1-2】（2023上·吉林通化·高一梅河口市第五中学校考阶段练习）（1）已知，求函数的解析式．
【期末热考题型4】赋值法求抽象函数的解析式
【解题方法】赋值法
【典例1】（多选）（2023上·浙江·高一校联考期中）已知函数定义域为，且，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（2023上·广东佛山·高一校考阶段练习）已知定义在上的函数满足，，，，不等式的解集为 ．
【专训1-1】（2023下·河南商丘·高二统考阶段练习）已知函数满足：；当时，.则满足这两个条件的一个函数为 .
【专训1-2】（2023·江苏·高一假期作业）设是R上的函数，，并且对于任意的实数都有，求.