西藏自治区初中校联考2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份西藏自治区初中校联考2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共23页。试卷主要包含了 下列事件中，必然发生的事件是， 一元二次方程的解是， 抛物线y=等内容，欢迎下载使用。
1. 下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形是（ ）
A. 科克曲线B. 笛卡尔心形线C. 阿基米德螺旋线D. 赵爽弦图
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A、科克曲线既轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、笛卡尔心形线是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、阿基米德螺旋线不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、赵爽弦图不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2. 下列事件中，必然发生的事件是（ ）
A. 随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数B. 13人中有两个人的生肖相同
C. 任意投掷一枚骰子，上面的点数是6D. 经过任意三点能画一个圆
【答案】B
【解析】
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点判断即可．
【详解】解：A．随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数，这是随机事件，故A不符合题意；您看到的资料都源自我们平台，家威杏 MXSJ663 免费下载B．13人中有两个人的生肖相同，这是必然事件，故B符合题意；
C．任意投掷一枚骰子，上面的点数是6，这是随机事件，故C不符合题意；
D．经过任意三点能画一个圆，这是随机事件，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
3. 一元二次方程的解是（ ）
A. B.
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的知识点是解一元二次方程，解题关键是熟练掌握提公因式法．
先进行移项，再提取公因式，即可求出一元二次方程的解．
【详解】解：，
，
，
，，
，，
故选：
4. 抛物线y=（x+2）2﹣2的顶点坐标是（ ）
A. （2，﹣2）B. （2，2）C. （﹣2，2）D. （﹣2，﹣2）
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的顶点式方程可以直接写出其顶点坐标．
【详解】∵抛物线为y=（x+2）2﹣2，
∴顶点坐标为（﹣2，﹣2）．
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数的顶点坐标的求法，掌握二次函数的顶点式y=a（x﹣h）2+k是解题的关键．
5. 若函数y＝的图象在第一、三象限内，则m的取值范围是（ ）
A. m＞﹣3B. m＜﹣3C. m＞3D. m＜3
【答案】C
【解析】
【分析】根据反比例函数的性质得m﹣3＞0，然后解不等式即可．
【详解】解：根据题意得m﹣3＞0，
解得m＞3．
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是反比例函数的性质，当k＞0时，图像在第一、三象限内，根据这个性质即可解出答案.
6. 已知的半径为3，点O到直线m的距离为d，若直线m与⊙O公共点的个数为2个，则d可取（ ）
A. 2B. 3C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，掌握直线和圆的位置关系判断方法：设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和相交②直线l和相切，③直线l和相离．
【详解】解：∵直线m与公共点的个数为2个，
∴直线与圆相交，
∴半径3，
故选：A．
7. 如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠OAC=32°，则∠B的度数是（ ）
A. 58°B. 60°C. 64°D. 68°
【答案】A
【解析】
【分析】根据，根据等边对等角得到根据是直径，得到根据直角三角形的性质即可求得的度数.
【详解】 均为半径，
，
是直径，

在中，
故选A.
【点睛】本题考查圆周角的性质及等腰三角形的性质，掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键.
8. 电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，自上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房收入约亿元，第三天票房收入约达到亿元，设票房收入每天平均增长率为，下面所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】第一天为2亿元，根据增长率为x得出第二天为2（1+x）亿元，第三天为2（1+x）2亿元，根据“第三天票房收入约达到4亿元”，即可得出关于x的一元二次方程．
【详解】设平均每天票房的增长率为，
根据题意得：．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9. 在利用正六面体骰子进行频率估计概率的试验中，小颖同学统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（ ）
A. 朝上的点数是5的概率
B. 朝上的点数是奇数的概率
C. 朝上的点数大于2的概率
D. 朝上的点数是3的倍数的概率
【答案】D
【解析】
【分析】计算出各个选项中事件的概率，根据概率即可作出判断．
【详解】A、朝上的点数是5的概率为，不符合试验的结果；
B、朝上的点数是奇数的概率为，不符合试验的结果；
C、朝上的点数大于2的概率，不符合试验的结果；
D、朝上的点数是3的倍数的概率是，基本符合试验的结果．
故选：D．
【点睛】本题考查了频率估计概率，当试验的次数较多时，频率稳定在某一固定值附近，这个固定值即为概率．
10. 如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转度得到，当点的对应点恰好落在边上时，则的长为（ ）
A. 1.6B. 1.8C. 2D. 2.6
【答案】A
【解析】
【分析】由将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上，可得AD=AB，又由∠B=60°，可证得△ABD是等边三角形，继而可得BD=AB=2，则可求得答案．
【详解】由旋转的性质可知，，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】此题考查旋转的性质，解题关键在于利用旋转的性质得出AD=AB
11. 如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB//x轴，点C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】过点A作AE⊥y轴于点E，利用反比例函数系数k的几何意义，分别得到四边形AEOD的面积为4，四边形BEOC的面积为12，即可得到矩形ABCD的面积．
【详解】过点A作AE⊥y轴于点E，
∵点A在双曲线上，
∴四边形AEOD的面积为4，
∵点B在双曲线上，且AB//x轴，
∴四边形BEOC的面积为12，
∴矩形ABCD的面积为12-4=8，
故选：C．
【点睛】此题考查了反比例函数系数k的几何意义，熟记k的几何意义并灵活运用其解题是关键．
12. 如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，抛物线与x轴的一个交点在和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是（ ）

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】根据图象开口向下，对称轴直线可得抛物线与x轴另一交点坐标在
之间，从而判断①；由对称轴为直线可得b与a的关系，将代入函数解析式根据图象可判断②；由有两个相等实数根可得，从而判断③．由函数最大值为可判断④．
【详解】解：∵抛物线顶点坐标为，
∴抛物线对称轴为直线，
∵图象与x轴的一个交点在和之间，
∴图象与x轴另一交点在之间，
∴时，，
即，
故①正确，符合题意．
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，
∴时，，
故②正确，符合题意．
∵抛物线顶点坐标为，
∴有两个相等实数根，
∴，
∴，
故③正确，符合题意．
∵的最大函数值为，
∴没有实数根，
故④正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
二．填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均不得分.
13. 在平面直角坐标系中，将点绕坐标原点顺时针旋转后得点，则点的坐标为_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据关于原点对称的点坐标的性质解答．
【详解】解：将点绕坐标原点顺时针旋转后得点，得到点A与点B关于原点对称，
∴点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】此题考查关于原点对称的点坐标的性质：关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，熟练掌握性质是解题的关键．
14. 如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，把游戏板平放到露天地面上，请问落在该游戏板上的第一滴雨点正好打中阴影部分的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
【详解】解：∵总面积为3×3＝9，其中阴影部分面积为9−2××2×2−2××1×1＝4，
∴飞镖落在阴影部分的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
15. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后抛物线解析式是 ________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可，熟练掌握平移的规律是解题的关键．
【详解】解：将抛物线向左平移2个单位长度，
得到抛物线的解析式为：，即，
再向下平移3个单位长度，
得到抛物线解析式为：，即 ，
故答案为：．
16. 小红要用纸板制作一个母线长为，底面圆半径是的圆锥形小漏斗，若不计损耗，则所需纸板的面积是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了圆锥的侧面积计算，熟记公式是解题关键．根据圆锥的圆锥的侧面积底面周长母线长进行计算即可．
【详解】解：圆锥形小漏斗的侧面积．
故答案为：．
17. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是____________________．
【答案】且
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义、一元二次方程的根的判别式的知识，理解并掌握一元二次方程的根的判别式是解题关键．只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程；一元二次方程的根的判别式为，与根的关系为：，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根．根据一元二次方程的定义可得，根据方程有实数根，则有，建立关于的不等式，求出的取值范围即可．
【详解】解：根据一元二次方程的定义，可得，
解得，
∵方程有实数根，
∴，
解得，
∴的取值范围是且．
故答案为：且．
18. 如图，直线与x轴相交于点B，点A是直线上一点，过点A，B分别作x轴、y轴的平行线交于点C，点C恰在反比例函数的图象上，若点A的横坐标为点B横坐标的一半，则k的值为 _______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象与一次函数图象上点的坐标特征，设点C的坐标导出点A、B坐标并将其代入直线解析式即可得出答案，熟练掌握坐标与函数解析式的关系是解题的关键．
【详解】解：设点C的坐标为，则点
点A的横坐标为点B横坐标的一半，则
，在直线的图象上
解得
故答案为：．
三、解答题：本大题共9小题，共66分，解答应写出详细的说明、证明过程或演算步骤.
19. 解方程：x2+10x+9＝0．
【答案】x1＝﹣1，x2＝﹣9
【解析】
【分析】利用因式分解法进行解答即可.
【详解】解：方程分解得：（x+1）（x+9）＝0，
可得x+1＝0或x+9＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣9．
【点睛】本题考查了一元二次方程的因式分解法，正确的因式分解是解答本题的关键.
20. 已知：在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为、B、（正方形网格中每个小正方形的边长是1个单位长度）．
（1）是绕点__逆时针旋转__度得到的，的坐标是__；
（2）求出线段旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）．

【答案】（1）C；90；；（2）．
【解析】
【分析】（1）利用旋转的性质得出与的关系，进而得出答案；
（2）利用扇形面积求法得出答案．
【详解】解：（1）是绕点C逆时针旋转90度得到的，
的坐标是：，
故答案为：C，90，；
（2）线段旋转过程中所扫过的面积为以点C为圆心，为半径的扇形的面积．
∵，
∴面积为：，
即线段AC旋转过程中所扫过的面积为．
【点睛】此题主要考查了扇形面积求法以及旋转变换，正确得出旋转角是解题关键．
21. 丁字尺是一种作图工具，如图（1）所示为丁字尺，可以看作两把互相垂直的直尺组成，并且部分平分部分．现在将丁字尺放在一个圆形工件上（圆心为，如图（2）所示，使得，，分别落在上，这样圆心就会落在上，已知，请求出该圆形工件的半径．
【答案】该圆形工件的半径为．
【解析】
【分析】此题考查了垂径定理的应用．根据线段垂直平分线段，得出，连接，则，再设的半径为，可得，然后解方程即可．
【详解】解：圆心落在上，平分，
线段垂直平分线段，
、、三点所在圆的圆心在上，
，
连接，则，
设的半径为，
，
，
，
解得：，
该圆形工件的半径为．
22. 已知：如图，点是正比例函数与反比例函数的图象在第一象限的交点，轴，垂足为点，的面积是2.
（1）求的值以及这两个函数的解析式；
（2）若点在轴上，且是以为腰的等腰三角形，求点的坐标.
【答案】（1），反比例函数的解析式为，正比例函数的解析式为.（2）点的坐标为，，.
【解析】
【分析】（1）根据三角形的面积公式即可求m的值，即可得点A的坐标，将其代入两个函数的解析式可求出的值，从而可得两个函数的解析式；
（2）先用勾股定理求出OA的长，然后根据题意，可以分OP为腰和OP为底两种情况分析：当OP为腰时，利用即可得；当OP为底时，利用等腰三角形三线合一的性质得，点B为OP的中点即可得.
【详解】（1）由题意知，
∵的面积是2，
即，
解得，
点A的坐标为，
代入正比例函数可得，则
正比例函数的解析式为，
将点A的坐标代入反比例函数得，则，
反比例函数的解析式为；
（2）∵是以为腰的等腰三角形，
∴或.
①当时，∵点的坐标为，
∴，
∴，
∴点坐标为或；
②当时，
则（等腰三角形三线合一的性质）
∴点的坐标为.
综上所述：点的坐标为，，.
【点睛】本题考查了三角形的面积公式、已知函数图象上某点坐标求函数解析式、等腰三角形的定义和性质、勾股定理，此题是一道较为简单的综合题.
23. 2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校以中国传统节日端午节为契机，组织全体学生参加包粽子劳动体验活动，随机调查了部分学生，对他们每个人平均包一个粽子的时长进行统计，并根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表．
根据图表信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生总人数为 ，表中x的值为 ；
（2）该校共有名学生，请你估计等级为B的学生人数；
（3）本次调查中，等级为A的4人中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人进行活动感想交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
【答案】（1）人，；
（2）人；
（3）．
【解析】
【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，用列表法或画树状图法不重复不遗漏的列出所有可能的结果是解题的关键．
（1）用D等级人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后用4除以总人数得到x的值；
（2）用乘以B等级人数所占的百分比即可；
（3）列表法展示所有12种等可能的结果，找出一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式求解．
【小问1详解】
解：∵D组人数为 8 人，所占百分比为，
∴总人数为人，
∴．
【小问2详解】
解：等级为B的学生所占的百分比为，
∴等级为B的学生人数为人．
【小问3详解】
解：记两名男生为a，b，记两名女生为c，d，列出表格如下：
∴一共有12种情况，其中恰有一男一女的有8种，
∴恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
24. 直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，则每件小商品应降价多少元？
【答案】每件小商品降价10元
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设每件小商品降价x元，依据按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件列出等式解答即可．
【详解】解：设每件小商品降价x元，由题意列得：
，
解得：，（舍去），
答：每件小商品降价10元．
25. 为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形绿化带，绿化带一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围住（如图）．若设绿化带的边长为，绿化带的面积为．
（1）求与之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（2）当为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？
【答案】（1），
（2）当时，有最大值为平方米
【解析】
【分析】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式以及二次函数的性质，注意在求自变量的取值范围时，要根据函数中自变量所表示的实际意义来确定．
（）依题意易求得与的函数关系式以及的取值范围；
（）把（）的函数关系式用配方法化简求得的最大值即可．
【小问1详解】
解：由题意得：，
自变量的取值范围是；
【小问2详解】
解：
，
当时，随着的增大而增大，
∵，，
∴当时，有最大值为平方米，
即当时，满足条件的绿化带面积最大．
26. 如图，在中，，是边上一点，以为圆心，为半径的圆与相交于点，连接，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径长．
【答案】（1）详见解析
（2）
【解析】
【分析】此题考查的是切线的判定与性质、直角三角形的性质、圆周角定理
（1）连接．由等腰三角形的性质及圆的性质可得，．再根据余角性质及三角形的内角和定理可得．最后由切线的判定定理可得结论；
（2）根据已知条件得到，求得，根据切线的性质得到，求得，根据勾股定理即可得到结论．
【小问1详解】
证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
又是的半径，
是的切线；
【小问2详解】
解：，，，
，，
，
，
是的切线，
，
，
在中，由勾股定理得：
，
即，
，
的半径长为．
27. 如图，二次函数的图象与x轴交于O（O为坐标原点），A两点，且二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，y轴上一点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点C是抛物线上的一点且横坐标为3，当的值最小时，求点M的坐标；
（3）二次函数在第四象限的图象上有一点P，连结，求的最大面积；
（4）在二次函数图象上是否存在点N，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）或或
【解析】
【分析】（1）根据题意设二次函数解析式为，将点代入即可求函数的解析式；
（2）点A关于对称轴的对称点为点O，连接，与对称轴的交点即为所求的点M，使得的值最小，求出直线与对称轴的交点即为M点；
（3）设，过点P作x轴的垂线交于点Q，则点Q的坐标为，可得，当时，有最大值，此时的最大值为；
（4）设N点坐标为，根据平行四边形对角线的性质，分三种情况讨论，利用中点坐标公式建立方程求n的值即可求N点坐标．
【小问1详解】
解：∵二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，
∴二次函数顶点为，
设二次函数解析式为，
将点代入得，，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：由题意知点C坐标为，
点A关于对称轴的对称点为点O，连接，与对称轴的交点即为所求的点M，使得的值最小，
设直线的解析式为，
将点代入得：，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴点M的坐标为；
【小问3详解】
解：设，过点P作x轴的垂线交于点Q，则点Q的横坐标为a，
令抛物线解析式的，得到，
解得，
∴A的坐标为，
设直线的解析式为，
将，代入，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为：，
∴点Q的坐标为，
∴，
∴当时，有最大值，
∴面积的最大值为；
【小问4详解】
解：存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
设N点坐标为，
当为对角线时，由中点坐标公式得：，
∴，
∴，
当为对角线时，由中点坐标公式得： ，
∴，
∴，
当为对角线时，由中点坐标公式得：，
∴，
∴，
综上所述：或或．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查二次函数图象及性质，平行四边形的存在性问题，轴对称求最短距离等知识点，熟练运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键．等级
实践t（单位：分钟）
人数
所占百分比
A
4
x
B
20
C
D
第一人
第二人