专题09 三角函数（任意角和弧度制，三角函数的概念，诱导公式，图象与性质）（考点清单）-2024-2025学年高一数学上学期期末重难点突破（人教A版2019）

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\l "_Tc7646" 二、知识回归 PAGEREF _Tc7646 \h 4
\l "_Tc12730" 三、典型例题讲与练 PAGEREF _Tc12730 \h 6
\l "_Tc19563" 考点清单01终边相同的角 PAGEREF _Tc19563 \h 7
\l "_Tc4472" 【考试题型1】终边相同的角 PAGEREF _Tc4472 \h 7
\l "_Tc31522" 【考试题型2】终边在某条直线上的角的集合 PAGEREF _Tc31522 \h 8
\l "_Tc27430" 【考试题型3】区域角的表示 PAGEREF _Tc27430 \h 9
\l "_Tc19906" 考点清单02确定及的终边所在的象限 PAGEREF _Tc19906 \h 11
\l "_Tc8423" 【考试题型1】确定及的终边所在的象限 PAGEREF _Tc8423 \h 11
\l "_Tc15806" 考点清单03弧度制 PAGEREF _Tc15806 \h 13
\l "_Tc20179" 【考试题型1】扇形弧长与面积的计算 PAGEREF _Tc20179 \h 13
\l "_Tc9594" 【考试题型2】扇形面积最值问题 PAGEREF _Tc9594 \h 14
\l "_Tc450" 考点清单04三角函数的定义 PAGEREF _Tc450 \h 15
\l "_Tc4709" 【考试题型1】利用定义求三角函数值 PAGEREF _Tc4709 \h 15
\l "_Tc23927" 【考试题型2】根据三角函数值求参数 PAGEREF _Tc23927 \h 16
\l "_Tc32003" 考点清单05同角三角函数的基本关系 PAGEREF _Tc32003 \h 17
\l "_Tc29963" 【考试题型1】已知,求关于和的齐次式的值 PAGEREF _Tc29963 \h 17
\l "_Tc15903" 【考试题型2】利用,与之间的关系求值 PAGEREF _Tc15903 \h 18
\l "_Tc28618" 考点清单06正（余）弦函数的图象 PAGEREF _Tc28618 \h 20
\l "_Tc4802" 【考试题型1】五点法作图 PAGEREF _Tc4802 \h 20
\l "_Tc9698" 【考试题型2】利用图象求方程的解或函数零点的个数问题 PAGEREF _Tc9698 \h 22
\l "_Tc19613" 考点清单07正（余）弦函数的周期性 PAGEREF _Tc19613 \h 26
\l "_Tc31629" 【考试题型1】正（余）弦函数的周期性 PAGEREF _Tc31629 \h 26
\l "_Tc31495" 考点清单08正（余）弦函数的单调性 PAGEREF _Tc31495 \h 27
\l "_Tc13991" 【考试题型1】正（余）弦函数的单调性 PAGEREF _Tc13991 \h 27
\l "_Tc30921" 考点清单09正余弦函数对称性 PAGEREF _Tc30921 \h 29
\l "_Tc10699" 【考试题型1】正余弦函数对称性 PAGEREF _Tc10699 \h 29
\l "_Tc27968" 考点清单10正余弦函数的值域或最值 PAGEREF _Tc27968 \h 32
\l "_Tc10595" 【考试题型1】正余弦函数的值域或最值 PAGEREF _Tc10595 \h 32
\l "_Tc930" 考点清单11正切函数的定义域 PAGEREF _Tc930 \h 34
\l "_Tc8799" 【考试题型1】正切函数的定义域 PAGEREF _Tc8799 \h 34
\l "_Tc29037" 考点清单12正切函数的单调性，奇偶性，对称性 PAGEREF _Tc29037 \h 36
\l "_Tc10084" 【考试题型1】正切函数的单调性，奇偶性，对称性 PAGEREF _Tc10084 \h 36
\l "_Tc27975" 考点清单13正切函数的值域或最值 PAGEREF _Tc27975 \h 37
\l "_Tc12470" 【考试题型1】正切函数的值域或最值 PAGEREF _Tc12470 \h 37
一、思维导图
二、知识回归
知识点01：终边相同的角的集合
所有与角终边相同的角为
知识点02：角度与弧度的换算
弧度与角度互换公式：
，
知识点03：扇形中的弧长公式和面积公式
弧长公式：(是圆心角的弧度数)，
扇形面积公式：.
知识点04：任意角的三角函数定义
1、单位圆定义法：
如图,设是一个任意角,,它的终边与单位圆相交于点
①正弦函数：把点的纵坐标叫做的正弦函数,记作,即
②余弦函数：把点的横坐标叫做的余弦函数,记作,即
③正切函数：把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切,记作,即()
我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数
2、终边上任意一点定义法：
在角终边上任取一点，设原点到点的距离为
①正弦函数：
②余弦函数：
③正切函数：()
知识点05：同角三角函数的基本关系
1、平方关系：
2、商数关系:（，）
知识点06：正弦函数、余弦函数的图象和性质
知识点07：正切（型）函数的性质
三、典型例题讲与练
01终边相同的角
【考试题型1】终边相同的角
【解题方法】定义
【典例1】（2023上·北京·高一北京市十一学校校考期末）下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】因为，终边落在第四象限，且与角终边相同，
故与的终边相同的角的集合
即选项B正确；
选项AC书写不规范，选项D表示角终边在第三象限.
故选：B.
【专训1-1】（2023上·全国·高一专题练习）在中，与角终边相同的角有 ．（用弧度表示）
【答案】，
【详解】因为终边与角相同的角为，
当时，，
当时，，
所以在中与角终边相同的角有与.
故答案为：，.
【考试题型2】终边在某条直线上的角的集合
【解题方法】终边相同的角的集合
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线上，则角α的取值集合是
【答案】
【详解】直线的倾斜角是，所以终边落在直线上的角的取值集合为
故答案为：
【典例2】（2023·全国·高一课堂例题）写出终边在下图所示的直线上的角的集合．

【答案】（1）；（2）
【详解】（1）由题图易知，在范围内，终边在直线上的角有两个，即和，
因此，终边在直线上的角的集合为
；
（2）同理可得终边在直线上的角的集合为
，
终边在直线上的角的集合为
，
所以终边在直线上和在直线上的角的集合为
.
【专训1-1】（2023·全国·高一随堂练习）分别写出终边在y轴正半轴、y轴负半轴和y轴上的角的集合．
【答案】终边在轴正半轴上的角的集合为；终边在轴负半轴上的角的集合为；终边在轴轴上的角的集合为
【详解】终边在轴正半轴上的最小正角为，
则终边在轴正半轴上的角的集合为．
终边在轴负半轴上的最小正角为，
则终边在轴负半轴上的角的集合为．
故终边在轴轴上的角的集合为．
【考试题型3】区域角的表示
【解题方法】终边相同的角
【典例1】（2023下·山西朔州·高一怀仁市第一中学校校联考期末）集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】当时，，
当时，,所以选项C满足题意.
故选：C.
【典例2】（2022·高一课时练习）写出终边落在图中阴影区域内的角的集合．
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在范围内，图中终边在第二象限的区域边界线所对应的角为，终边在第四象限的区域边界线所对应的角为，
因此，阴影部分区域所表示的集合为；
（2）图中从第四象限到第一象限阴影部分区域表示的角的集合为，
图中从第二象限到第三象限阴影部分区域所表示的角的集合为
，
因此，阴影部分区域所表示角的集合为
.
【专训1-1】（2023下·江西上饶·高一上饶市第一中学校考阶段练习）如图所示，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合为 ．

【答案】．
【详解】由图，阴影部分下侧终边相同的角为，上侧终边相同的角为且，
所以阴影部分（包括边界）的角的集合为.
故答案为：
02确定及的终边所在的象限
【考试题型1】确定及的终边所在的象限
【解题方法】画图法
【典例1】（2023·全国·高一随堂练习）已知角α的终边在第四象限，确定下列各角终边所在的象限：
(1)； (2)； (3)； (4)．
【答案】(1)的终边在第二或第四象限
(2)的终边在第三或第四象限，也可在轴的负半轴上
(3)的终边在第二､第三或第四象限
(4)的终边在第二或三或第四象限，也可在轴的负半轴上
【详解】（1）由于为第四象限角，所以，
所以，
当时，，终边在第二象限，
当时，，终边在第四象限，
所以的终边在第二或第四象限；
（2）由（1）得，
所以的终边在第三或第四象限，也可在轴的负半轴上.
（3）由（1）得，
当时，，终边在第二象限，
当时，，终边在第三象限，
当时，，终边在第四象限，
所以的终边在第二､第三或第四象限；
（4）由（1）得，即，
所以的终边在第二或三或第四象限，也可在轴的负半轴上.
【典例2】（2023上·全国·高一专题练习）已知为第二象限角，那么是（ ）
A．第一或第二象限角B．第一或第四象限角
C．第二或第四象限角D．第一、二或第四象限角
【答案】D
【详解】∵为第二象限角，
∴，
∴,
当时，，属于第一象限，
当时，，属于第二象限，
当时，,属于第四象限，
∴是第一、二或第四象限角．
故选：D
【专训1-1】（2023上·天津河东·高三校考阶段练习）若是第二象限角，则是 象限
【答案】第一或第三
【详解】由题可知，第二象限角，
所以，
所以，
当为偶数时，在第一象限；
当为奇数时，在第三象限.
故答案为：第一或第三
03弧度制
【考试题型1】扇形弧长与面积的计算
【解题方法】公式法
【典例1】（2023上·安徽合肥·高三校考阶段练习）已知扇形的圆心角弧度为2，所对弦长为6，则该扇形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为扇形的圆心角弧度为2，所对弦长为，为圆心，如下图，
取的中点，连接，则，则，
则扇形的半径，所以扇形的弧长，
.

故选：D.
【典例2】（2023上·上海静安·高三校考阶段练习）已知扇形面积为半径是1，则扇形的周长是 .
【答案】
【详解】不妨设扇形的圆心角、半径、弧长、面积、周长分别为，
则由题意有，
解得，
由弧长公式有，
所以扇形的周长为.
故答案为：.
【专训1-1】（2023上·黑龙江哈尔滨·高一哈九中校考阶段练习）若一扇形弧长为2，圆心角为90°，则该扇形的面积为 ．
【答案】
【详解】设扇形半径为r，而圆心角为，弧长.
因此，则扇形面积为.
故答案为：
【专训1-2】（2023上·上海松江·高三校考期中）若一扇形的圆心角为，半径为2，则扇形的弧长为 .
【答案】/
【详解】，，
故答案为：.
【考试题型2】扇形面积最值问题
【解题方法】转化成二次函数求最值
【典例1】（2022上·安徽合肥·高一校考阶段练习）已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为
(1)若，，求扇形的弧长
(2)若扇形的周长为，当为多少弧度时，该扇形面积最大并求出最大面积．
【答案】(1)
(2)当时，扇形的面积最大，最大面积是．
【详解】（1）设扇形的弧长为．，即，.
（2）由题设条件知，,
因此扇形的面积
当时，有最大值，此时,
当时，扇形的面积最大，最大面积是．
【专训1-1】（2023下·辽宁沈阳·高一校联考期中）已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为r．
(1)若，求扇形的弧长．
(2)若扇形的周长为24，当为多少弧度时，该扇形面积最大？求出最大面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设扇形的弧长为l．
因为，即，
所以．
（2）由题设条件，知，则，
所以扇形的面积．
当时，S有最大值36，
此时，
所以当时，扇形的面积最大，最大面积是36．
04三角函数的定义
【考试题型1】利用定义求三角函数值
【解题方法】单位圆法+终边任意点法
【典例1】（2023上·山东青岛·高三统考期中）已知角的终边经过点，则的值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为角的终边经过点，所以，
.
故选：A
【典例2】（2023上·上海·高三上海市大同中学校考期中）在平面直角坐标系中，若角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与以点O为圆心的单位圆交于点，则的值为 ．
【答案】/
【详解】由三角函数的定义可知.
故答案为：
【考试题型2】根据三角函数值求参数
【解题方法】单位圆法+终边任意点法
【典例1】（2023上·江苏南通·高一统考阶段练习）若角终点上一点，且，则（ ）
A．B．C．4D．
【答案】C
【详解】由题意得：点在角的终边上，且，
所以：，解得：，（舍），故C项正确.
故选：C.
【典例2】（2023·四川资阳·统考模拟预测）设是第二象限角，为其终边上一点，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】依题意有且
故，
故选：C
【专训1-1】（2023上·北京·高一北京市十一学校校考期末）已知角的终边上一点，且，则 .
【答案】
【详解】由角的终边上一点，且，
可得，解之得或（舍）
故答案为：
05同角三角函数的基本关系
【考试题型1】已知,求关于和的齐次式的值
【解题方法】商数关系:（，）
【典例1】（2023上·宁夏吴忠·高一青铜峡市高级中学校考阶段练习）已知.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）因为，
所以.
（2）因为，
.
【专训1-1】（2023上·北京顺义·高一牛栏山一中校考期中）已知角是第三象限角，.
(1)求，的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意，又在第三象限，，故解得；
（2）
【考试题型2】利用,与之间的关系求值
【解题方法】平方关系
【典例1】（多选）（2023上·黑龙江牡丹江·高一牡丹江一中校考阶段练习）已知，且 ，则( )
A．B．C．
D．
【答案】ABD
【详解】由，
则，
即，故B正确；
又，
所以，，
故为第二象限角，
则，
，
则，故D正确,C错误；
又，
即有，，
又，故，故A正确.
故选：ABD.
【典例2】（2023上·全国·高一专题练习）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】由题意可得，得，
则，
由可知，所以.
故选：B
【专训1-1】（2023上·江苏南通·高一统考阶段练习）已知，则 ，若，则 .
【答案】 /
【详解】由题意：，得：，
所以：，
所以：，
因为：，所以：，
又因为：，得：，
所以：，得：
又因为：，所以：，，
所以：.
故答案为：；.
06正（余）弦函数的图象
【考试题型1】五点法作图
【解题方法】五点法
【典例1】（2023下·新疆乌鲁木齐·高一新疆师范大学附属中学校考开学考试）已知函数

(1)请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象（先在所给的表格中填上所需的数字，再画图）；
(2)求在区间上的最大值和最小值及相应的值.
【答案】(1)答案见解析；
(2)时，取最小值0；时，取最大值1.
【详解】（1）分别令，可得：
画出函数在一个周期的图像如图所示：

（2）因为，所以，
所以当，即时，取最小值0；
当，即时，取最大值1.
【专训1-1】（2023·全国·高三专题练习）用“五点法”在给定的坐标系中，画出函数在上的大致图像.

【答案】答案见解析
【详解】列表：
描点，连线，画出在上的大致图像如图：
【考试题型2】利用图象求方程的解或函数零点的个数问题
【解题方法】图象法
【典例1】（2023上·广东深圳·高二校考阶段练习）已知函数的最大值为.
(1)求函数的最小正周期，并求使成立时自变量的集合；
(2)若曲线与直线的图象有个公共点，求实数的取值范围.
【答案】(1)最小正周期为，使得成立时自变量的集合为
(2)
【详解】（1）解：因为
，
所以，函数的最小正周期为，
当时，，则，
所以，，解得.
所以，，由可得，
所以，，解得，
所以，使得成立时自变量的集合为.
（2）解：令，
则直线与函数在时的图象有两个交点，如下图所示：
由图可知，当时，直线与函数在时的图象有两个交点.
因此，实数的取值范围是.
【典例2】（2023上·湖北·高一湖北省天门中学校联考阶段练习）已知函数.
(1)请用五点作图法画出函数在上的图象；（先列表，后画图）
(2)设，当时，试讨论函数零点情况.
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【详解】（1）列表如下：
（2）令，则，由，则，
结合的图象研究与公共点个数.

（i），即，有4个公共点；
（ii），即，有5个公共点；
（iii），即，有4个公共点；
（iv），有2个公共点；
（v），无公共点.
综上，①或，有4个零点；
②，有5个零点；
③，有2个零点；
④，无零点.
【专训1-1】（2023上·安徽·高三合肥一中校联考阶段练习）已知，分别为函数图象上相邻的最高点和最低点，，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，为奇函数．
(1)求函数的解析式；
(2)当时，关于的方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意得，，
即，又，则，，
所以，
则，
因为为奇函数，所以，所以，
因为，所以，所以．
（2）令，因为，所以，则，
而有两个不同的实数解，即有两个不同的实数解，
故问题转化为与的图象有两个不同的交点，
又，，
作出函数与的大致图象，如图，
结合图象可知或，
所以实数的取值范围是．
07正（余）弦函数的周期性
【考试题型1】正（余）弦函数的周期性
【解题方法】公式法
【典例1】2．（多选）（2023下·四川达州·高一四川省万源中学校考阶段练习）下列函数中既是奇函数，又是最小正周期为的函数有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【详解】对于选项A：为奇函数，最小正周期，故A正确；
对于选项B：为偶函数，最小正周期，故B错误；
对于选项C：为奇函数，最小正周期，故C错误；
对于选项D：为奇函数，最小正周期，故D正确；
故选：AD.
【典例2】（2023上·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习）函数的最小正周期为 .
【答案】/
【详解】由诱导公式可知，，
当时，与不恒相等，故的最小正周期为，
故答案为：
【专训1-1】（2023上·广东·高三广州市第一中学统考阶段练习）函数的最小正周期为 ．
【答案】/
【详解】因为的最小正周期为，
所以的最小正周期为．
故答案为：.
08正（余）弦函数的单调性
【考试题型1】正（余）弦函数的单调性
【解题方法】图象法
【典例1】（2023·全国·高一随堂练习）求下列函数的单调区间：
(1)；
(2)．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【详解】（1）对于函数，
令，，得，，
所以的单调递减区间为，；
令，，得，，
所以的的单调递增区间为，.
（2）对于，
令，，得，，
所以的单调递减区间为，；
令，，得，，
所以的单调递增区间为，.
【典例2】（多选）（2023上·辽宁锦州·高三渤海大学附属高级中学校考期中）下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【详解】A选项，因为，在上单调递减，
故，A正确；
B选项，因为的最小正周期为，故，
因为，在上单调递增，
故，，B错误；
C选项，，
因为在上单调递增，所以，
故，所以，C正确；
D选项，，
因为在上单调递减，，
所以，即，D正确.
故选：ACD
【专训1-1】（2023上·江苏南通·高一统考阶段练习）已知在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为，，所以，
要使得在上单调递增，则，解得，
又由题意可知，所以，
故选：B
【专训1-2】（2023·全国·高一随堂练习）在区间中求出：
(1)使与都是单调递减的区间；
(2)使是单调递增的而是单调递减的区间．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）同一坐标系作出与在区间的图象如下，观察图象可知：

使与都是单调递减的区间是.
（2）使是单调递增的而是单调递减的区间是.
09正余弦函数对称性
【考试题型1】正余弦函数对称性
【解题方法】图象法
【典例1】（多选）（2023上·江西赣州·高三江西省大余中学校联考期中）已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于直线对称
C．的图象关于中心对称
D．在区间上单调递增
【答案】ACD
【详解】因为，
所以的最小正周期，故A正确；
因为，
所以不是的对称轴，是的对称中心，故B错误，C正确；
因为，所以，
所以在区间上单调递增，故D正确.
故选：ACD.
【典例2】（多选）（2023上·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考期中）将函数的图像向右平移个单位，再将各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象，则（ ）
A．为函数的一条对称轴
B．为函数的一条对称轴
C．为函数的一个对称中心
D．为函数的一个对称中心
【答案】BD
【详解】的图像向右平移个单位，
得到，
故，
A选项，，故不是的一条对称轴，A错误；
B选项，，故为函数的一条对称轴，B正确；
C选项，，故为函数的一条对称轴，C错误；
D选项，，故为函数的一个对称中心，D正确.
故选：BD
【专训1-1】（多选）（2023上·福建莆田·高三莆田第十中学校考期中）已知函数为的两个极值点，且的最小值为，直线为图象的一条对称轴，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则（ ）
A．
B．
C．的图象关于点对称
D．的图象关于点对称
【答案】BD
【详解】A选项，的最小值为，故函数的最小正周期为，
故，A错误；
B选项，因为为图象的一条对称轴，所以，
故，解得，
因为，所以只有当时，满足要求，B正确；
C选项，，则，
故为的对称轴，C错误；
D选项，，
则，
故的图象关于点对称，D正确.
故选：BD
【专训1-2】（多选）（2023下·广东佛山·高一校考期中）已知函数，则说法正确的是（ ）
A．的图象关于点对称B．的图象关于直线对称
C．为奇函数D．为偶函数
【答案】AC
【详解】对于A选项，因为，
所以，
的图象关于点对称，所以A选项正确.
对于B选项，由，
知的图象不关于直线对称，所以B选项错误.
对于C选项，由，
知为奇函数，所以C选项正确.
对于D选项，因为，
，
，所以不为偶函数，所以D选项错误.
故选:AC.
10正余弦函数的值域或最值
【考试题型1】正余弦函数的值域或最值
【解题方法】图象法+可化为一元二次函数型
【典例1】（2022·甘肃临夏·统考一模）已知函数，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】,
,对称轴为,应用二次函数的对称性可知，
当时,
则的最大值为.
故选：C.
【典例2】（2023·全国·高一随堂练习）求下列函数的值域：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），
，，
，
故的值域为.
（2），
，，
，，，
，
故的值域为.
【专训1-1】（2023上·广东广州·高三广东广雅中学校考阶段练习）已知，且，则的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】，
因为，所以，所以，
所以.
故选：D.
【专训1-2】（2023上·甘肃天水·高一校联考期末）函数，的值域为 ．
【答案】
【详解】令，则，
当时，则函数取得最小值为，
当时，函数取得最大值为，
故函数的值域为.
故答案为：
11正切函数的定义域
【考试题型1】正切函数的定义域
【解题方法】定义法
【典例1】（2023·全国·高一课堂例题）函数的定义域为 ．
【答案】
【详解】 由，得，且．

由图可得，即．
所以函数的定义域为．
故答案为：.
【专训1-1】（2023·全国·高一随堂练习）求下列函数的定义域：
(1)；
(2).
(3) ；
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）令 ， ，得 ， ，
故函数 的定义域为 .
（2）由题意， 解得 ， ，
故函数 的定义域为.
（3）由题意， ，则 ，
故函数 的定义域为.
12正切函数的单调性，奇偶性，对称性
【考试题型1】正切函数的单调性，奇偶性，对称性
【解题方法】图象法
【典例1】（2023上·陕西·高三校联考阶段练习）已知函数，且，则（ ）
A．B．C．1D．4
【答案】A
【详解】设，定义域为，关于原点对称，
则，故是奇函数，
从而，即，
即.
故选：A
【典例2】（2023·全国·高一随堂练习）求函数的定义域和单调区间．
【答案】；递增区间是，无递减区间.
【详解】函数中，，解得，
所以函数的定义域是；
由，解得，
所以函数的单调递增区间是，无递减区间.
【典例3】（多选）（2022下·辽宁大连·高一大连八中校考期中）下列坐标所表示的点中，是函数图像的对称中心的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【详解】令，解得，
A选项，当时，，故对称中心为，A正确；
B选项，当时，，故对称中心为，B正确；
C选项，令，解得，不合要求，舍去，C错误；
D选项，当时，，故对称中心为，D正确；
故选：ABD
13正切函数的值域或最值
【考试题型1】正切函数的值域或最值
【典例1】（2022·高一课时练习）函数的值域为 .
【答案】
【详解】设，因为，可得，
因为正切函数在上的值域为，
即函数在的值域为.
故答案为：.
【典例2】（2023上·北京·高一北京市十一学校校考期末）函数，的值域为 .
【答案】
【详解】令，，
因为函数在上单调递增，当时，，即，
又因为函数在上单调递增，
当时，，
所以，函数，的值域为.
故答案为：.
【专训1-1】（2022下·上海长宁·高一校考期中）函数，的值域为 ．
【答案】
【详解】解：因为，所以，
，
则当时，，
当时，，
所以函数的值域为.
故答案为：.
函数
图象
定义域
定义域
值域
周期性
奇偶性
奇函数
偶函数
单调性
在每一个闭区间()上都单调递增;在每一个闭区间(上都单调递减
在每一个闭区间
()上都单调递增;在每一个闭区间()上都单调递减
最值
当()时，;
当()时，;
当()时，;
当()时，;
图象的对称性
对称中心为(),
对称轴为直线()
对称中心为(),
对称轴为直线()
正切函数
正切型函数
定义域
由
值域
周期性
奇偶性
奇函数
当时是奇函数
单调性
在，上单调递增
当,时，由，解出单调增区间
对称性
对称中心：；无对称轴
令：，对称中心为：，无对称轴
0
0
x
0
0
1
0
0
0

1
2
0
0
1
0
0
0
2
0
-2