河南省周口市淮阳区淮阳中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份河南省周口市淮阳区淮阳中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共20页。
1．此卷分试题卷和答题卡两部分，满分120分，考试时间100分钟.
2．请用钢笔或圆珠笔在答题卡上答题，答题前请将姓名、准考证号填写清楚.
一、选择题．（每题只有一个正确答案，每题3分，共30分）
1. 在中，最长的弦是，则的半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了圆的相关概念，熟练掌握弦、直径、半径等概念成为解题的关键．
用圆直径为圆中最长的弦求解即可．
【详解】解：∵在中，最长的弦是，
∴的直径为,
∴的半径为．
故选：C．
2. 抛物线的顶点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质，掌握顶点式顶点坐标为成为解题的关键．
根据二次函数顶点式的特点即可解答
【详解】解：∵抛物线解析式为，
∴顶点坐标为．
故选：C．
3. 下列各式中，与是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D. 您看到的资料都源自我们平台，家威杏 MXSJ663 免费下载【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了同类二次根式，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
根据同类二次根式的定义即可解答．
【详解】解：A．，与不是同类二次根式，本选项错误，不符合题意；
B．与是同类二次根式，故本选项正确，符合题意；
C．，与不是同类二次根式，本选项错误，不符合题意；
D．，与不是同类二次根式，本选项错误，不符合题意．
故选：B．
4. 下列事件为不可能事件的是（ ）
A. 打开电视，正在播放电影B. 明天太阳东升西落C. 射击一次，命中靶心D. 天上掉馅饼
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了随机事件、必然事件、不可能事件的定义、理解相关定义成为解题的关键．
根据随机事件、必然事件、不可能事件的定义逐项判断即可．
【详解】解：A．打开电视，正在播放电影，这是随机事件，故A不符合题意；
B．明天太阳东升西落，这是必然事件，故B不符合题意；
C．射击一次，命中靶心是不可能事件，这是随机事件，故C不符合题意；
D．上掉馅饼，是不可能事件，符合题意；
故选：D．
5. 若二次函数的图象与x轴有两个交点，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根D. 不能确定
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数与一元二次方程的关系解答．根据题意和二次函数与一元二次方程之间的关系可以解答本题．
【详解】解：∵二次函数的图象与x轴有两个交点，
∴当时，，
此时使得成立的x的值有两个，
∴关于x的一元二次方程的根的情况是有两个不相等的实数根，
故选：A．
6. 在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2，下列说法错误的是（ ）
A. 当a＜5时，点B在⊙A内B. 当1＜a＜5时，点B在⊙A内
C. 当a＜1时，点B在⊙A外D. 当a＞5时，点B在⊙A外
【答案】A
【解析】
【分析】根据数轴以及圆的半径可得当d=r时，⊙A与数轴交于两点：1、5，进而根据点到圆心的距离与半径比较即可求得点与圆的位置关系，进而逐项分析判断即可
【详解】解：∵圆心A在数轴上的坐标为3，圆的半径为2，
∴当d=r时，⊙A与数轴交于两点：1、5，
故当a=1、5时点B在⊙A上；
当d＜r即当1＜a＜5时，点B在⊙A内；
当d＞r即当a＜1或a＞5时，点B在⊙A外．
由以上结论可知选项B、C、D正确，选项A错误．
故选A．
【点睛】本题考查了数轴，点与圆的位置关系，掌握点与圆的位置关系是解题的关键．
7. 如图，在平面直角坐标系中，将以原点O为位似中心放大后得到，若，，则与的相似比是（ ）
A. 2：1B. 1：2C. 3：1D. 1：3
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用对应边的比等于相似比求解即可．
【详解】解：由B、D两点坐标可知：OB=1，OD=3；
△OAB 与△OCD的相似比等于；
故选D．
【点睛】本题考查了在平面直角坐标系中求两个位似图形的相似比的概念，同时涉及到了位似图形的概念、平面直角坐标系中点的坐标、线段长度的确定等知识；解题关键是牢记相似比等于对应边的比，准确求出对应边的比即可完成求解，考查了学生对概念的理解与应用等能力．
8. 已知关于x的的两根为，，则的值为（ ）．
A. －8B. －7C. －14D. －2
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查根与系数的关系，掌握根与系数的关系求是解题的关键．
先根据根与系数的关系求得a、b的值，然后再代入计算即可．
【详解】解：∵关于x的的两根为，，
∴，，
∴，
∴．
故选C．
9. 以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由于内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形，可构造直角三角形分别求出边心距的长，由勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形，进而可得其面积．
【详解】如图1，
∵OC=2，
∴
如图2，
∵OB=2，
∴
如图3，
∵OA=2，
∴
则该三角形的三边分别为：
∵
∴该三角形是直角三角形，
∴该三角形的面积是：
故选A.
【点睛】考查正多边形与圆，明确边心距，中心角的概念，解直角三角形即可.注意数形结合思想在解题中的应用.
10. 如图，一个扇形纸片的圆心角为，半径为4，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了不规则图形面积的求解与等边三角形的判定与性质，勾股定理，根据阴影部分的面积等于计算即可，熟练运用扇形公式是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，，

由折叠可知：，，
，
，
为等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
故选：D．
二、填空题．（每题3分，共15分）
11. 方程的解是_______．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用因式分解法是解题的关键．
根据因式分解法进行计算解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，．
故答案为：，．
12. 如果抛物线的图像过点则该抛物线的对称轴为直线_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称的定义，根据轴对称的定义列式出代数式是解题的关键．
根据轴对称的定义列式出代数式进行计算即可．
【详解】解：∵抛物线的图像过点
∴抛物线的对称轴为直线：．
故答案为．
13. 如图，已知、是的直径，，，则_______
【答案】##64度
【解析】
【分析】根据等弦所对圆心角相等，即可求解，解题的关键是：找到等弦所对的圆心角．
【详解】解：，
，
又，
，
，
故答案为：．
14. 如图，在矩形ABCD中，点E是边BC中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是_____
【答案】
【解析】
【分析】证明△BEF∽△DAF，得出EF=AF，EF=AE，由矩形的对称性得：AE=DE，得出EF=DE，设EF=x，则DE=3x，由勾股定理求出DF= =2x，再由三角函数定义即可得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵点E是边BC的中点，
∴BE=BC=AD，
∴△BEF∽△DAF，
∴
∴EF=AF，
∴EF=AE，
∵点E是边BC的中点，
∴由矩形的对称性得：AE=DE，
∴EF=DE，设EF=x，则DE=3x，
∴DF==2x，
∴tan∠BDE== = ；
故答案为.
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角函数等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．
15. 抛物线的对称轴直线．抛物线与x轴的一个交点在点和点之间，其部分图象如图所示，下列结论中：①；②；③关于的方程有两个不相等实数根；④，正确的有_______________．
【答案】①③④
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的联系；①抛物线的对称轴即可得；②先根据抛物线与x轴交点位置、对称性可得当时，，再结合即可得；③根据二次函数的顶点坐标可得抛物线与直线有两个交点，由此即可得；④先根据顶点坐标可得，再结合即可得．
【详解】∵抛物线对称轴为直线，
∴，则结论①正确；
∵抛物线与x轴的一个交点在和之间，且时，，
当时，，
由二次函数的对称性得：时的函数值与时的函数值相等，
当时，，
即，
，即，
，即，则结论②错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，且顶点为，
∴抛物线与直线有两个交点，
∴关于x的方程有两个不相等实数根，则结论③正确；
∵化成顶点式为，且其顶点坐标为，
∴，即，
∵，
∴，
∵抛物线的开口向下，
，
∴，
∴，则结论④正确；
综上，正确的有①③④，
故答案为：①③④．
三、解答题．（本大题8小题，共75分）
16. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值、二次根式的性质、零次幂、算术平方根等知识点，掌握相关定义和运算法则成为解题的关键．
先根据特殊角的三角函数值、二次根式的性质、零次幂、算术平方根化简，然后再进行计算即可．
【详解】解：
．
17. 某校第二课堂准备设置球类课程，随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“羽毛球”“篮球”“足球”“排球”“乒乓球”中选择自己最喜欢的一项．根据调查结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，请根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次共调查了_______名学生；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该校把最受欢迎的“羽毛球”“篮球”“足球”设置为选修内容．小明和小亮分别从三个项目中任选一项进行训练，利用树状图或表格求出他俩选择同一项目的概率．
【答案】（1）200 （2）统计图见解析
（3）树状图见解析，概率为
【解析】
【分析】此题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联，树状图或列表法求概率，读懂题意并正确求解是解题的关键．
（1）用最喜欢羽毛球的人数除以羽毛球在扇形统计图中圆心角占的百分比即可得到答案；
（2）用总人数减去已知各部分的人数得到喜欢足球的人数，补全条形统计图即可；
（3）根据题意画出树状图，用他俩选择同一项目的情况数除以总的情况数即可得到答案．
【小问1详解】
此次共调查的学生有：（名）；
小问2详解】
足球的人数有：（名），补全统计图如图：
【小问3详解】
设“羽毛球”“篮球”“足球”分别为A、B、C，根据题意画树状图如图：
共有9种等可能的情况，其中他俩选择相同项目的有3种，
则P（他俩选择相同项目）．
18. 在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部B处测得办公楼底部D处的俯角是53°，从综合楼底部A处测得办公楼顶部C处的仰角恰好是30°，综合楼高24米．请你帮小明求出办公楼的高度．（结果精确到0.1，参考数据，，）
【答案】办公楼的高度约为10.4米．
【解析】
【分析】直接利用锐角三角函数关系得出AD的长，进而得出CD的高度．
【详解】解：根据题意，∠BDA=53°，AB=24，
在Rt△BDA中，，
∴AD=，
在Rt△ACD中，∠CAD=30°，
∴，
∴CD=(米)，
故办公楼的高度约为10.4米．
【点睛】本题考查了解直角三角形-仰角俯角问题，锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
19. 在⊙O中，弦AB⊥AC，且AB=AC=6．D是⊙O上一点（不在上），连接AD、BD、CD．
（1）如图①，若AD经过圆心O，求BD、CD的长；
（2）如图②，若∠BAD=2∠DAC，连接BC、OD，且BC是直径，求BD、CD的长．
【答案】（1）BD＝6，CD＝6
（2），BD＝
【解析】
【分析】（1）由AD经过圆心O，利用圆周角定理得∠ACD=∠ABD=90°，又因为AB⊥AC，得到四边形ABCD为矩形，易得结果；
（2）由∠BAD=2∠DAC，AB⊥AC，由圆周角定理得BC为直径，易得∠CAD=30°，∠BAD=60°，证明△COD为等边三角形，求得CD，BD．
【小问1详解】
解：AD是⊙O的直径，
∴∠C=∠B=90°，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∴四边形ABDC是矩形，
∵AB=AC=6，
∴BD=AC=6，CD=AB=6；
【小问2详解】
∵∠BAC=90°，∠BAD=2∠DAC，
∴∠BAD=60°，∠DAC=30°，
∴∠COD=2∠CAD=60°，
∵OC＝OD，
∴△COD是等边三角形，
∴CD=OC，
在Rt△ABC中，，
∴，
在Rt△BCD中，．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、勾股定理、等边三角形的判定和性质、矩形的判定和性质等知识，熟练掌握相关定理是解答此题的关键．
20. 如图，在中，在上，，．

（1）求证：∽；
（2）若，求的值．
【答案】（1）见详解；（2）
【解析】
【分析】（1）由题意易得，然后问题可求证；
（2）由（1）及题意易得，然后根据相似三角形的面积比与相似比的关系可得，然后问题可求解．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴；
（2）解：由（1）可知，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
21. 某商品的进价为每件40元，在销售过程中发现，每周的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，且当售价定为50元1件时，每周销售30件．当售价定为70元/件时，每周销售10件．
（1）直接写出y关于x的函数解析式；
（2）求销售该商品每周的利润W（元）与销售单价x（元）之间的函数解析式，并求出销售该商品每周可获得的最大利润；
（3）若该商品每周获取的利润为375元，求该商品的售价．
【答案】（1）；
（2），销售该商品每周获得的最大利润为400元；
（3）该商品的售价为55元或65元．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；
（2）由销售该商品每周的利润Ｗ=销售单价×销售量，可求函数解析式，由二次函数的性质可求解；
（3）令（2）中所求W=375，解一元二次方程即可．
【小问1详解】
设每周的销售量与销售单价之间的关系为一次函数，
由题意可得，
，
y关于x的函数解析式为；
【小问2详解】
，
∴当时，W有最大值为400，
因此，销售该商品每周获得的最大利润为400元；
【小问3详解】
由题意得：，
解得，，
∴该商品的售价为55元或65元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法可求解析式，解答本题的关键是明确题意，利用函数和方程的思想解答．
22. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC=90°，AD=CD，过A作⊙O的切线交CD的延长线于点P．
（1）求∠P的度数；
（2）若AB=6，BC=8，求PA、PD的长．
【答案】（1）45° （2）PA＝10，PD＝
【解析】
【分析】（1）连接AC，利用圆周角定理得到AC为⊙O的直径，则∠ADC=90°，再证明∠ACD=∠CAD=45°，接着根据切线的性质得到∠PAC=90°，从而得到∠P=45°；
（2）先利用勾股定理计算出AC=10，则利用∠P=∠ACP=45°得到AP=10，然后利用△APD为等腰直角三角形得到PD的长度．
【小问1详解】
解：连接AC，如图，
∵∠ABC=90°，
∴AC为⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∵AD=CD，
∴∠ACD=∠CAD=45°，
∵PA为⊙O的切线，
∴CA⊥PA，
∴∠PAC=90°，
∴∠P=90°-∠ACD=45°；
【小问2详解】
解：在Rt△ABC中，，
∵∠P=∠ACP=45°，
∴AP=AC=10，
∵∠ADC=90°，
∴△APD为等腰直角三角形，
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关定理是解题的关键．
23. 已知抛物线经过点，交x轴于点A和点B（点A在点B的左侧），抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E，连接．
（1）直接写出a的值，点A的坐标；
（2）若点M是抛物线对称轴上的点，当是等腰三角形时，求点M的坐标；
（3）点P是抛物线上的动点，连接，将沿所在的直线对折，点P落在坐标平面内的点处．直接写出点恰好落在直线上时点P的横坐标．
【答案】（1）
（2）或或或
（3）或．
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数应用、等腰三角形、全等三角形等几何图形等知识点，熟练运用数形结合利用几何关系寻找等量关系是解题的关键．
（1）将点C坐标代入抛物线解析式即可解答；
（2）分三种情况：当时，然后利用等腰三角形的性质即可解答；
（3）先判断出得出，进而得出，确定出点，将点的坐标代入直线的解析式中和点P代入抛物线解析式中，联立方程组求解即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线过点，
∴，．
【小问2详解】
解：∵
∴抛物线的解析式为，
∴抛物线的对称轴为直线；
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵是等腰三角形，
∴①当时，
∴，
∴，
∴；
②当时，
∴，
∴，
∴；
③当时，
∴，
∴，即满足条件的点M的坐标为或或或．
【小问3详解】
解：抛物线的解析式为，
∴，
令，则，
∴或，
∴点，
∴直线的解析式为，
如图1：过点P作轴于Q，过点作于，
∴，
由（2）知，，
由折叠知，，
∴，
∴，
设点，
∴，
∴，
∴点，
∵点在直线上，
∴①，
∵点P在抛物线上，
∴②，
联立①②解得：或，即点P的横坐标为或．