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    2024九年级数学下册第27章圆专题(九)与切线有关的计算与证明作业课件新版华东师大版

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    1.如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB是⊙O的直径,∠DCA=∠B.(1)求证:CD是⊙O的切线;(2)若DE⊥AB,垂足为E,DE交AC于点F,求证:△DCF是等腰三角形.
    证明:(1)连结OC,∵OC=OA,∴∠OCA=∠A.∵AB是⊙O的直径,∴∠BCA=90°,∴∠A+∠B=90°.∵∠DCA=∠B,∴∠OCA+∠DCA=∠OCD=90°,∴OC⊥CD,∴CD是⊙O的切线(2)∵∠OCA+∠DCA=90°,∠OCA=∠A,∴∠A+∠DCA=90°.∵DE⊥AB,∴∠A+∠EFA=90°,∴∠DCA=∠EFA.∵∠EFA=∠DFC,∴∠DCA=∠DFC,∴△DCF是等腰三角形
    2.如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB是⊙O的直径,过点C作AD的垂线,交AD的延长线于点E,连结AC.(1)若AC平分∠BAD,求证:EC是⊙O的切线;(2)若EC是⊙O的切线,∠B=54°,求∠ACD的度数.
    解:(1)证明:∵AC平分∠BAD,∴∠DAC=∠OAC.∵OA=OC,∴∠OCA=∠OAC,∴∠DAC=∠OCA,∴OC∥AE,∵AE⊥EC,∴OC⊥EC.∵OC为⊙O的半径,∴EC是⊙O的切线(2)∵四边形ABCD内接于⊙O,∴∠ADC+∠B=180°.∵∠B=54°,∴∠ADC=180°-54°=126°.∵OB=OC,∴∠OCB=∠B=54°.∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠ACO=90°-54°=36°.∵EC是⊙O的切线,∴OC⊥EC.∵AE⊥EC,∴OC∥AE,∴∠DAC=∠OCA=36°,∴∠ACD=180°-∠DAC-∠ADC=180°-36°-126°=18°
    7.如图,⊙O是△ABC的外接圆,点O在BC边上,∠BAC的平分线交⊙O于点D,连结BD,CD,过点D作⊙O的切线与AC的延长线交于点P.(1)求∠CBD的度数;(2)求证:DP∥BC;(3)若AB=6 cm,AC=8 cm,求线段PC的长.
    解:(1)∵BC为⊙O的直径,∴∠BAC=90°.∵AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠BAD=45°.∵弧CD=弧CD,∴∠CBD=∠CAD=45°(2)证明:连结OD.∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,∴弧BD=弧CD,∴OD⊥BC,∴∠COD=90°.∵DP是⊙O的切线,∴∠OOP=90°,∴∠COD+∠ODP=180°,∴DP∥BC

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