江苏省南通市通州区2024届高三下学期期初质量监测数学试题

这是一份江苏省南通市通州区2024届高三下学期期初质量监测数学试题，共12页。试卷主要包含了已知为锐角，且，则，已知函数，则等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效．
3．本卷满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．有8位同学一次数学测试的分数分别是：111，118，125，130，130，132，136，140，则这组数据的75百分位数是（ ）
A．130B．132C．134D．136
2．若，且是纯虚数，则（ ）
A．B．1C．D．2
3．已知，均为单位向量，若，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
4．设l，m是不同的直线，，是不同的平面，则（ ）
A．若，，，则B．若，，，则
C．若，，，则D．若，，，则
5．某台小型晚会由5个节目组成，演出顺序有如下要求，节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，则该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ）
A．36种B．42种C．48种D．54种
6．设直线被圆所截得的弦的中点为，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知为锐角，且，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，以C的实轴为直径的圆记为D，过点作D的切线与C在第一象限交于点P．若的面积为，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为B．的一个对称中心
C．在区间上单调递减D．在区间上有3个零点
10．已知正方体的棱长为4，E，F，G分别是棱，，的中点，则（ ）
A．平面
B．，，共面
C．平面截正方体所得截面的面积为
D．三棱锥的体积为
11．已知函数的定义域为R，，则（ ）
A．
B．是奇函数
C．若，则
D．若当时，，则，在单调递减
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知数列是等比数列，且．设，数列的前n项和为，则______．
13．已知随机变量，且，则的展开式中常数项为______．
14．在中，，，，点D，E，F分别在，，边上，且，，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）不透明的袋子中有8个除所标数字外均相同的球，其中标号为1号的球有3个，标号为2号的球有3个，标号为3号的球有2个．现从这8个球中任选2个球．
（1）求选出的这2个球标号相同的概率；
（2）设随机变量X为选出的2个球标号之差的绝对值，求X的分布列与数学期望．
16．（15分）已知函数，曲线在处的切线方程为．
（1）求a，b的值；
（2）求的单调区间，并证明在上没有零点．
17．（15分）如图，在三棱柱中，平面平面，为等边三角形，，，D，E分别是棱，的中点．
（1）求证：平面；
（2）若P为线段上的动点（不包括端点），求平面与平面夹角的余弦值的取值范围．
18．（17分）设抛物线，过焦点F的直线与C交于点A，B．当直线垂直于x轴时，．
（1）求C的方程；
（2）已知点，直线，分别与C交于点C，D．
①求证：直线过定点；
②求与面积之和的最小值．
19．（17分）对于数列，若存在正数k，使得对任意，，都满足，则称数列符合“条件”．
（1）试判断公差为2的等差数列是否符合“条件”？
（2）若首项为1，公比为q的正项等比数列符合“条件”．
①求q的取值范围；
②记数列的前n项和为，证明：存在正数，使得数列符合“条件”
2024届高三第二学期期初质量监测
数学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】C
【解析】，，选C．
2．【答案】B
【解析】为纯虚数，，即，．
3．【答案】D
【解析】，
在上的投影向量，选D．
4．【答案】B
【解析】对于A，如图，设平面为平面，平面为平面，为m，为l满足，，，但l与m不平行，A错．
对于C，设平面为平面，平面为平面，为l，为m，
满足，，，但l与m不垂直，C错．
对于D，设平面为平面，平面为平面，为l，为m，
满足，，，但l与m不平行，D错，选B．
5．【答案】B
【解析】甲在第一位有个结果，甲在第二位有个结果，，选B．
6．【答案】C
【解析】直线过定点，M在为直径的圆上，
以为直径的圆：，，即
即是与圆的交点，
，，选C
7．【答案】A
【解析】，或，为锐角，
，选A．
8．【答案】D
【解析】如图，为圆O的切线，切点为M，
，，，为中位线，
，，，，选D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．【答案】AC
【解析】，，A对，对称中心纵坐标为1，B错．
，则，即的一个单调减区间为
而，在/C对．
，则或
或．
，；，；，；，，4个零点，D错．选AC．
10．【答案】ABD
【解析】，，，
，面，A对．
，，
若，，共面，则，
，，B对．
如图截面为等腰梯形，，，，
，梯形的高，梯形面积，C错．
，D对，选ABD．
11．【答案】BCD
【解析】方法一：时，，，A错．
时，，
，，为奇函数，B对．
，，，，C对．
时，，，
时，，时，
，，即，
在，D对，选BCD．
方法二：令，A错．
令
原式中令，是奇函数，B正确．
原式中令，，C正确．
对于D，由
任取且，则，
，在上，D正确，选：BCD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．【答案】
【解析】为等比数列，，，即，
为等差数列，．
13．【答案】1215
【解析】，，，．
展开式第项
，．
14．【答案】
【解析】A，F，D，E四点共圆，最小时，最小，时，最小，，，．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．【解析】（1）．
（2）X的所有可能取值为0，1，2，
，，．
X的分布列如下：
X的数学期望．
16．【解析】（1）
由题意知
（2）
在上；和上
的单增区间为，单减区间为，，
在上；上，，
时，
在上没有零点．
17．【解析】
（1）证明：为等边三角形，D为中点，，
又平面平面，平面平面，
平面，，又四边形为菱形，
，，
平面．
（2）如图建系，，，，
设，，
，，，
设平面与平面的一个法向量分别为，，
，，
设平面与平面夹角为
．
18．【解析】（1），，的方程为．
（2）①设直线方程为，，，，，
，
同理，，
设与x轴交于点G，，
直线过定点．
②，
当且仅当时取“”．
19．【解析】
（1），
公差为2的等差数列符合条件．
（2）①，对恒成立，
若，则，符合．
若，数列，不妨设
，
设，由（*）式中的m，n任意性得数列不递增，
，
但当，，矛盾．
若，则数列单调递减，不妨设，
，即
设，由（**）式中m，n的任意性得，数列不递减
，
时，单调递增，
，，
综上，公比q的取值范围为．
（3）由（2）得，，，
当时，，要存在使得，只需即可！
当时，要证数列符合“条件”，
只要证存在，使得，
不妨设，则只要证：
只要证：
设，由m，n的任意性，单调不减
只要证
只要证：，，
，存在上式对成立．
存在正数使数列符合条件．X
0
1
2
P