（压轴题特训）2024年高考数学函数与导数专题练习

这是一份（压轴题特训）2024年高考数学函数与导数专题练习，共29页。试卷主要包含了设函数，.，已知函数在上为奇函数，.，已知函数.，已知函数，已知函数，其中，已知函数，且满足.等内容，欢迎下载使用。

(1)已知对任意恒成立，求实数的取值范围；
(2)已知直线与曲线、分别切于点、，其中
①求证：；
②已知对任意恒成立，求的取值范围．
2．已知函数在上为奇函数，.
(1)求实数m的值；
(2)存在，使成立.
（i）求t的取值范围；
（ii）若恒成立，求n的取值范围.
3．已知函数.
(1)若在上单调递增，求的取值范围；
(2)若有2个极值点，求证：.
4．已知函数．
(1)当时，直接写出的单调区间（不要求证明），并求出的值域；
(2)设函数，若对任意，总有，使得，求实数的取值范围．
5．已知函数
(1)判断的奇偶性；
(2)判断函数的单调性，并用定义证明；
(3)若不等式在区间上有解，求实数k的取值范围.
6．已知函数，其中．
(1)若的极小值为，求单调增区间；
(2)讨论的零点个数．
7．二次函数的最大值为，且满足，，函数．
(1)求函数的解析式；
(2)若存在，使得，且的所有零点构成的集合为，证明：．
8．已知函数．
(1)当时，讨论的单调性（不必给出证明）；
(2)当时，求的值域；
(3)若存在，，使得，求的取值范围．
9．已知函数，且满足.
(1)求实数的值；
(2)若函数的图像与直线的图像只有一个交点，求的取值范围；
(3)若函数，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
10．如果函数的定义域为，且存在常数，使得对定义域内的任意，都有恒成立，那么称此函数具有“性质”．
(1)已知具有“性质”，且当时，，求的解析式及在上的最大值；
(2)已知定义在上的函数具有“性质”，当时，．若有8个不同的实数解，求实数的取值范围．
11．己知函数．
(1)判断的奇偶性；
(2)己知，都有，求实数a的取值范围．
12．设函数，．
(1)讨论函数在区间上的单调性；
(2)若函数在区间上的极值点为a且零点为b，求证：．
（参考数据：，）
13．已知函数和函数.
(1)若函数的定义域为，求实数的取值范围；
(2)是否存在非负实数，，使得函数的定义域为，值域为，若存在，求出，的值；若不存在，则说明理由；
(3)当时，求函数的最大值.
14．已知函数．
(1)若，且图象关于对称，求实数的值；
(2)若，
（i）方程恰有一个实根，求实数的取值范围；
（ii）设，若对任意，当时，满足，求实数的取值范围．
参考答案：
1．(1)
(2)①证明见解析；②.
【分析】（1）利用参变量分离法可得出，其中，利用导数分别求出函数的最大值、函数的最小值，即可得出实数的取值范围；
（2）①利用导数的几何意义可得出直线两种不同的方程，可得出，整理可得出，构造函数，其中，求出的取值范围，再由可证得结论成立；
②由可得，设，其中，利用导数求出函数的最小值，即可得，结合可得出实数的取值范围.
【详解】（1）解：由已知可得，其中，
设，其中，则，
当时，，即在上单调递增，
当时，，即在上单调递减，
所以，；
令，其中，则，
当时，，即函数在上单调递减，
当时，，即函数在上单调递增，
所以，，
综上所述，实数的取值范围是.
（2）证明：①因为，，则，，
所以，直线可表示为，即，
直线的方程也可表示为，即，
故有，所以，，
所以，，即，
设，其中，则，
令，其中，则对任意的恒成立，
所以，函数在上单调递增，
又因为，，所以，存在，使得，
当时，，即函数在上单调递减，
当时，，即函数在上单调递增，
因为，则，，
所以，函数在上无零点，
因为，所以，存在，使得，
所以，，则；
解：②由①可知，，当时，，
由可得，
设，其中，则对任意的恒成立，
所以，函数在上单调递增，
所以，，
所以，，解得，
故实数的取值范围是.
【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
2．(1)
(2)（i）（ii）
【分析】（1）由奇函数定义列出恒等式即可求解.
（2）（i）由复合函数单调性得在上单调递减，结合奇函数性质得，由此即可求解；（ii）将原不等式转换为恒成立，通过换元法即可求解.
【详解】（1）由题意函数在上为奇函数，
所以，
因为，所以解得，经检验符合题意.
（2）（i）由（1）得在上为奇函数，
显然在上单调递增，在上单调递减，
所以由复合函数单调性可知在上单调递减，
从而在上单调递减，
所以
，
即，
因为，所以，所以；
（ii）由（2）（i）得，所以，
若恒成立，
则恒成立，
所以当，即时，，
所以n的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：第二问（i）的关键是先得函数单调性，结合奇函数性质可得关于的函数方程，由此即可顺利得解.
3．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）将在上单调递增转化为恒成立问题，通过参变分离求解最值即可；
（2）通过是方程的两个不同正根将证明转化为，然后通过消参构造函数来求解证明.
【详解】（1）法一：因为在上单调递增，
所以时，即，
设，则，
所以时单调递减，时单调递增，
所以，
所以，即的取值范围是；
法二：因为，
所以，
若，则在上单调递增；
若，令，则，
时单调递减；时单调递增，
所以是的极小值点，所以，
所以当，即时，在上单调递增.
综上，的取值范围是.
（2）由（1）知是方程的两个不同正根，所以，
经验证，分别是的极小值点，极大值点，
，
下面证明.
由，得，
两边取对数，得，即，
则，
设，则，则要证，即证，
即证.
设，则，
所以在上单调递增，从而，
于是成立，
故.
【点睛】方法点睛：对于含双变量的问题，通常经过变形，产生的结构，然后通过换元令，将式子转化为单变量的的问题，进而构造函数来解决问题.
4．(1)单调递增区间为和，递减区间为和；值域是
(2)
【分析】（1）利用对勾函数性质结合奇偶性判断单调区间，利用基本不等式求值域；
（2）求出的值域并将题目转化为函数的值域是的值域的子集，分情况讨论t的范围，求的最值列不等式求解.
【详解】（1）当时，,
易知，且定义域关于原点对称，故为奇函数；
结合对勾函数的性质可得：的单调递增区间为和，递减区间为和．
当时，，
当且仅当时等号成立；
当时，，当且仅当时，等号成立．
所以的值域是；
（2），
因为，所以，所以，，
所以，那么的值域为．
当时，总有，使得，
转化为函数的值域是的值域的子集，
即当时，恒成立．
当时，在上单调递增，可得，，所以；
当时，，满足题意；
当时，对任意的，，显然，
所以，对任意的恒成立，可得．
当时，，，此时．
综上可得，实数的取值范围为．
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若若，，有，则的值域是值域的子集 ．
5．(1)奇函数
(2)在上为减函数，证明见解析
(3)
【分析】（1）先求函数的定义域，然后利用函数奇偶性的定义分析判断；
（2）先对函数化简变形后，再任取，且，然后化简变形，再判断符号，可得结论；
（3）利用函数是奇函数将原不等式转化为，再由函数为上的减函数，得，即存在，使得成立，然后求出的最大值即可.
【详解】（1）∵，定义域为，关于原点对称，
又，
∴为奇函数.
（2）∵，
任取，且，则
，
∵，∴，，，
故，即，
∴在上为减函数.
（3）∵为上的奇函数，又，
∴.
又由于函数为上的减函数，
∴，
则，
又存在，使得成立，则，
又∵在上为减函数，
∴，
∴，
∴实数k的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：此题考查函数奇偶性，函数单调性的证明，考查利用函数单调性和奇偶性解不等式，第（3）问解题的关键是利用函数为奇函数将原不等式转化后，再利用函数的单调性解不等式，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.
6．(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）由导数的单调性得到极小值，即可求解；
（2）由（1）知，在区间有1个零点，再讨论的极小值为的情况进行求解.
【详解】（1）由题，得，其中，
当时，，单调递增，无极值；
当时，令，解得或；
令，解得，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为，，
所以当时，取得极小值，
所以，解得．
单调增区间和；
（2）由（1）知当时，的极小值为，
的极大值为，，
所以在区间有1个零点，
当，即时，因为，，
所以在区间各有1个零点，因此有三个零点，如图①曲线；
当，即时，有两个零点，如图②曲线；
当，即时，有一个零点，如图③曲线；
当时，，易知有一个零点．
综上，当时，有一个零点；
当时，有两个零点；
当时，有三个零点.
【点睛】方法点睛：对于第二问，先给出在区间有1个零点，再对的极小值分类讨论求解.
7．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）分析可知函数为偶函数，根据题意设，其中，由可求出的值，即可得出函数的解析式；
（2）由可得，令，分、、三种情况讨论，在第一种情况下，直接验证即可；在第二种情况下，直接利用零点存在定理可证得结论成立，综合可得出结论.
【详解】（1）解：令，由可得，
所以，函数为偶函数，
又因为二次函数的最大值为，可设，其中，
则，解得，所以，.
（2）解：因为，即，所以，其中．
由，化简可得
即．
令，
由判别式，可知在上有解，
①当时，，此时；
②当时，，此时；
③当时，的对称轴是，
因为，
，
，
由零点存在定理可知，函数在区间、上各有一个零点，
不妨设函数在区间、内的零点分别为、，
此时．
综合①②③，成立．
【点睛】关键点点睛：考察二次函数的零点，一般需要考虑以下几个要素：
（1）二次项系数的符号；
（2）判别式；
（3）对称轴的位置；
（4）区间端点函数值的符号.
8．(1)在上单调递减
(2)
(3)
【分析】（1）根据函数之差的单调性判断即可；
（2）根据基本不等式求解即可
（3）令，再根据二次函数的零点存在性问题列式可得，再根据韦达定理求解即可.
【详解】（1）当时，，因为为减函数，为增函数，
故在上单调递减；
（2）当时，，当且仅当时取等号；
所以的值域为．
（3）令，则问题等价于存在，，使得
令，因为在有两个零点，
故，即解得．
由韦达定理和根的定义可知：，．
又因为，故的取值范围为．
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是采用换元法，设，将指数方程转化为一元二次方程，最后利用二次函数根的分布从而得到范围.
9．(1)
(2)
(3)存在，
【分析】（1）由即可求出k的值；
（2）将函数的图像与直线的图像只有一个交点，转化为只有一个实数解，即可求得参数范围；
（3）由题意知，，利用换元法，令，，转化为，，讨论三种情况，其中时，再就对称轴与区间的不同位置分和两种情况讨论求解.
【详解】（1）因为，即
所以，故.
（2）由题意知方程只有一个实数解，即方程只有一个实数解，
令，则函数的图像与直线有且只有一个交点
任取且，则，所以即有
所以，故在上为减函数，
又因为，所以，故.
（3）
令，因所以，记，，
①当时，在上为增函数，所以，不合题意；
②当时，对称轴为，所以在上为增函数，
故解得，不合题意，舍去；
③当时，开口向下，对称轴为，又因为
，即时，，解得，符合题意；
，即时，，解得，不合题意，舍去.
综上所述，.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查两函数图象的交点个数与方程解的个数的转化关系以及函数的最小值取得问题.
解题关键之① 在于将两函数图象只有一个交点转化为方程只有一个实根后，对函数的图象的值域求得必须先证明单调性；
解题关键之② 在于对函数在上的最小值能否为0进行分析时，需要换元成，，且需对的取值进行讨论，在讨论时，抛物线开口向下，要求函数最小值，需对与的关系进一步分类.
10．(1)；3；
(2).
【分析】（1）由题意可得是偶函数，根据偶函数性质求出的解析式，由复合函数的单调性判断在上单调性，求出最值；
（2）由对称性求出的解析式，有8个不同的实数解，令，则有两个不等的实数根，，且，，然后根据一元二次方程的实根分布求解.
【详解】（1）具有“性质”，
对恒成立，是偶函数.
当时，，
所以当时，则，
由得，当时
，
因为是增函数，在单调递增，
所以由复合函数的单调性可知函数在上单调递增，
因此，在上的最大值为.
（2）函数具有“性质”，则，
当时，，所以当时，，
于是，
如下图所示：
若有8个不同的实数解，令，
则有两个不等的实数根，，且，，
所以，所以.
所以t的取值范围为.
【点睛】思路点睛：第一问，利用是偶函数，求出的解析式，再根据复合函数单调性求出最值；第二问，函数具有“性质”，即得图象关于对称，求出的解析式，有8个不同的实数解，令，转化为方程有两个不等的实数根，，且，，根据实根分布求解.
11．(1)偶函数
(2)或.
【分析】（1）根据函数奇偶性的定义进行判断，即可得答案；
（2）化简，利用换元法，令，将化为，结合函数单调性求得其最小值，进而将不等式恒成立问题化为恒成立，继而可得恒成立或恒成立，结合二次函数知识，即可求解.
【详解】（1）由题意知函数的定义域为R，
故，
故为偶函数；
（2）由于
，
令，则，当且仅当，即时取等号，
故，即为，，
由于在上单调递增，故的最小值为，
即的最小值为；
由于，都有，
故只需，即，恒成立，
令，则恒成立，
即恒成立或恒成立，
而，当时取到最大值；
恒成立，
故或.
【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于将，都有，转化为函数的最值问题求解，然后结合不等式知识以及函数的单调性即可求解.
12．(1)函数在区间上单调递增
(2)证明见解析
【分析】（1）通过导数讨论函数单调性；
（2）利用导数研究函数的单调性，确定极值点a和零点b所在区间，构造函数，由单调性证明不等式.
【详解】（1）法一：
∵，∴，
当时，，则，即，
∴函数在区间上单调递增；
法二：
∵，
∴，
令，当时，，
所以函数在区间上单调递增，即函数在区间上单调递增，
∴，
∴函数在区间上单调递增；
（2），
由（1）知函数在区间上单调递增，
又，，
∴存在唯一的，使得，
当时，，；当时，，，
∴函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
∴函数在区间上有唯一极值点a，
又，
由参考数据，可知，
∴函数在区间上有唯一的零点b，且，
构造函数（），，
∴在上单调递增，
∴，即，
∴.
【点睛】方法点睛：
利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
13．(1)
(2)存在，，
(3)
【分析】（1）由题意得在上恒成立，对分类讨论即可求解；
（2）由题意得，进一步可知它在上单调递增，由此即可列出方程组求解即可.
（3）由题意，进一步换元得，，通过对分类讨论即可求解.
【详解】（1）∵函数的定义域为，
所以在上恒成立，
当时，恒成立；
当时，若在上恒成立，
则，得，
综上得：，故实数的取值范围；
（2）因为函数，
即，
假设存在非负实数，，定义域为，值域为，
∴（），即，是的两根
解得，，所以当，时，定义域为，值域为.
（3），
当时，令，则，
对称轴为，
若时，函数在上递增，则；
若时，则：
若时，则；
若时，函数在上递减，则；
故.
【点睛】关键点睛：第三问的关键是通过平方关系将函数化成关于的二次式子，进一步通过换元分类讨论即可顺利得解.
14．(1)；
(2)（i）；（ii）．
【分析】（1）利用函数的奇偶性与对称性待定系数计算即可；
（2）（i）利用对数函数的单调性含参讨论解方程即可；（ii）利用复合函数单调性先确定单调递减，借助函数单调性将条件不等式转化为对任意的恒成立，变换主元利用二次函数的性质及计算即可.
【详解】（1）由题意知图象关于对称，
所以为偶函数，
即，
所以，故；
（2）由题意知
（i）方程，所以，
整理可得，，即，
当时，方程有唯一解，此时，不符合条件；
当时，同上，解方程得，也不符合条件；
当且时，方程有两不等解，
若满足，则，
若满足，则，
显然若时，无解，
若时，有两解，
所以当时方程恰有一个实根；
综上，实数的取值范围为；
（ii）令，则在上为减函数，
而在上为增函数，
所以函数在上为减函数，
当时，满足，
则，
所以，
因为，即对任意的恒成立，
设，
又，所以函数在单调递增，
所以，所以．
【点睛】思路点睛：第二问第一小问带有参数的方程只有一根，故含参分类讨论即可；第二小问，不等式在定区间恒成立问题，借助函数的单调性脱去函数符号，将不等式等价变形，因为不等式含有双变量，故变换主元转化为二次函数，借助二次函数的图象与性质计算即可.