福建省厦门市湖里中学2022-2023学年九年级下学期开学考数学试题

这是一份福建省厦门市湖里中学2022-2023学年九年级下学期开学考数学试题，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. ﹣3的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0．
【详解】根据相反数的定义可得：－3的相反数是3，
故选D．
【点睛】本题考查相反数，题目简单，熟记定义是关键．
2. 下面几何体的左视图为三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据左视图的定义即可判断．
【详解】A.从左边看一个矩形，故本选项不合题意；
B.从左边看是一个三角形，故本选项符合题意；
C.从左边看是一个圆，故本选项不合题意；
D.从左边看是一个矩形，故本选项不合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三视图，解题时注意：从左边看到的图形是左视图．
3. 根据国家统计局发布的统计公报，2021年我国新能源汽车产量已超3 500 000辆，其中3 500 000用科学记数法表示为（ ）．
A. 35×105B. 3.5×105C. 3.5×106D. 0.35×107
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由您看到的资料都源自我们平台，家威杏 MXSJ663 免费下载于3500000有7位数，所以可以确定n=7-1．
【详解】3500000=3.5×106．
故选：C
【点睛】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
4. 下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义即可得到答案．
【详解】解：根据轴对称图形和中心对称图形的定义，可得：
A选项中的图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B选项中的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意
C选项中的图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D选项中的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意，
故选B
【点睛】本题考查轴对称图形和中心对称图形，准确掌握其定义是解题的关键．
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据不同的运算法则或公式逐项加以计算，即可选出正确答案．
【详解】解：A：，故 A错误；
B：，故 B错误；
C：，故C错误；
D：．
故选：D
【点睛】本题考查了整式的加减法法则、乘法公式、同底数幂的除法法则、积的乘方、幂的乘方等知识点，熟知上述各种不同的运算法则或公式，是解题的关键．
6. 正六边形的每个内角为（）
A. 108°B. 120°C. 135°D. 140°
【答案】B
【解析】
【分析】根据多边形的内角和公式计算求值即可；
【详解】解：正六边形的每个内角都相等，设内角为a，则
（6-2）×180°=6a，解得：a=120°，
故选： B．
【点睛】本题考查了正多边形的内角计算，掌握n边形的内角和=（n-2）×180°是解题关键．
7. 在一次射击预选赛中，甲、乙、丙、丁四名运动员10次射击成绩的平均数及方差如下表所示：
其中成绩较好且状态较稳定的运动员是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】D
【解析】
【分析】根据平均数和方差的定义进而选出符合题意的结果．
【详解】解：方差越小，则状态越稳定
由表格可知乙和丁状态稳定
又乙的平均数小于丁的平均数
∴丁是成绩较好且状态稳定的运动员
故选：D．
【点睛】本题考查平均数定义和根据方差判断稳定性，熟练地掌握概念是解决问题的关键．
8. 如图，在中，点C在劣弧上，D是优弧的中点，若，则的大小是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据D是优弧的中点，可得，再由圆周角定理，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵D是优弧的中点，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：D
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
9. 是线段上一点（），则满足，则称点是线段的黄金分割点．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割点”．如图，一片树叶的叶脉长度为，为的黄金分割点（），求叶柄的长度．设，则符合题意的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据黄金分割的特点即可求解．
【详解】∵AB=10，BP=x，
∴AP=10-x，
∵P点是黄金分割点，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了根据黄金分割点列一元二次方程的知识，依据得到是解答本题关键．
10. 已知点 均在抛物线上，若，则（ ）
A. 当 时， B. 当时，
C. 当时， D. 当时，
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数开口向下，离对称轴越远函数值越小，开口向上，离对称轴越远函数值越大进行求解即可．
【详解】解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，
当时，，点A比点B到对称轴的距离更远，
∴，
当时，同样的点A比点B到对称轴的距离更远，
∴，
∴当时，并不能确定与的大小关系，故A、B不符合题意；
当时，此时开口向下，，点B比点A到对称轴的距离更远，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数的性质是解题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11. 写出一个无理数x，使得，则x可以是_________（只要写出一个满足条件的x即可）
【答案】答案不唯一（如等）
【解析】
【分析】从无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，
【详解】根据无理数的定义写一个无理数，满足即可；
所以可以写：
①开方开不尽的数：
②无限不循环小数，，
③含有π的数等．只要写出一个满足条件的x即可．
故答案：答案不唯一（如等）
【点睛】本题考查了无理数的定义，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．
12. 若函数的图象经过点，则m的值是____________．
【答案】3
【解析】
【分析】把点代入函数中，求出m的值即可．
【详解】解：把，代入函数中，得．
故答案为：3．
【点睛】本题借助反比例函数考查了函数解析式与函数图像上的点的对应关系：函数图像上的任意一点的坐标都满足该函数所对应的的解析式；反之，以函数解析式所确定的x、y的任意一组对应值为坐标的点都在该函数图像上．这里在把点的坐标代入函数解析式时须注意：点的横坐标对应自变量x，纵坐标对应函数值y．
13. 某人连续抛掷一枚质地均匀的硬币10次，结果都是正面朝上，则他第11次抛掷这枚硬币，正面朝上的概率是__________．
【答案】0.5
【解析】
【分析】简化模型，只考虑第11次出现的结果，有两种结果，第11次出现正面朝上只有一种结果，即可求解．
【详解】解：抛掷一枚质地均匀的硬币，只考虑第11次，有两种结果：正面朝上，反面朝上，每种结果都可能出现，故所求概率为 ．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了古典概率中的等可能事件的概率的求解，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）．
14. 如图，AB的垂直平分线l交AB于点M，P是l上一点，PB平分∠MPN．若AB＝2，则点B 到直线PN的距离为__________．
【答案】1
【解析】
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出BM=1，根据角平分线的性质得到BN=BM=1，即可得出答案．
【详解】解：如图，过点B作BC⊥PN，垂足为点C，
∵AB的垂直平分线l交AB于点M，
∴，BM⊥PM，
∵PB平分∠MPN，BM⊥PM，BC⊥PN，
∴BC=BM=1，
∴点B 到直线PN的距离为1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质与角平分线的性质，能熟记线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解此题的关键．
15. 图，方格纸中2个小正方形的边长均为1，图中阴影部分均为扇形，则这两个小扇形的面积之和为______（结果保留）．
【答案】##
【解析】
【分析】根据题意可得这两个扇形可组合成一个大扇形，且这两个扇形的的圆心角的和为90°，再根据扇形的面积公式，即可求解．
【详解】解：根据题意得：两个扇形的半径相等均为1，
∴这两个扇形可组合成一个大扇形，
∵这两个扇形的的圆心角正好是直角三角形的两个锐角，
∴这两个扇形的的圆心角的和为90°，
∴这两个小扇形的面积之和为．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了学生的观察能力及计算能力．理解求不规则的图形的面积，可以转化为几个规则图形的面积的和或差来求是解题的关键．
16. 如图，正方形ABCD的边长为4，点P在边AB上，PE⊥PC交AD于点E，点F在CP上且PF=PE，G为EF的中点，若点P沿着AB方向移动（不与A重合），则下列结论正确的是______．（填序号即可）
①∠CEP与∠CPB可能相等；
②点G的运动路径是圆弧；
③点G到AD、AB的距离相等；
④点G到AB的距离的最大值为2．
【答案】①③④
【解析】
【分析】证明Rt△APE∽Rt△BCP，推出，再证明Rt△PCE∽Rt△BCP，即可判断①；
证明A、E、G、P四点共圆，推出点G在线段AC上，即可判断②；
利用点G在线段AC上，即可判断③和④．
【详解】解：①当点P是AB的中点时，∠CEP与∠CPB可能相等，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，且边长为4，
∴∠EAP=∠EPC=∠PBC=90°，AP=PB=2，
∴∠APE+∠CPB=90°，∠PCB +∠CPB=90°，
∴∠APE=∠PCB，
∴Rt△APE∽Rt△BCP，
∴，
∵，
∴，又∠EPC=∠PBC=90°，
∴Rt△PCE∽Rt△BCP，
∴∠CEP=∠CPB，
∴∠CEP与∠CPB可能相等，故①正确；
②连接AC，PG，
∵PE⊥PC，∴∠EPF=90°，
∵PF=PE，∴△EPF是等腰直角三角形，∴∠PEF=45°，
∵G为EF的中点，∴GE=GP=GF，
∴∠EGP=90°，
∵∠DAB =∠EGP=90°，
∴A、E、G、P四点共圆，
∴∠GEP=∠GAP=45°，
∴点G在线段AC上，故②不正确；
③∵AC是正方形ABCD的对角线，即AC是∠DAB的平分线，
∴点G到AD、AB的距离相等；故③正确；
④当点P与点B重合时，点G到AB的距离最大，最大值为2．故④正确；
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了四点共圆的知识，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
三、解答题（共9小题，满分86分）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】先计算零指数幂，化简绝对值和二次根式，再进行加减计算即可．
【详解】解：

【点睛】本题考查零指数幂，化简绝对值和二次根式，掌握二次根式的性质，任何非零数的零次幂都为1是解题的关键．
18. 如图，点E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D．
【答案】见解析
【解析】
【分析】由BE＝CF可得BF＝CE，再结合AB＝DC，∠B＝∠C可证得△ABF≌△DCE，问题得证．
【详解】解∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE．
在△ABF和△DCE中，

∴△ABF≌△DCE，
∴∠A＝∠D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握全等三角形的判定和性质．
19. 先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【解析】
【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后代值计算即可．
【详解】解：原式
当时，原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟知相关计算法则是解题的关键．
20. 2022年北京冬奥会和冬残奥会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受大家的喜爱．奥林匹克官方旗舰店有出售“冰墩墩”和“雪容融”的手办玩具和摆件，玩具和摆件是其中的两款产品．据了解，购买2个玩具和3个摆件用了410元，购买3个玩具和2个摆件用了420元．求每个玩具和每个摆件点的价格．
【答案】玩具A的单价为88元，摆件的单价为78元
【解析】
【分析】设玩具A的单价为x元，摆件的单价为y元，利用总价=单价×数量，结合“购买2个玩具和3个摆件用了410元，购买3个玩具和2个摆件用了420元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设玩具A的单价为x元，摆件的单价为y元，
根据题意得，
，
解得，
答：玩具A的单价为88元，摆件的单价为78元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组．
21. 如图，在中，，将绕点A旋转一定的角度得到，且点E恰好落在边BC上．
（1）求证：AE平分；
（2）连接BD，求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据旋转性质得到对应边相等，对应角相等，进而根据等边对等角性质可将角度进行等量转化，最后可证得结论；
（2）根据旋转性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理对角度进行等量转化可证得结论．
【小问1详解】
证明：由旋转性质可知：，，
平分．
【小问2详解】
证明：如图所示：
由旋转性质可知：，，
，，
即，
，，
，
∵在中，，
，
，
即．
【点睛】本题考查了三角形的旋转变化，熟练掌握旋转前后图形的对应边相等，对应角相等以及合理利用三角形内角和定理是解决本题的关键．
22. 如图，在△ABC中，∠C = 90°．
（1）以AC边上一点O为圆心作⊙O，使得⊙O经过点C，且与AB边相切于点D；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若AC = 3，BC = 4，求⊙O的半径．
【答案】（1）见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）先作∠BCA的平分线交AC于O点，然后以O点为圆心，OC为半径作圆即可；
（2）连结，设的半径为r，由勾股定理求得AB=5，再证，可得，得到，求出r即可．
【小问1详解】
作图如图所示，为所求作的圆．
【小问2详解】
解：连结，设的半径为r，
∵，
∵．
∵与相切于点D，
∴．
∴
又∵，
∴．
∴．
∴．
解得，即的半径为．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作，也考查了切线的性质．
23. 学校为了调查学生对环保知识的了解情况，从初中三个年级随机抽取了30名学生，进行了相关测试，获得了他们的成绩（单位：分），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．部分信息如下：
信息①：30名学生环保知识测试成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）：
信息②：测试成绩在70≤x＜80这一组的是：70，73，74，74，75，75，77，78
信息③：所抽取的30名学生中，七年级有5人，八年级有11人，九年级有14人，各年级被抽取学生测试成绩的平均数如下表：
根据以上信息回答下列问题：
（1）抽取的30名学生测试成绩的中位数为 ；
（2）测试80分及以上记为优秀，若该校初中三个年级498名学生都参加测试，请估计优秀的学生的人数；
（3）求被抽取30名学生的平均测试成绩．
【答案】（1）74 （2）166人
（3）73分
【解析】
【分析】（1）将数据按从小到大排列后，根据中位数的意义求解即可；
（2）先求出被抽取的30名学生成绩的优秀率，从而估计总体学生成绩的优秀率，然后用总人数乘以优秀率即可得出答案；
（3）根据加权平均数的意义求解即可．
【小问1详解】
解∶将30名学生的成绩按从小到大的顺序排列，最中间的第15和16名的学生成绩，他们在70≤x＜80这一组，成绩分别为74，74，故中位数为．
故答案为：74；
【小问2详解】
解：被抽取的30名学生成绩的优秀率为，
∴估计优秀的学生的人数为（人）；
【小问3详解】
解：（分），
答：被抽取30名学生的平均测试成绩为73分.
【点睛】本题考查了频数分布直方图，用样本估计总体，加权平均数，中位数等知识，理解各个统计量的意义，明确各个统计量的特点是解题的关键．
24. 已知四边形内接于，，垂足为E，，垂足为F，交于点G，连接．
（1）求证：；
（2）如图，若，，求半径．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
分析】（1）先判断出，进而判断出，进而判断出，即可得出结论；
（2）连接并延长交于，连接，由（1）知，，得出，进而判断出，再判断出，得出，判断出，即可求出答案．
【小问1详解】
证明：如图1所示：
，，
，
，，
，
∵，
∴，
，
，
，，
，
；
【小问2详解】
解：连接并延长交于，连接，如图2所示：
由（1）知，，，
是的中垂线，
，
，
，
，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
在中，根据勾股定理得，，
的半径为．
【点睛】本题是圆与三角形综合题，主要考查圆的有关性质、互余求角度、等腰三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质、勾股定理、圆周角定理，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键．
25. 经过点、、的抛物线与x轴只有一个公共点，其中且．
（1）求抛物线所对应的函数表达式；
（2）连接，作，交抛物线于点B，交y轴于点F．
①求面积的最小值；
②取的中点G，作轴，交抛物线于点C，点G关于C的对称点为D，过点B、D分别作x、y轴的垂线相交于点E，与EF交于点M，求证：点M必在x轴上．
【答案】（1）
（2）①；②见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意求得对称轴，方程的判别式为0，即可求得的值，进而求得抛物线的解析式；
（2）①证明直线过定点，进而根据相似三角形的性质求得面积的表达式，根据二次函数的性质求得最小值即可；
②根据题意求得的坐标，进而求得的解析式，联立解析式求解即可．
【小问1详解】
经过、的抛物线与x轴只有一个公共点，
，抛物线的对称轴为，
抛物线解析式为：
【小问2详解】
①如图，过点分别作轴，轴，依题意，点在第二象限，则点在第一象限，
，
，
，
，
，
，，
，
设，，则，
，
设直线的解析式为，
，
，
，
解得，，
，
在上
，
设直线解析式为
解得
直线解析式为
直线过定点
即
当且仅当时成立，
面积最小值为；
②由（1）可知，
，
即，
设
解得
设直线的解析式分别为，
，
解得，
解得
与交于同一点
点M必在x轴上．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，相似三角形的性质与判定，一次函数解析式，中点坐标公式，综合运用以上知识是解题的关键．甲
乙
丙
丁
（单位：环）
9
8
9
9
（单位：环）
1.6
0.8
3
0.8
年级
七
八
九
平均数
69.6
72.0
75.0