(新高考)高考数学一轮复习学案+巩固提升练习2.6《指数与指数函数》(2份打包，原卷版+教师版)

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1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.
2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.
3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．
知识梳理
1．根式
(1)如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
(2)式子eq \r(n,a)叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．
(3)(eq \r(n,a))n＝a.
当n为奇数时，eq \r(n,an)＝a，
当n为偶数时，eq \r(n,an)＝|a|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，a≥0，,－a，a<0.))
2．分数指数幂
正数的正分数指数幂， SKIPIF 1 < 0 ＝eq \r(n,am)(a>0，m，n∈N*，n>1)．
正数的负分数指数幂， SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝eq \f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，n>1)．
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．
3．指数幂的运算性质
aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈R)．
4．指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数．
(2)指数函数的图象与性质
常用结论
1．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,a))).
2．如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则c>d>1>a>b>0，即在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象越高，底数越大．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)eq \r(4,－44)＝﹣4.( )
(2)2a·2b＝2ab.( )
(3)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．( )
(4)若am0，且a≠1)，则m教材改编题
1．化简 SKIPIF 1 < 0 的结果为( )
A．5 B.eq \r(5) C．﹣eq \r(5) D．﹣5
2．函数f(x)＝ax﹣1＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点________．
3．已知a＝ SKIPIF 1 < 0 ，b＝ SKIPIF 1 < 0 ，c＝ SKIPIF 1 < 0 ，则a，b，c的大小关系是________．
题型一 指数幂的运算
例1 (1) SKIPIF 1 < 0 (a>0，b>0)＝________.
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0 ＝3(x>0)，则 SKIPIF 1 < 0 ＝________.
教师备选
化简 SKIPIF 1 < 0 (a>0，b>0)的结果是( )
A.eq \f(b,a) B.eq \f(a,b) C.eq \f(a2,b) D.eq \f(b2,a)
思维升华
(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加．
②运算的先后顺序．
(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
跟踪训练1 (1)已知a>0，则 SKIPIF 1 < 0 化为( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
(2)计算： SKIPIF 1 < 0 ﹣eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,8)))0＋eq \r(4,3－π4)＋ SKIPIF 1 < 0 ＝________.
题型二 指数函数的图象及应用
例2 (1)(多选)已知实数a，b满足等式2 021a＝2 022b，下列等式可以成立的是( )
A．a＝b＝0 B．a(2)若函数f(x)＝|2x﹣2|﹣b有两个零点，则实数b的取值范围是________．
教师备选
在同一直角坐标系中，指数函数y＝(eq \f(b,a))x，二次函数y＝ax2﹣bx的图象可能是( )
思维升华
(1)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
(2)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．
跟踪训练2 (1)已知函数f(x)＝(x﹣a)(x﹣b)(其中a>b)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是( )

(2)若存在正数x使ex(x＋a)<1成立，则a的取值范围是( )
A．(﹣∞，＋∞) B．(﹣∞，1) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,e)－1)) D．(﹣∞，﹣1)
题型三 指数函数的性质及应用
命题点1 比较指数式的大小
例3 (1)若a＝0.30.7，b＝0.70.3，c＝1.20.3，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>c B．c>b>a C．b>c>a D．a>c>b
(2)若2x﹣2y<3﹣x﹣3﹣y，则( )
A．ln(y﹣x＋1)>0 B．ln(y﹣x＋1)<0 C．ln|x﹣y|>0 D．ln|x﹣y|<0
命题点2 解简单的指数方程或不等式
例4 (1)已知y＝4x﹣3·2x＋3的值域为[1,7]，则x的取值范围是( )
A．[2,4] B．(﹣∞，0) C．(0,1)∪[2,4] D．(﹣∞，0]∪[1,2]
(2)当00且a≠1)有解，则实数a的取值范围是______．
命题点3 指数函数性质的综合应用
例5 已知函数f(x)＝2|2x﹣m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则m的取值范围是________．
教师备选
1．(多选)下列各式比较大小正确的是( )
A．1.72.5>1.73 B. SKIPIF 1 < 0 C．1.70.3>0.93.1 D. SKIPIF 1 < 0
2．已知函数f(x)＝ex﹣eq \f(1,ex)，若f(a﹣2)＋f(a2)≤0，则实数a的取值范围是______．
思维升华 (1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．
(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．
跟踪训练3 (1)设m，n∈R，则“m1”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)已知函数f(x)＝ SKIPIF 1 < 0 ，若f(x)有最大值3，则a的值为________．
课时精练
1．已知a＝ SKIPIF 1 < 0 ，b＝ SKIPIF 1 < 0 ，c＝ SKIPIF 1 < 0 ，则( )
A．c2．若函数f(x)＝ax﹣b的图象如图所示，则( )
A．a>1，b>1 B．a>1,01 D．03．函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在区间[1,2]上的最大值是最小值的2倍，则a的值是( )
A.eq \f(1,2)或eq \r(2) B.eq \f(1,2)或2 C.eq \f(1,2) D．2
4．基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)( )
A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天
5．(多选)已知函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象如图所示，则下列四个函数图象与函数解析式对应正确的是( )
6．(多选)如果函数y＝a2x＋2ax﹣1(a>0，a≠1)在区间[﹣1,1]上的最大值是14，则a的值为( )
A.eq \f(1,3) B．2 C．3 D.eq \f(1,2)
7．已知a>0，b>0，则 SKIPIF 1 < 0 ＝______.
8．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x，a≤x<0，,－x2＋2x，0≤x≤4))的值域是[﹣8,1]，则实数a的取值范围是________．
9．已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常数，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若不等式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))x＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,b)))x﹣m≥0在(﹣∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．
10．已知定义域为R的函数f(x)＝ax﹣(k﹣1)a﹣x(a>0且a≠1)是奇函数．
(1)求实数k的值；
(2)若f(1)<0，判断函数f(x)的单调性，若f(m2﹣2)＋f(m)>0，求实数m的取值范围．
11．已知0A． SKIPIF 1 < 0 >(1﹣a)b B．(1﹣a)b> SKIPIF 1 < 0
C．(1＋a)a>(1＋b)b D．(1﹣a)a>(1﹣b)b
12．(多选)若直线y＝2a与函数y＝|ax﹣1|(a>0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值可以是( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D．2
13．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，也称取整函数，例如：[﹣3.7]＝﹣4，[2.3]＝2.已知f(x)＝eq \f(ex－1,ex＋1)﹣eq \f(1,2)，则函数y＝[f(x)]的值域为( )
A．{0} B．{﹣1,0} C．{﹣2，﹣1,0} D．{﹣1,0,1}
14．对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x0满足f(﹣x0)＝﹣f(x0)，则称函数f(x)为“倒戈函数”．设f(x)＝3x＋m﹣1(m∈R，m≠0)是定义在[﹣1,1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是________．
15．定义在R上的函数f(x)单调递增，且对∀x∈R，有f(f(x)﹣2x)＝3，则f(lg43)＝________.
16．已知函数f(x)＝2x＋a·2﹣x(a为常数，a∈R)．
(1)讨论函数f(x)的奇偶性；
(2)当f(x)为偶函数时，若方程f(2x)﹣k·f(x)＝3在x∈[0,1]上有实根，求实数k的取值范围．
a>1
0图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1；
当x<0时，
0当x<0时，y>1；
当x>0时，
0在(﹣∞，＋∞)上是增函数
在(﹣∞，＋∞)上是减函数