高中数学苏教版 (2019)选择性必修第二册9.1线性回归分析导学案

这是一份高中数学苏教版 (2019)选择性必修第二册9.1线性回归分析导学案，文件包含912线性回归方程原卷版docx、912线性回归方程解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共47页， 欢迎下载使用。

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知识精讲
知识点01 线性回归方程
1.随机误差
具有线性相关关系的两个变量的取值x，y，y的值不能由x完全确定，它们之间是统计相关关系，可将x，y之间的关系表示为y=a＋bx＋ε，其中a＋b是确定性函数， ε称为随机误差.
2.随机误差产生的主要原因：
（1）所用的确定性函数不恰当引起的误差；
（2）忽略了某些因素的影响；
（3）存在观测误差.
3.线性回归模型中a，b值的求法:
y=a+bx+ε称为线性回归模型. a，b的估计值为eq \(a,\s\up6(^)),eq \(b,\s\up6(^)).
b=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2=i=1nxiyi−nxyi=1nxi2−nx2，a=y−bx,其中x=1ni=1nxi,y=1ni=1nyi.
4.回归直线和线性回归方程
直线eq \(y,\s\up6(^)) ＝eq \(b,\s\up6(^)) x＋eq \(a,\s\up6(^))称为回归直线，此直线方程称为线性回归方程，eq \(a,\s\up6(^))称为回归截距，eq \(b,\s\up6(^))称为回归系数，eq \(y,\s\up6(^))称为回归值。此种求回归直线的方法称为最小二乘法.
【即学即练1】（2023·全国·高三专题练习）如图是根据x,y的观测数据xi,yii=1,2,⋯,10得到的散点图，可以判断变量x,y具有线性相关关系的有（ ）
A．①②B．①③C．②④D．③④
【答案】D
【分析】根据散点图中各点的分布规律即可判断．
【详解】由图可知，③，④中各点比较均匀的分布在一条直线附近，具有线性相关关系．
故选：D．
【即学即练2】（2022春·湖北·高二统考期末）在下列所示的四个图中，两个变量间具有较强线性相关关系的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由散点图可得答案.
【详解】对于A，散点落在某条曲线上，两个变量具有函数关系；
对于B，散点落在某条直线附近，这两个变量具有线性相关关系；
对于C，散点落在某条曲线附近，这两个变量具有非线性相关关系；
对于D，散点杂乱无章，无规律可言，这两个变量无相关性，不具有相关关系．
故选：B．
知识点02 回归直线方程的理解
1.回归直线方程的概论
一般地，已知变量x与y的n对成对数据(xi，yi)，i=1，2，3，…，n.任意给定一个一
次函数y=bx+a，对每一个已知的xi；由直线方程可以得到一个估计值eq \(y,\s\up6(^))i＝eq \(b,\s\up6(^)) xi＋eq \(a,\s\up6(^)) ，如果一个一
次函数eq \(y,\s\up6(^)) ＝eq \(b,\s\up6(^)) x＋eq \(a,\s\up6(^)) 能使（y1-eq \(y,\s\up6(^))1）2+（y2-eq \(y,\s\up6(^))2）2+...+(yn-eq \(y,\s\up6(^))n)2取得最小值，
则eq \(y,\s\up6(^)) ＝eq \(b,\s\up6(^)) x＋eq \(a,\s\up6(^))称为y关于x的回归直线方程（对应的直线称为回归直线）.
2. 最小二乘法
上述求回归直线方程的过程中需使得平方和最小，所以其中涉及的方法称为最小二乘法.
可以证明，给定两个y与x的一组数据之后，回归直线方程 eq \(y,\s\up6(^)) ＝eq \(b,\s\up6(^)) x＋eq \(a,\s\up6(^))总是存在的，其中eq \(a,\s\up6(^)) ，eq \(b,\s\up6(^)) 是待定参数．其中，eq \(b,\s\up6(^))称为回归系数.它实际上也就是回归直线方程的斜率.回归直线方程确定之后，就可用于预测.
需要注意的是，上述公式中，x指的是x1，x2，x3，x4，…，xn平均数，即 x=x1+x2+...+xnn；类似地，是y1，y2，y3，…，yn的平均数，即y=y1+y2+...+ynn
回归直线方程的性质：
（1）回归直线一定过点（x，y ）
（2）y与x正相关的充要条件是 eq \(b,\s\up6(^))>0；y与x 负相关的充要条件是 eq \(b,\s\up6(^)) 0，所以变量 x 与 y 呈正相关关系，故①正确；
因为1.5>1.2，所以去除后y的估计值增加速度变慢，故②错误；
当x=3时，y=3×1.5+0.5=5，所以去除前样本点的中心为3,5，
又因为1.2+4.82=3，2.2+7.82=5，
所以去掉两个数据点1.2,2.2和4.8,7.8后，样本点的中心还是3,5，故③正确；
因为去除后重新求得的回归直线l的斜率为1.2，所以可设l:y=1.2x+a，
将点3,5代入直线l，得5=1.2×3+a，解得a=1.4，
所以去除后的回归直线方程为y=1.2x+1.4，故④正确.
故答案为：①③④.
能力拓展
◆考点01 散点图与回归直线方程
【典例1】（2023·全国·高二专题练习）如图是两个变量的散点图，y关于x的回归方程可能是（ ）
A．y=3lnx+2B．y=3ex−1C．y=−2x3+2D．y=−110x+2
【答案】C
【分析】根据散点图与给所函数的图象的偏离情况，即可求解.
【详解】由散点图可知，y与x负相关,故排除A,B,对于D：y=−110x+2，点(x,y)偏离y=−110x+2较大，而点(x,y)近似在曲线y=−2x3+2附近，所以 y关于x的回归方程是C的可能性大．
故选：C．
【典例2】（2023·全国·高二专题练习）变量x，y的散点图如图所示，根据散点图，下面四个回归方程类型中最适宜作为y和x的回归方程类型的是（ ）．
A．y=−b2x+aB．y=bx2+aC．y=b2x+aD．y=bx+a
【答案】B
【分析】根据散点图据曲线形状结合一次函数，二次函数，反比例函数及幂函数的性质判断即得．
【详解】由散点图可以看出y随着x的增长速度越来越快，结合一次函数，二次函数，反比例函数及幂函数的性质可知，
最适宜作为y和x的回归方程类型的是：y=bx2+a．
故选：B.
【典例3】（2022·全国·高三专题练习）在一次数学建模活动中，某同学采集到如下一组数据：
以下四个函数模型（a，b为待定系数）中，最能反映y与x的函数系的是（ ）
A．y=a+bxB．y=a+bxC．y=a+lgbxD．y=a+bx
【答案】B
【分析】根据题设中表格中的数据画出散点图，结合图象和选项，得到答案.
【详解】由表格中的数据，作出数据的散点图，如图所示，
数据散点图和指数型函数的图象类似，所以选项B最能反映x,y之间的函数关系.
故选：B.
◆考点02 回归直线方程的意义
【典例4】（多选）（2022·高二课时练习）（多选）关于回归分析，下列说法正确的是（ ）
A．回归分析是研究两个具有相关关系的变量的方法
B．运用最小二乘法求得的回归直线一定经过样本中心x,y
C．回归模型中一定存在随机误差
D．散点图能明确反映变量问的关系
【答案】ABC
【分析】根据回归分析的相关概念和性质逐个分析判断即可.
【详解】对于A，回归分析是研究两个具有相关关系的变量的方法，所以A正确，
对于B，运用最小二乘法求得的回归直线一定经过样本中心x,y，所以B正确，
对于C，因为相关关系是一种非确定关系，所以回归模型中一定存在随机误差，所以C正确，
对于D，散点图反映的是两个变量间的关系，存在误差，所以D错误，
故选：ABC
【典例5】（2023·全国·高二专题练习）如图是某地区2012年至2021年的空气污染天数Y（单位：天）与年份X的折线图．根据2012年至2016年的数据，2017年至2021年的数据，2012年至2021年的数据分别建立线性回归模型Y=b1X+a1，Y=b^2X+a^2，Y=b3X+a3，则（ ）
A．b1