高一上学期期末考前必刷卷02（范围：人教A版（）必修第一册 提升卷）-2024-2025学年高一数学上学期期末重难点突破（人教A版2019）

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一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（2023下·河北张家口·高二统考期末）已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】因为，
所以，
故选：C.
2．（2023上·云南·高一云南师大附中校考期末）（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】，
故选：A．
3．（2023上·上海松江·高三统考期末）英国数学家哈利奥特最先使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．对于任意实数，下列命题是真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，，则D．若，，则
【答案】D
【详解】对A：因为，可能，故错误；
对B：当时，若，则，故错误；
对C：当，时，则，故错误；
对D：若，，则，故正确.
故选：D.
4．（2023下·辽宁·高二校联考期末）函数的部分图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因为，所以的定义域为．且关于原点对称.
又，
所以是奇函数，则排除A，D．
当时，，当时，，排除B，
故选：C．
5．（2022上·河南焦作·高一校考期末）若函数且满足对任意，都有成立，则的值可以是（ ）
A．B．C．D．2
【答案】D
【详解】因为对任意，都有成立，
所以在上单调递增，
所以，解得，
故选：D.
6．（2023上·甘肃定西·高一统考期末）已知，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】令，解得，可知的定义域为，
可得，解得，
关于不等式，即，
整理得，且在定义域内单调递增，
则，结合，解得，
所以不等式的解集为.
故选：D.
7．（2023下·广东梅州·高一统考期末）十字测天仪广泛应用于欧洲中世纪晚期的航海领域，主要用于测量太阳等星体的方位，便于船员确定位置，如图1所示，十字测天仪由杆和横档构成，并且E是的中点，横档与杆垂直并且可在杆上滑动，十字测天仪的使用方法如下：如图2，手持十字测天仪，使得眼睛可以从A点观察，滑动横档使得A，C在同一水平面上，并且眼睛恰好能观察到太阳，此时视线恰好经过点D，的影子恰好是.然后，通过测量的长度，可计算出视线和水平面的夹角（称为太阳高度角），最后通过查阅地图来确定船员所在的位置.

若在一次测量中，，横档的长度为30，则太阳高度角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题意知垂直平分，故，
在中，，则,
则，
而，故，
即太阳高度角的正弦值为，
故选：B
8．（2023上·安徽合肥·高一校联考期末）设函数的定义域为D，若满足：①在D内是单调增函数；②存在（），使得在上的值域为，那么就称是定义域为D的“成功函数”.若函数（，是定义域为R的“成功函数”，则t的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】依题意，函数定义域为R，令，显然，
函数在上单调性与在R上单调性相同，则函数在R上单调递增，
显然，而当时，函数不满足条件②，因此，
由于函数在上的值域为，则，即，
于是是方程的两个不等实根，令，则方程有两个不等的正实根，
因此，解得，
所以t的取值范围是.
故选：A
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2023上·河南·高一校联考期末）已知，，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【详解】由不等式的同向可加性知选项A正确；
因为，，所以，，所以，故选项B正确；
因为，，所以，故选项C错误；
因为，所以，，所以，故选项D正确．
故选：ABD．
10．（2023下·辽宁辽阳·高二统考期末）已知一次函数满足，则的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【详解】设，则，故．
因为，所以，解得或，
则或．
故选：AC.
11．（2023上·江苏泰州·高一统考期末）已知函数的图象是一条不间断的曲线，它的部分函数值如下表，则（ ）
A．在区间上不一定单调
B．在区间内可能存在零点
C．在区间内一定不存在零点
D．至少有个零点
【答案】ABD
【详解】由所给表格可知，，，，
所以，，，
又函数的图象是一条不间断的曲线，所以函数在区间、、存在零点，
即至少有个零点，故D正确；
对于A，由于只知道，的函数值，故无法判断在区间上的单调性，故A正确；
对于B、C，虽然，，由于不知道函数在内的取值情况，
所以函数在内可能存在零点，故B正确，C错误；
故选：ABD
12．（2023下·山东威海·高一统考期末）若函数（）在有且仅有个零点，则（ ）
A．的图象关于直线对称
B．在单调递增
C．在有且仅有个解
D．的取值范围是
【答案】AD
【详解】由题得.
∵，
因为函数在有且仅有个零点，所以，
所以的取值范围是，所以选项D正确；
对于选项A，令.
令，所以的图象关于直线对称，所以该选项正确；
对于选项B，因为，
所以在不是单调递增，所以该选项错误；
对于选项C，，所以当或时，，所以在有且仅有个解.所以该选项错误.
故选：AD
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）
13．（2023上·浙江丽水·高一统考期末）写出一个为奇函数的幂函数 .
【答案】答案不唯一，如：
【详解】对于定义域内任意，也在其定义域内，且，则函数为奇函数.
故答案为：答案不唯一，如：
14．（2023上·广东清远·高一统考期末）《乐府诗集》辑有晋诗一组，属清商曲辞吴声歌曲，标题为《子夜四时歌七十五首》.其中《夏歌二十首》的第五首曰：叠扇放床上，企想远风来.轻袖佛华妆，窈窕登高台､诗里的叠扇，就是折扇.折扇展开后可看作是半径为的扇形，是圆面的一部分，如图所示.设某扇形的面积为，该扇形所在圆面的面积为，当与的比值为时，该扇面为“黄金美观扇面”.若某扇面为“黄金美观扇面”，扇形的半径，则此时的扇形面积为 .
【答案】
【详解】，
扇形所在圆面的面积为：
且：
；
故答案为：
15．（2022上·黑龙江大庆·高一大庆实验中学校考期末）设集合，对其子集引进“势”的概念；①空集的“势”最小；②非空子集的元素越多，其“势”越大；③若两个子集的元素个数相同，则子集中最大的元素越大，子集的“势”就越大.最大的元素相同，则第二大的元素越大，子集的“势”就越大，以此类推.若将全部的子集按“势”从小到大顺序排列，则排在第位的子集是 .
【答案】
【详解】根据题意，将全部的子集按“势”从小到大顺序排列为：
，，，，，，，.
故排在第6的子集为.
故答案为：
16．（2020下·湖北荆州·高一统考期末）定义在R上的函数在上单调递增，且为偶函数.（1）已知，，比较大小：a b（填＞，＜，≥，≤）；（2）若对一切实数x，不等式恒成立，则实数m的取值范围是 .
【答案】
【详解】∵为偶函数，∴函数的图象关于直线对称，
又在上单调递增，∴在上单调递减，
∵，，且，
∴.
∵，∴，
∵对一切实数，不等式恒成立，
∴或，即或，
∴或，
∴实数的取值范围是，
故答案为：，．
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
17．（2023下·上海杨浦·高二复旦附中校考期末）已知集合
(1)当时，求；
(2)若______，求实数的取值范围.
请从①；②；这两个条件中选择一个填入②中横线处，并完成第②问的解答.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
【答案】(1)
(2)选择①的范围为，，,选择②，的取值范围为，．
【详解】（1）当时，，
．
（2）（2）若选择①，
当时，，即，
当时，，即，
或，即或．
实数的取值范围是，，．
若选择条件②，由得，解得．
实数的取值范围是，．
18．（2023上·山东泰安·高一泰安一中校考期末）已知函数，．
(1)求的单调递增区间；
(2)当时，求的最大值和最小值．
【答案】(1)
(2)最大值为，最小值为
【详解】（1）因为，，
由正弦函数的单调性可令，
解之得，即的单调递增区间为；
（2）当时，，
由正弦函数的单调性可知：
当，即时，取得最小值，
当，即时，取得最大值，
故当时，的最大值为，最小值为.
19．（2023下·四川绵阳·高二期末）为了改善湖泊的水质，某市环保部门于2021年年终在该湖泊中投入一些浮萍，这些浮萍在水中的繁殖速度越来越快，2022年2月底测得浮萍覆盖面积为，2022年3月底测得浮萍覆盖面积为，浮萍覆盖面积（单位：）与2022年的月份（单位：月）的关系有两个函数模型与可供选择．
(1)分别求出两个函数模型的解析式；
(2)若2021年年终测得浮萍覆盖面积为，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，试估算至少到哪一年的几月底浮萍覆盖面积能超过？（参考数据：）
【答案】(1)，
(2)2023年2月
【详解】（1）若选择模型，
则，解得，，
故函数模型为，
若选择模型，则，
解得，，
故函数模型为．
（2）把代入可得，，
把代入可得，，
∵，
∴选择函数模型更合适，
令，可得，两边取对数可得，，
∴，
故浮萍至少要到2023年2月底覆盖面积能超过8100m2．
20．（2023上·陕西汉中·高一校考阶段练习）已知函数是定义在上的单调函数，且对任意正数，，都有.且.
(1)求，的值；
(2)判断函数的奇偶性并证明；
(3)若不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)，
(2)是奇函数，证明见解析
(3)
【详解】（1）设，得，则.
再设，有，
再设，有，所以，所以.
（2）是奇函数，证明如下：
因为定义域为，关于原点对称，
设，代入可得，
所以，所以是奇函数.
（3）函数是定义在上的单调函数，且，
所以是定义在上的单调增函数，又是奇函数，
所以，
所以即恒成立，
当时，，此时，不符合题意，
当时，有，即，解得，
所以的取值范围是
21．（2023下·北京东城·高二统考期末）已知是定义在上的奇函数，当时，＝.
(1)求在上的解析式；
(2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为 是定义在上的奇函数，时，＝，
所以 ，解得，所以 时，，
当时，，
所以 ，
又，
即在上的解析式为；
（2）因为 时，，
所以 可化为，
整理得，
令，根据指数函数单调性可得 是减函数，
所以 ，
所以 ，
故实数的取值范围是.
22．（2023上·宁夏银川·高一银川二中校考期末）已知函数（，）的图象两邻对称轴之间的距离是，若将的图象先向右平移单位，再向上平移1个单位，所得函数为奇函数.
(1)求函数的解析式；
(2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围；
(3)若函数的图象在区间（且）上至少含有30个零点，在所有满足条件的区间上，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由,得，则,
则为奇函数，所以，又，则，
故.
（2）由于，则，，
故,
而恒成立,即，
整理可得，令，
设，设且，
则，
由于，则，
即在上递增，故，
故，即m取值范围是.
（3）由题意知，
由得,
故或,
求得或，
故函数的零点为或,
∴相邻两个零点之间的距离为或，
若最小，则a和b都是零点，此时在区间分别恰有个零点，
所以在区间是恰有29个零点，从而在区间上至少有一个零点，
∴，
另一方面，在区间上恰有30个零点，
因此的最小值为.
1
2
3
4
5
6