吉林省长春市九台区第二十二中学2023-2024学年九年级第一学期阶段性教学质量监测数学试题

这是一份吉林省长春市九台区第二十二中学2023-2024学年九年级第一学期阶段性教学质量监测数学试题，共21页。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内．
2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效．
一、选择题（本大题共8道题，每题3分，共24分）
1. 方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A. 1，−2，8B. −1，2，8C. 1，2，−8D. 1，2，8
【答案】C
【解析】
【分析】一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中 叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【详解】解：化成一元二次方程一般形式是，
它的二次项系数是1，一次项系数是2，常数项是−8．
故选C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，确定二次项系数、一次项系数和常数项，把方程化成一般形式是解题的关键．
2. 下列各式中是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将各项的二次根式化简，即可得出答案．
【详解】因为，所以A不符合题意；
因为，所以B不符合题意；
因为，所以C不符合题意；
因为不能化简，是最简二次根式，所以D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了最简二次根式的判断，掌握最简二次根式的定义是解题的关键．即被开方数中不含开方开的尽的数或因式是最简二次根式．
3. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】方程两边同时加上一次项系数一半的平方即计算即可．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键．
4. 下列四条线段中，不能成比例的是（ ）
A. ，，，B. ，，，
C. ，，，D. ，，，
【答案】C
【解析】
【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．
【详解】解：A、，能成比例，故此选项不符合题意；
B、，能成比例，故此选项不符合题意；
C、，不能成比例，故此选项不符合题意；
D、，能成比例，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．
5. 已知实数在数轴上的对应点位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据数轴上a点的位置，判断出（a−1）和（a−2）的符号，再根据非负数的性质进行化简．
详解】解：由图知：1＜a＜2，
∴a−1＞0，a−2＜0，
原式＝a−1-＝a−1＋（a−2）＝2a−3．
故选D．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a−1＞0，a−2＜0是解题关键．
6. 泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度。金字塔的影长，推算出金字塔的高度。这种测量原理，就是我们所学的（ ）

A. 图形的平移B. 图形的旋转C. 图形的轴对称D. 图形的相似
【答案】D
【解析】
【分析】根据在同一时刻的太阳光下物体的影长和物体的实际高度成比例即可判断；
【详解】根据题意画出如下图形：可以得到，则
即为金字塔的高度，即为标杆的高度，通过测量影长即可求出金字塔的高度

故选：D.
【点睛】本题主要考查将实际问题数学化，根据实际情况画出图形即可求解.
7. 如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：，点A的坐标为(1，0)，则E点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可得OA：OD=1：，又由点A的坐标为（1，0），即可求得OD的长，又由正方形的性质，即可求得E点的坐标．
【详解】解：∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：，
∴OA：OD=1：，
∵点A的坐标为（1，0），
即OA=1，
∴OD=，
∵四边形ODEF是正方形，
∴DE=OD=．
∴E点的坐标为：（，）．
故选：C．
【点睛】此题考查了位似变换的性质与正方形的性质．此题比较简单，注意理解位似变换与相似比的定义是解此题的关键．
8. 已知P是反比例函数（）图象上一点，A是y轴正半轴上一点，且，，则点P的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查反比例函数与几何综合应用，相似三角形的判定和性质．过点作轴，轴，证明，推出，设，，
进而得到，求出的值即可．
【详解】解：过点作轴，轴，
则：，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，，
∵P是反比例函数（）图象上一点，
∴，
解得：（负值舍去）；
∴，
∴；
故选B．
二、填空题（本大题共6道题，每题3分，共18分）
9. 若二次根式在实数范围内有意义，则x取值范围是_____．
【答案】##
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件进行求解即可得到答案．
【详解】解：根据题意得：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0，熟练掌握知识点是解题关键．
10. 若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为________．
【答案】4
【解析】
【分析】先将化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义即可进行解答．
【详解】解：，
∵与最简二次根式是同类二次根式，
∴，解得：，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了最简二次根式，同类二次根式，解题的关键是掌握最简二次根式的特征：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．以及同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式．
11. 已知关于x的一元二次方程有一个根为0，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查对一元二次方程的解的理解和掌握，理解一元二次方程的解此题的关键．把代入一元二次方程得到和，求出即可．
【详解】解：把代入一元二次方程，
得：，且，
解得：，
故答案为：．
12. 某玩具商店出售一种“小猪佩奇”玩具，平均每天可销售50个，每个盈利36元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，若每个玩具降价1元，平均每天可多售出5个，商店要想平均每天销售这种玩具盈利2400元，则每个玩具应降价多少元？设每个玩具应降价x元，可列方程为_____．
【答案】（36﹣x）（50+5x）=2400
【解析】
【分析】商店平均每天盈利数=每个玩具的盈利×售出个数；每个玩具的盈利=原来每个的盈利﹣降价数．设每个玩具应降价x元，然后根据前面的关系式即可列出方程．
【详解】解：设每个玩具应降价x元．则此时每天出售的数量为：（50+5x）个，每个的盈利为：（36﹣x）元，
根据题意得（36﹣x）（50+5x）=2400，
故答案为（36﹣x）（50+5x）=2400．
【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系．
13. 如图，在平行四边形中，是的中点，，相交于点，，则________．

【答案】5
【解析】
【分析】由平行四边形的性质得出，由相似三角形的面积比等于其边比平方求出，得出，即可得出结果．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，E为边的中点，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
又∵，
∴，．
∴，
∴；
故答案为：5．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积关系；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．
14. 在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即．已知为2米，则线段的长为______米．
【答案】##
【解析】
【分析】根据点E是AB的黄金分割点，可得，代入数值得出答案．
【详解】∵点E是AB的黄金分割点，
∴．
∵AB=2米，
∴米．
故答案为：（）．
【点睛】本题主要考查了黄金分割的应用，掌握黄金比是解题的关键．
三、解答题（本大题共10道题，共78分）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算．先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．
【详解】解：原式
16. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可求解．
【详解】解：，
，
解得．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
17. 如图，四边形四边形．若，，，，，，求线段的长和的大小．
【答案】27，．
【解析】
【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据四边形内角和得出，根据对应边成比例得出的长．
【详解】解：∵四边形四边形
，
∴，，，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
18. 如图，已知AD•AC＝AB•AE，∠DAE＝∠BAC．求证：△DAB∽△EAC．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定定理即可证明△DAB∽△EAC．
【详解】证明：∵AD•AC＝AB•AE，
∴，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠DAB＝∠EAC，
∴△DAB∽△EAC．
【点睛】本题考查三角形相似的判定定理，正确理解三角形相似的判定定理是本题解题的关键．
19. 截至2017年年末，某市区汽车保有量约为100万辆，预计到2019年年末市区汽车保有量将达到121万辆．设这两年的汽车保有量的年平均增长率均相同．求2017年底至2019年底该市市区汽车保有量的年平均增长率．
【答案】
【解析】
【分析】设2017年底至2019年底该市市区汽车保有量年平均增长率为，根据2019年底该市市区汽车保有量年底该市市区汽车保有量年平均增长率建立方程，解方程即可得．
【详解】解：设2017年底至2019年底该市市区汽车保有量的年平均增长率为，
由题意得：，
解得，（不符合题意，舍去），
答：2017年底至2019年底该市市区汽车保有量的年平均增长率为．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．
20. 图①、图②、图③都是的网格，每个小正方形的顶点称为格点．顶点A、B、C均在格点上．在图①、图②、图③给定网格中按要求作图，并保留作图痕迹．
（1）在图①中画出的边上的中线．
（2）在图②中画出的边上确定一点E，使．
（3）在图③中画出，使得与是位似图形，且点A为位似中心，点M、N分别在、边上，位似比为．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】(1)根据三角形中线的定义，结合网格即可得；
(2)如图②作出线段，根据且，利用相似三角形的判定与性质即可确定点E；
(3)取，连接交于点M，过点M作，交于点N，利用相似三角形的判定与性质，从而得出答案．
【小问1详解】
解：如图：线段即为所求：
，
，
连接即可；
【小问2详解】
解：如图：点E即为所求的点，
，
，
，
即；
【小问3详解】
解：如图：取，连接交于点M，过点M作，交于点N，即为所求，
，
，
，
，
，
，相似比为，
与是位似图形，且点A为位似中心，位似比为，
故即为所求．
【点睛】本题考查了作三角形的中线，利用相似三角形的性质作线段及位似图形，利用相似三角形的性质是解决本题的关键．
21. 关于的一元二次方程．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
（2）若是该方程的两个实数根，且，求的值．
【答案】（1）m的取值范围是m＜0；
（2）m的值是-2．
【解析】
【分析】（1）由一元二次方程的根的情况与判别式的关系可得Δ＞0，由此可解得m的值；
（2）根与系数的关系及已知条件可得关于m的一元二次方程，解得m的值并根据（1）中的所得的m的取值范围作出取舍即可得出答案．
【小问1详解】
解：根据题意得：
Δ= ＞0，
解得：m＜0．
∴m的取值范围是m＜0；
【小问2详解】
解：根据题意得：，，
∵，
∴，
∴，
∴解得：，（不合题意，舍去），
∴m的值是-2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的情况与判别式的关系、及根与系数的关系及解一元二次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题的关键．
22. 【教材呈现】下面是华师版教材九年级上册52页的部分内容：
【问题原型】如图①，在矩形中，点为边的中点，过作交边于点，点、分别在矩形的边、上，连结交于点．
求证：．

【结论应用】如图②，在【问题原型】的基础上，点在边上（不与点Q重合），连结PR交EF于点N．
（1）若＝，则线段的长为________；
（2）当点与点重合，点与点重合时，如图③，若＝，且周长的最小值为，则边的长为________．
【答案】[问题原型]见解析；[结论应用]（1）；（2）
【解析】
【分析】[问题原型]根据平行线分线段成比例即可得证；
[结论应用]（1）根据平行线分线段成比例得出，，进而得到是的中位线，即可求解；
（2）根据（1）的结论得出是是的中位线，当为中点时得出的周长的最小值为，进而勾股定理即可求解．
【详解】[问题原型]证明：∵点为边的中点，
∴，
在矩形中，，
∵，
∴
∴
∴
[结论应用]（1）根据题意可得
∴，
∴，
故答案为：．
（2）解：如图所示，

作点关于的对称点，连接，
∴，
当在上时，取得最小值，
又∵是的中点，
∴是的中位线，
∴是的中点，则
即当顶点是 中点时，三角形的面积取得最小值，
∵根据（1）的结论得出是是的中位线，＝，且周长的最小值为，
∴的周长为，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，中位线的性质与判定，轴对称的性质求线段的最小值，熟练掌握以上知识是解题的关键．
23. 如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米．
（1）花圃的面积为___________平方米（用含a的式子表示）；
（2）如果花所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽；
（3）已知某园林公司修建通道、花圃的造价（元）、（元）与修建面积x（）之间的函数关系如图2所示，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求花圃的面积要超过800平方米，那么通道宽为多少时，修建的通道和花圃的总造价为105920元？
【答案】（1）或者；
（2）通道宽为5米； （3）通道宽为2米．
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用以及一次函数求表达式，解题的关键是表示出花圃的长和宽．
（1）花圃的长为米，宽为米，据此求解即可
（2）根据“花圃所占面积是整个长方形空地面积的，列出关于的一元二次方程，解之即可；
（3）先根据图像利用待定系数法求出和的函数解析式，再由通道和花圃的总造价为105920元列出关于的方程，解之即可得出答案．
【小问1详解】
或者
【小问2详解】
解得：，（不符合题意，舍去）
即通道宽为5米；
【小问3详解】
根据图象可设经过
则有，解得
∴
当时设，经过，，则有
解得：
∴
∵花圃面积为：，
∴通道面积为：
∴
解得，（不符合题意，舍去）．
答：通道宽为2米时，修建的通道和花圃的总造价为105920元．
24. 如图，在中，，，，点为边上点，且．动点从点出发（点不与点、重合），沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时点从点出发，以相同的速度沿折线向终点运动，以、为邻边构造，设点运动的时间为（）秒．
（1）当点与点重合时，的值为______；
（2）当点落在边上时，求的值；
（3）设的面积为（），求与之间的函数关系式；
（4）连接，直接写出与的边平行时的值．
【答案】（1）3 （2）
（3）
（4）或
【解析】
【分析】（1）先由勾股定理求得，因为，所以当点与点重合时；
（2）当点落在边上时，则，所以，根据相似三角形的对应边成比例可列方程，解方程求出的值即可；
（3）分两点情况，一是点在上，作于点，于点，可求得，，即可由求出与之间的函数关系式；二是点在上，可直接由平行四边形的面积公式求出与之间的函数关系式；
（4）分两种情况，一是，可根据平行线分线段成比例定理列方程；二是，根据平行线分线段成比例定理列方程，解方程求出相应的值即可．
【小问1详解】
解：，，，
，
，
当点与点重合时，，
，
故答案为：3．
【小问2详解】
解：四边形是平行四边形，
，
当点落在边上时，如图2，则，
，
，
，，
，
解得．
【小问3详解】
解：当时，如图1，作于点，于点，
，
，
，，
，，
由得，
；
当时，如图3，作于点，则，
，
，
，
，
综上所述，．
【小问4详解】
解：当时，如图4，
，
，
解得；
当时，如图5，
，
，
，
，
解得，
综上所述，或．
【点睛】此题重点考查勾股定理、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线所得的对应线段成比例、动点问题的求解、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题难度较大，属于考试压轴题．
我们可以发现，当两条直线与一组平行线相交时，所截得的线段存在一定的比例关系：．这就是如下的基本事实：
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．（简称“平行线分线段成比例”）