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    (新高考)高考数学一轮复习学案+巩固提升练习1.3《等式性质与不等式性质》(2份打包，原卷版+教师版)
    2024精品成套高中数学一轮复习资料 2021-2024年高考数学一轮复习知识练习（含答案解析）
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    (新高考)高考数学一轮复习学案+巩固提升练习1.3《等式性质与不等式性质》(2份打包，原卷版+教师版)

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    这是一份(新高考)高考数学一轮复习学案+巩固提升练习1.3《等式性质与不等式性质》(2份打包，原卷版+教师版)，文件包含新高考高考数学一轮复习讲义+巩固练习13《等式性质与不等式性质》原卷版doc、新高考高考数学一轮复习讲义+巩固练习13《等式性质与不等式性质》原卷版pdf、新高考高考数学一轮复习讲义+巩固练习13《等式性质与不等式性质》教师版doc、新高考高考数学一轮复习讲义+巩固练习13《等式性质与不等式性质》教师版pdf等4份试卷配套教学资源，其中试卷共31页， 欢迎下载使用。

    1.掌握等式性质.
    2.会比较两个数的大小.
    3.理解不等式的性质，并能简单应用．
    知识梳理
    1．两个实数比较大小的方法
    作差法eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－b>0⇔a>b，,a－b＝0⇔a＝b，,a－b<0⇔a2．等式的性质
    性质1 对称性：如果a＝b，那么b＝a；
    性质2 传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
    性质3 可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；
    性质4 可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；
    性质5 可除性：如果a＝b，c≠0，那么eq \f(a,c)＝eq \f(b,c).
    3．不等式的性质
    性质1 对称性：a>b⇔b性质2 传递性：a>b，b>c⇒a>c；
    性质3 可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；
    性质4 可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac性质5 同向可加性：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；
    性质6 同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；
    性质7 同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)．
    常用结论
    1．若ab>0，且a>b⇔eq \f(1,a)2．若a>b>0，m>0⇒eq \f(b,a)若b>a>0，m>0⇒eq \f(b,a)>eq \f(b＋m,a＋m).
    思考辨析
    判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
    (1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a(2)若eq \f(b,a)>1，则b>a.( × )
    (3)若x>y，则x2>y2.( × )
    (4)若eq \f(1,a)>eq \f(1,b)，则b教材改编题
    1．(多选)设b>a>0，c∈R，则下列不等式中正确的是( )
    A． SKIPIF 1 < 0 B.eq \f(1,a)>eq \f(1,b) C.eq \f(a＋2,b＋2)>eq \f(a,b) D．ac3答案 ABC
    解析 因为y＝ SKIPIF 1 < 0 在(0，＋∞)上单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
    因为y＝eq \f(1,x)在(0，＋∞)上单调递减，所以eq \f(1,a)>eq \f(1,b)，B正确；
    因为eq \f(a＋2,b＋2)﹣eq \f(a,b)＝eq \f(2b－a,b＋2b)>0，所以eq \f(a＋2,b＋2)>eq \f(a,b)，C正确；当c＝0时，ac3＝bc3，所以D不正确．
    2．已知M＝x2﹣3x，N＝﹣3x2＋x﹣3，则M，N的大小关系是________．
    答案 M>N
    解析 M﹣N＝(x2﹣3x)﹣(﹣3x2＋x﹣3)＝4x2﹣4x＋3＝(2x﹣1)2＋2>0，∴M>N.
    3．已知﹣1答案 (﹣7,12)
    解析 ∵﹣3题型一 比较两个数(式)的大小
    例1 (1)若a<0，b<0，则p＝eq \f(b2,a)＋eq \f(a2,b)与q＝a＋b的大小关系为( )
    A．pq D．p≥q
    答案 B
    解析 p﹣q＝eq \f(b2,a)＋eq \f(a2,b)﹣a﹣b＝eq \f(b2－a2,a)＋eq \f(a2－b2,b)＝(b2﹣a2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)－\f(1,b)))
    ＝eq \f(b2－a2b－a,ab)＝eq \f(b－a2b＋a,ab)，因为a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0.
    若a＝b，则p﹣q＝0，故p＝q；若a≠b，则p﹣q<0，故p(2)已知a，b，c∈(0,3)，且a5＝5a，b4＝4b，c3＝3c，下列不等式正确的是( )
    A．a>b>c B．c>a>b C．c>b>a D．a>c>b
    答案 C
    解析 a5＝5a，即eq \f(ln a,a)＝eq \f(ln 5,5)，b4＝4b，即eq \f(ln b,b)＝eq \f(ln 4,4)，c3＝3c，即eq \f(ln c,c)＝eq \f(ln 3,3)，
    设f(x)＝eq \f(ln x,x)，则f(a)＝f(5)，f(b)＝f(4)，f(c)＝f(3)，f′(x)＝eq \f(1－ln x,x2)(x>0)，
    当x>e时，f′(x)<0，f(x)＝eq \f(ln x,x)单调递减，当00，f(x)＝eq \f(ln x,x)单调递增，
    因为a，b，c∈(0,3)，f(a)＝f(5)，f(b)＝f(4)，f(c)＝f(3)，
    所以a，b，c∈(0，e)，因为f(5)教师备选
    已知M＝eq \f(e2 021＋1,e2 022＋1)，N＝eq \f(e2 022＋1,e2 023＋1)，则M，N的大小关系为________．
    答案 M>N
    解析 方法一 M﹣N＝eq \f(e2 021＋1,e2 022＋1)﹣eq \f(e2 022＋1,e2 023＋1)＝eq \f(e2 021＋1e2 023＋1－e2 022＋12,e2 022＋1e2 023＋1)
    ＝eq \f(e2 021＋e2 023－2e2 022,e2 022＋1e2 023＋1)＝eq \f(e2 021e－12,e2 022＋1e2 023＋1)>0.∴M>N.
    方法二 令f(x)＝eq \f(ex＋1,ex＋1＋1)＝eq \f(\f(1,e)ex＋1＋1＋1－\f(1,e),ex＋1＋1)＝eq \f(1,e)＋eq \f(1－\f(1,e),ex＋1＋1)，
    显然f(x)是R上的减函数，∴f(2 021)>f(2 022)，即M>N.
    思维升华 比较大小的常用方法
    (1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．
    (2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．
    (3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．
    跟踪训练1
    (1)已知0A．M>N B．M答案 A
    解析 ∵00,1＋b>0,1﹣ab>0.∴M﹣N＝eq \f(1－a,1＋a)＋eq \f(1－b,1＋b)＝eq \f(21－ab,1＋a1＋b)>0，∴M>N.
    (2)eπ·πe与ee·ππ的大小关系为________．
    答案 eπ·πe解析 eq \f(eπ·πe,ee·ππ)＝eq \f(eπ－e,ππ－e)＝(eq \f(e,π))π﹣e，又0题型二 不等式的性质
    例2 (1)下列命题为真命题的是( )
    A．若a>b，则ac2>bc2 B．若aC．若c>a>b>0，则eq \f(a,c－a)b>c>0，则eq \f(a,b)>eq \f(a＋c,b＋c)
    答案 D
    解析 对于A选项，当c＝0时，显然不成立，故A选项为假命题；
    对于B选项，当a＝﹣3，b＝﹣2时，满足a对于C选项，当c＝3，a＝2，b＝1时，eq \f(a,c－a)＝eq \f(2,3－2)>eq \f(b,c－b)＝eq \f(1,2)，故C选项为假命题；
    对于D选项，由于a>b>c>0，所以eq \f(a,b)﹣eq \f(a＋c,b＋c)＝eq \f(ab＋c－ba＋c,bb＋c)＝eq \f(ac－bc,bb＋c)＝eq \f(a－bc,bb＋c)>0，即eq \f(a,b)>eq \f(a＋c,b＋c)，故D选项为真命题．
    (2)(多选)若eq \f(1,a)A.eq \f(1,a＋b)0 C．a﹣eq \f(1,a)>b﹣eq \f(1,b) D．ln a2>ln b2
    答案 AC
    解析 由eq \f(1,a)A中，因为a＋b<0，ab>0，所以eq \f(1,a＋b)<0，eq \f(1,ab)>0.故有eq \f(1,a＋b)B中，因为b﹣a>0.故﹣b>|a|，即|a|＋b<0，故B错误；
    C中，因为b﹣eq \f(1,b)>0，所以a﹣eq \f(1,a)>b﹣eq \f(1,b)，故C正确；
    D中，因为ba2>0，而y＝ln x在定义域(0，＋∞)上单调递增，所以ln b2>ln a2，故D错误．
    教师备选
    若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式恒成立的是( )
    A.eq \f(1,a)b2 C．a|c|>b|c| D.eq \f(a,c2＋1)>eq \f(b,c2＋1)
    答案 D
    解析 对于A，若a>0>b，则eq \f(1,a)>eq \f(1,b)，故A错误；
    对于B，取a＝1，b＝﹣2，则a2对于C，若c＝0，a|c|＝b|c|，故C错误；
    对于D，因为c2＋1≥1，所以eq \f(1,c2＋1)>0，又a>b，所以eq \f(a,c2＋1)>eq \f(b,c2＋1)，故D正确．
    思维升华 判断不等式的常用方法
    (1)利用不等式的性质逐个验证．
    (2)利用特殊值法排除错误选项．
    (3)作差法．
    (4)构造函数，利用函数的单调性．
    跟踪训练2 (1)已知a，b∈R，满足ab<0，a＋b>0，a>b，则( )
    A.eq \f(1,a)0 C．a2>b2 D．a<|b|
    答案 C
    解析 因为ab<0，a>b，则a>0，b<0，eq \f(1,a)>0，eq \f(1,b)<0，A不正确；
    eq \f(b,a)<0，eq \f(a,b)<0，则eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)<0，B不正确；
    又a＋b>0，即a>﹣b>0，则a2>(﹣b)2，a2>b2，C正确；
    由a>﹣b>0得a>|b|，D不正确．
    (2)(多选)设a>b>1>c>0，下列四个结论正确的是( )
    A.eq \f(1,ac)>eq \f(1,bc) B．bac>abc C．(1﹣c)a<(1﹣c)b D．lgb(a＋c)>lga(b＋c)
    答案 CD
    解析 由题意知，a>b>1>c>0，所以对于A，ac>bc>0，故eq \f(1,ac)对于B，取a＝3，b＝2，c＝eq \f(1,2)，则bac＝2eq \r(3)，abc＝3eq \r(2)，所以bac对于C，因为0<1﹣c<1，且a>b，所以(1﹣c)a<(1﹣c)b，故C正确；
    对于D，a＋c>b＋c>1，所以lgb(a＋c)>lgb(b＋c)>lga(b＋c)，故D正确．
    题型三 不等式性质的综合应用
    例3 (1)已知﹣1答案 (﹣4,2) (1,18)
    解析 ∵﹣1由﹣1延伸探究 若将本例(1)中条件改为﹣1解 设3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x﹣y)，
    则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋n＝3，,m－n＝2，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝\f(5,2)，,n＝\f(1,2).))即3x＋2y＝eq \f(5,2)(x＋y)＋eq \f(1,2)(x﹣y)，
    又∵﹣1∴﹣eq \f(3,2)∴3x＋2y的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(23,2))).
    (2)已知3答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，2))
    解析 ∵4教师备选
    已知0<β<α答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))
    解析 ∵0<β0，即0<α﹣β思维升华 求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围．
    跟踪训练3 (1)已知a>b>c,2a＋b＋c＝0，则eq \f(c,a)的取值范围是( )
    A．﹣3C．﹣2答案 A
    解析 因为a>b>c,2a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0，b＝﹣2a﹣c，
    因为a>b>c，所以﹣2a﹣c﹣c，解得eq \f(c,a)>﹣3，
    将b＝﹣2a﹣c代入b>c中，得﹣2a﹣c>c，即a<﹣c，得eq \f(c,a)<﹣1，所以﹣3(2)已知1答案 (﹣2,0) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1))
    解析 ∵1∴﹣2eq \f(1,3)，∴eq \f(1,3)综上所述，a﹣b的取值范围为(﹣2,0)；eq \f(a,b)的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1)).
    课时精练
    1．已知a>0，b>0，M＝eq \r(a＋b)，N＝eq \r(a)＋eq \r(b)，则M与N的大小关系为( )
    A．M>N B．M答案 B
    解析 M2﹣N2＝(a＋b)﹣(a＋b＋2eq \r(ab))＝﹣2eq \r(ab)<0，∴M2．已知非零实数a，b满足aA．a2答案 C
    解析 若ab2，故A不成立；若eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ab>0，,a若a＝1，b＝2，则eq \f(b,a)＝2，eq \f(a,b)＝eq \f(1,2)，eq \f(b,a)>eq \f(a,b)，故D不成立，由不等式的性质知，C正确．
    3．已知﹣3A．(1,3) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(9,4))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(3,4))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
    答案 A
    解析 因为﹣34．若a>1，m＝lga(a2＋1)，n＝lga(a＋1)，p＝lga(2a)，则m，n，p的大小关系是( )
    A．n>m>p B．m>p>n C．m>n>p D．p>m>n
    答案 B
    解析 由a>1知，a2＋1﹣2a＝(a﹣1)2>0，
    即a2＋1>2a，而2a﹣(a＋1)＝a﹣1>0，即2a>a＋1，
    ∴a2＋1>2a>a＋1，而y＝lgax在定义域上单调递增，∴m>p>n.
    5．若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))aA．ln(a﹣b)>0 B．2b﹣a>1 C．﹣eq \f(1,a)>﹣eq \f(1,b) D．lgca>lgcb(c>0且c≠1)
    答案 C
    解析 指数函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x在(﹣∞，＋∞)上单调递减，
    由eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))ab>0.所以eq \f(1,a)﹣eq \f(1,b)，故C正确；
    a﹣b>0，但不一定有a﹣b>1，则不一定有ln(a﹣b)>0，故A错误；
    函数y＝2x在(﹣∞，＋∞)上单调递增，b﹣a<0.则2b﹣a<20＝1，故B错误；
    当06．(多选)已知x>y>z，x＋y＋z＝0，则下列不等式不成立的是( )
    A．xy>yz B．xy>xz C．xz>yz D．x|y|>|y|z
    答案 ACD
    解析 因为x>y>z，x＋y＋z＝0，所以x>0，z<0，y的符号无法确定，
    对于A，因为x>0>z，若y<0，则xy<0对于B，因为y>z，x>0，所以xy>xz，故B正确；
    对于C，因为x>y，z<0，所以xz对于D，因为x>z，当|y|＝0时，x|y|＝|y|z，故D错误．
    7．(多选)设a，b，c，d为实数，且a＞b＞0＞c＞d，则下列不等式正确的有( )
    A．c2＜cd B．a﹣c＜b﹣d C．ac＜bd D.eq \f(c,a)﹣eq \f(d,b)＞0
    答案 AD
    解析 因为a＞b＞0＞c＞d，所以a>b>0,0>c>d，
    对于A，因为0>c>d，由不等式的性质可得c2对于B，取a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2，则a﹣c＝3，b﹣d＝3，
    所以a﹣c＝b﹣d，故选项B错误；
    对于C，取a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2，则ac＝﹣2，bd＝﹣2，
    所以ac＝bd，故选项C错误；
    对于D，因为a>b>0，deq \f(d,b)，故eq \f(c,a)﹣eq \f(d,b)＞0，故选项D正确．
    8．(多选)若0c>1，则( )
    A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,c)))a>1 B.eq \f(c－a,b－a)>eq \f(c,b) C．ca﹣1答案 AD
    解析 对于A，∵b>c>1，∴eq \f(b,c)>1.∵0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,c)))0＝1，故选项A正确；
    对于B，若eq \f(c－a,b－a)>eq \f(c,b)，则bc﹣ab>bc﹣ac，即a(c﹣b)>0，这与0c>1矛盾，故选项B错误；
    对于C，∵0c>1，∴ca﹣1>ba﹣1，故选项C错误；
    对于D，∵0c>1，∴lgca9．已知M＝x2＋y2＋z2，N＝2x＋2y＋2z﹣π，则M________N．(填“>”“<”或“＝”)
    答案 >
    解析 M﹣N＝x2＋y2＋z2﹣2x﹣2y﹣2z＋π＝(x﹣1)2＋(y﹣1)2＋(z﹣1)2＋π﹣3≥π﹣3>0，故M>N.
    10．若eq \f(1,a)|b|；③a2.其中正确的不等式的序号为________．
    答案 ①④
    解析 因为eq \f(1,a)所以|a|<|b|，故②错误；所以eq \f(b,a)>0，eq \f(a,b)>0且均不为1，eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2，当且仅当eq \f(b,a)＝eq \f(a,b)＝1时，等号成立，所以eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)>2，故④正确．
    11．若0答案 a<2ab解析 方法一 令a＝eq \f(1,3)，b＝eq \f(2,3)，则2ab＝eq \f(4,9)，a2＋b2＝eq \f(1,9)＋eq \f(4,9)＝eq \f(5,9)，故a<2ab方法二 ∵01且2a<1，
    ∴a<2b·a＝2a(1﹣a)＝﹣2a2＋2a＝﹣2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,2)))2＋eq \f(1,2)又a2＋b2＝(a＋b)2﹣2ab＝1﹣2ab>1﹣eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)，即a2＋b2>eq \f(1,2).∵eq \f(1,2)∴(a2＋b2)﹣b＝[(1﹣b)2＋b2]﹣b＝2b2﹣3b＋1＝(2b﹣1)(b﹣1)<0，即a2＋b2综上可知a<2ab12．设实数x，y满足3≤xy2≤8,4≤eq \f(x2,y)≤9，则eq \f(x3,y4)的最大值是________．
    答案 27
    解析 eq \f(x3,y4)＝eq \f(x4,y2)·eq \f(1,xy2)＝(eq \f(x2,y))2·eq \f(1,xy2)≤81×eq \f(1,3)＝27，当且仅当eq \f(x2,y)＝9，xy2＝3，即x＝3，y＝1时等号成立．
    13．(多选)设实数a，b，c满足b＋c＝6﹣4a＋3a2，c﹣b＝4﹣4a＋a2，则下列不等式成立的是( )
    A．c答案 BD
    解析 ∵eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＋c＝6－4a＋3a2，,c－b＝4－4a＋a2，))两式相减得2b＝2a2＋2，即b＝a2＋1，∴b≥1.
    又b﹣a＝a2＋1﹣a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)>0，∴b>a.
    而c﹣b＝4﹣4a＋a2＝(a﹣2)2≥0，∴c≥b，从而c≥b>a.
    14．实数a，b，c，d满足下列三个条件：①d>c；②a＋b＝c＋d；③a＋d那么a，b，c，d的大小关系是________．
    答案 b>d>c>a
    解析 由题意知d>c①，②＋③得2a＋b＋d<2c＋b＋d，化简得ad⑤成立，综合①④⑤式得到b>d>c>a.
    15．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(1)＝0，且a>b>c，则eq \f(c,a)的取值范围是________．
    答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，－\f(1,2)))
    解析 因为f(1)＝0，所以a＋b＋c＝0，所以b＝﹣(a＋c)．又a>b>c，
    所以a>﹣(a＋c)>c，且a>0，c<0，所以1>﹣eq \f(a＋c,a)>eq \f(c,a)，即1>﹣1﹣eq \f(c,a)>eq \f(c,a).
    所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2c,a)<－1，,\f(c,a)>－2，))解得﹣216．某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
    (1)男学生人数多于女学生人数；
    (2)女学生人数多于教师人数；
    (3)教师人数的两倍多于男学生人数．
    ①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________．
    ②该小组人数的最小值为________．
    答案 ①6 ②12
    解析 设男学生人数为x，女学生人数为y，教师人数为z，由已知得
    eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>y，,y>z，,2z>x，))且x，y，z均为正整数．
    ①当z＝4时，8>x>y>4，∴x的最大值为7，y的最大值为6，故女学生人数的最大值为6.
    ②x>y>z>eq \f(x,2)，当x＝3时，条件不成立，当x＝4时，条件不成立，当x＝5时，5>y>z>eq \f(5,2)，此时z＝3，y＝4.
    ∴该小组人数的最小值为12.
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