河南省漯河市舞阳县2023-2024学年九年级上学期期末考试数学试题

这是一份河南省漯河市舞阳县2023-2024学年九年级上学期期末考试数学试题，共20页。
1．本试卷共8页，三大题，满分120分，考试时间100分钟．闭卷考试，请将答案直接写在试卷或答题卡上．
2．答卷前请将密封线内的项目填写清楚；使用答题卡时，请认真阅读答题须知，并按要求去做．
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填入题后括号内．
1. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的识别，根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，如果一个图形绕某一点旋转 后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【详解】解：A、赵爽弦图是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
B、笛卡尔心形线是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、斐波那契螺旋线不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意；
D、科克曲线既轴对称图形又是中心对称图形，符合题意
故选：D．
2. 下列事件是随机事件的是（ ）
A. 任意画一个三角形，该三角形的内角和为
B. 从分别写有2，4，6的三张卡片中随机抽出一张，卡片上的数字能被2整除
C. 在纸上画两条直线，这两条直线平行
D. 从装有4个红球和2个黄球的袋中，随机抽取一个是白球
【答案】C
【解析】
【分析】根据随机事件概念进行判断即可；
【详解】解：A． 任意画一个三角形，该三角形的内角和为，是必然事件，故不符合题意；
B． 从分别写有2，4，6的三张卡片中随机抽出一张，卡片上的数字能被2整除，是必然事件，故不符合题意；
C． 在纸上画两条直线，这两条直线平行，是随机事件，故符合题意；
D． 从装有4个红球和2个黄球的袋中，随机抽取一个是白球，是不可能事件，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查随机事件的判断，掌握随机事件的概念是解题的关键．
3. 下列各点中，在函数y=-图象上的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】把各点代入解析式即可判断．
【详解】解：A．∵(-2)×(-4)＝8≠-6，
∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；
B．∵2×3＝6≠-6，
∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；
C．∵(-1)×6＝-6，
∴此点在反比例函数的图象上，故本选项正确；
D．∵×3＝-≠-6，
∴此点不在反比例函数图象上，故本选项错误．
故选C．
【点睛】此题主要考查反比例函数的图像，解题的关键是将各点代入解析式．
4. 如图，在平面直角坐标系中，点B、C、E在y轴上，Rt△ABC 经过变换得到Rt△ODE，若点C的坐标为(0，1)，AC=2，则这种变换可以是（ ）
A. △ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3
B. △ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1
C. △ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1
D. △ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移3
【答案】A
【解析】
【详解】根据图形可以看出，△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位可以得到△ODE．
故选A．
【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，坐标与图形变化-平移．掌握旋转和平移的性质是解题关键．
5. 抛物线与轴只有一个公共点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】抛物线与轴有一个交点，的方程就有两个相等的实数根，根的判别式就等于0．
【详解】解：抛物线与轴只有一个公共点，
方程有两个相等的实数根，
△，
．
故选：B．
【点睛】本题考查的是抛物线与轴的交点，熟知二次函数，，是常数，的交点与一元二次方程根之间的关系是解题的关键．
6. 如图所示，随机闭合开关中的两个，则能让两盏灯泡同时发光的概率为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】画树状图找出随机闭合开关中的两个的情况数以及能让两盏灯泡同时发光的情况数，即可求出所求概率．
【详解】解：画树状图，如图所示：

一共有6种等可能的情况，其中能让两盏灯泡同时发光的情况有2种，
则P（能让两盏灯泡同时发光）．
故选：C．
【点睛】此题考查了列表法与树状图法，弄清题中的电路图是解本题的关键．
7. 如图，反比例函数的图象经过点A（﹣1，﹣2）．则当x＞1时，函数值y的取值范围是（ ）
A. y＞1B. 0＜y＜lC. y＞2D. 0＜y＜2
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】试题分析：已知反比例函数的图象经过点A（﹣1，﹣2），可求得，
把x=1代入可得y=2，
结合反比例函数的图象即可得当x＞1时，
函数值y的取值范围是0＜y＜2．
故选D.
考点：反比例函数的图象；反比例函数图象上点的坐标特征．
8. 如图，在平面直角坐标系中，，，，则外接圆的圆心坐标是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】作和的垂直平分线，它们的交点为的外接圆的圆心，然后直接读出的外接圆的圆心坐标．
【详解】解：如图所示：点P即为所求；

所以点P的坐标为．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，掌握三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点是解答本题的关键．
9. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转一个角度得到，若点恰好落在边上，且，则的大小是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识．设，则，根据，得，则，用的代数式表示出的度数，根据，列出方程即可解决．
【详解】解：如图，将绕点按逆时针方向旋转得到，
，，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
解得，
，
故选：C．
10. 定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．如图，和 组成圆的折弦，，是的中点，于，则下列结论一定成立的是 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，在上截取，证明，推出，利用等腰三角形“三线合一”可证，等量代换可得．
【详解】解：如图，在上截取，连接，，，，
是的中点，
，
，
和都是所对的圆周角，
，
在和中，
，
，
，
又，
，
，
故C选项正确，
现有条件不能证明选项A，B，D中的结论一定成立，
故选C．
二、填空题（每小题3分，功15分）
11. 将抛物线y=（x-3）2+1先向上平移2个单位，再向左平移1个单位后，得到的抛物线解析式为__________________
【答案】y=（x-2）2+3．
【解析】
【分析】根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式．
【详解】解：抛物线y=（x-3）2+1先向上平移2个单位，再向左平移1个单位后，得到的抛物线解析式为y=（x-3+1）2+1+2=（x-2）2+3，
即：y=（x-2）2+3．
故答案为：y=（x-2）2+3．
【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换．
12. 在一个不透明的口袋中装有红球和白球共8个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有75次摸到红球，则口袋中红球的个数约为___________．
【答案】6
【解析】
【分析】用球的总个数乘以摸到红球的频率即可．
【详解】解：估计这个口袋中红球的数量为8×=6（个）．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
13. 圆锥的底面半径，高，则圆锥的侧面积是______．
【答案】
【解析】
【分析】设圆锥的母线长为l，然后根据勾股定理可得l的值，进而根据圆锥侧面积公式可进行求解．
【详解】解：设圆锥的母线长为l，由题意得：，
∴圆锥的侧面积为；
故答案为．
【点睛】本题主要考查圆锥侧面积公式，熟练掌握圆锥侧面积公式是解题的关键．
14. 如图的圆心A的坐标是，在直角坐标系中，半径为2，P为直线上的动点过P作的切线，切点为Q，则切线长的最小值是_____．
【答案】
【解析】
【分析】连接，，当最小时，最小，当垂直于直线时，最小，根据等腰直角三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：如图，过A作直线垂线，垂足为P，作切线，切点为Q，
∵为定值，
当斜边取最小值时，最小，此时切线长最小，
∵A坐标为，
设直线与x轴，y轴分别交于B，C，
∴B，C，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故答案为；．
【点睛】本题主要考查切线的性质，掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键，用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
15. 如图1是一款带毛刷的圆形扫地机器人，它的俯视图如图所示，的直径为，毛刷的一端为固定点，另一端为点，，毛刷绕着点旋转形成的圆弧交于点，，且，，三点在同一直线上．毛刷在旋转过程中，与交于点，则的最大长度为_________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理的推论，先根据题意得出点是的中点，再根据垂径定理的推论得出，结合已知条件求得，进而得出的长，即可求解．
【详解】解：如图，连接，，，，
，
三点在同一直线上，
经过点，
由题意得为半圆的直径，，，
，
在中，
∴
当共线时，取的最大值，
∴的最大长度为
故答案为：．
三、解答题（共8小题，满分75分）
16. 解方程
（1）
（2）
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）将方程整理后，用公式法求解即可；
（2）将方程整理后，用直接开平方法求解即可．
【小问1详解】
解：
∴，
【小问2详解】
解：
∴
解得：
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
17. 关于x的方程有两个相等的实数根．
（1）求k的值；
（2）从，中任选一个数记作a，求使二次函数的图象开口方向向上的概率．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数有两个相等的实数根可得，进而即可求k值；
（2）根据（1）中k值求出所有a的可能进而即可求概率；
【小问1详解】
解：∵有两个相等的实数根，
∴，
∴或．
【小问2详解】
由（1）可知或，
∵，
∴，对应的所有值为，
∴二次函数的图象开口方向向上的概率为：．
【点睛】本题主要考查二次函数的根的判别、简单概率求解，掌握相关知识是解题的关键．
18. 如图是反比例函数的图象的一支，根据图象回答问题：
（1）图象的另一支位于哪个象限？常数的取值范围是什么？
（2）若点均在反比例函数的图象上，若，比较的大小关系．
【答案】（1）图象的另一支位于第四象限，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据反比例函数图象的对称性可得图象的另一支位于第四象限，根据反比例函数图象所在的象限可得，即可求解；
（2）根据反比例函数图象可知在第四象限内，随的增大而增大，即可得出的大小关系．
【小问1详解】
解：∵反比例函数的图象一支在第二象限，
∴图象的另一支位于第四象限，
∴，
解得：；
【小问2详解】
解：∵
∴时，随的增大而增大，
∵点均在反比例函数的图象上，
∴．
【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握反比例数图象的性质是解题的关键．
19. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能，人工智能机器人，语音类人工智能，视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．

A．决策类人工智能 B．人工智能机器人 C．语音类人工智能 D．视觉类人工智能
（1）随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为______；
（2）从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或树状图的方法求抽取到的两张卡片内容一致的概率．
【答案】（1）
（2）抽取到的两张卡片内容一致的概率为．
【解析】
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意画出树状图得出所有等可能结果，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【小问1详解】
解：∵共有4张卡片，
∴从中随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为；
故答案为：；
【小问2详解】
解：根据题意画图如下：

共有16种等可能的结果数，其中抽取到的两张卡片内容一致的结果数为4，
所以抽取到的两张卡片内容一致的概率为．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20. 校运动会上，初一的同学们进行了投实心球比赛．我们发现，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作是抛物线．如图（2）建立平面直角坐标系，已知实心球运动的高度与水平距离之间的函数关系是，求该同学此次投掷实心球最大高度和成绩分别是多少米？
【答案】最大高度为米；成绩是米
【解析】
【分析】运用顶点公式求出最大高度，根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y=0，解方程即可．
【详解】解：根据形如的二次函数顶点公式，可得的顶点为，所以该同学此次投掷实心球最大高度为米；
令，得，解得：或，所以该同学此次投掷实心球成绩是米．
【点睛】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，关键是理解题意把函数问题转化为方程问题．
21. 在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为．
（1）画出绕点O逆时针旋转后得到，写出点的坐标；
（2）在（1）的条件下，求点A旋转到点所扫过的面积．
【答案】（1）图形见解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质得到点A，B，O的对应点，即可求解；
（2）利用扇形面积公式计算，即可求解．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
点的坐标为；
【小问2详解】
解：根据题意得：，，
所以点A旋转到点所扫过的面积为．
【点睛】本题主要考查了旋转变换，求扇形面积，熟练掌握旋转变换的性质，扇形面积公式是解题的关键．
22. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点C，与x轴交于点D．

（1）求k，b的值；
（2）观察函数图象，直接写出不等式的解集；
（3）连接OA，OB，求的面积．
【答案】（1），
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）将代入得，将代入即可求解；
（2）根据图象中一次函数与反比例函数的交点即可求解；
（3）由即可求解；
【小问1详解】
解：将代入得，
∴，
∴，
将代入得，
∴，
∴．
【小问2详解】
将，分别代入得，
∴，
∴，
由图象可知当时，x的取值范围为或，
【小问3详解】
令，则，解得：；
∴．
【点睛】本题主要考查一次函数和反比例函数的综合应用，正确求出表达式是解题的关键．
23. 如图，在中，，以直角边BC为直径的交斜边AB于点D，E为边AC的中点，连接DE并延长，交BC的延长线于点F．
（1）求证：直线DE是的切线；
（2）若，，求阴影部分的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】
【分析】（1）分别连结OD，CD，可证得 △ACD 是直角三角形，根据点 E 是斜边 AC 的中点，得到 ∠ECD=∠EDC ，由∠ECD+∠OCD=∠ACB=90°得∠EDC+∠ODC=∠ODE=90° ，从而证得直线 DE与 ⊙O 的切线；
（2）由（1）已证∠ODF=90°，根据∠B=30°，可得∠DOF=60°，得到∠F=30°，在 RtΔABC 中，可求得BC长，从而得到OD长，在 RtΔODF 中，可求得DF长，所以阴影部分面积=△ODF的面积-扇形OCD的面积 .
【详解】（1）证明：连接OD，CD．
∵，∴．
又∵BC是的直径，
∴，
∴是直角三角形．
又∵E是AC的中点，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴直线DE是的切线．
（2）由（1）可知．
∵，
∴，
∴．
在中，，，
∴，
∴，
∴．
在中，，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为．
【点睛】本题考查了扇形的面积的计算，切线的判定与性质，圆周角定理，直角三角形的性质及解直角三角形等知识. 正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.