（压轴题特训）2024年高考数学三角函数与解三角形专题练习

这是一份（压轴题特训）2024年高考数学三角函数与解三角形专题练习，共30页。试卷主要包含了如图是函数图象的一部分.，设，函数，.，已知函数，点在其图象上.，已知函数，等内容，欢迎下载使用。

(1)求函数的解析式；
(2)若关于的方程在上有解，求实数的取值范围.
2．已知函数，函数为奇函数，其中，.
(1)求的值；
(2)用表示，中的最小者，记为，请讨论在内的零点个数.
3．设，函数，.
(1)讨论函数的零点个数；
(2)若函数有两个零点，，试证明：.
4．对于函数，若的图象上存在关于原点对称的点，则称为定义域上的“G函数”．
(1)试判断，（）是否为“G函数”，简要说明理由；
(2)若是定义在区间上的“G函数”，求实数m的取值范围；
(3)试讨论在上是否为“G函数”？并说明理由．
5．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图，假定在水流量稳定的情况下，一个半径为的筒车开启后按逆时针方向做匀速圆周运动，每分钟转1圈、筒车的轴心距离水面的高度为.设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数）.若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：s）之间的关系为.

(1)求，，，的值；
(2)若盛水筒在不同时刻，距离水面的高度相等，求的最小值；
(3)若筒车上均匀分布了12个盛水筒，在筒车运行一周的过程中，求相邻两个盛水筒距离水面的高度差的最大值.
6．固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数，类似地我们可以定义双曲正弦函数.它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
(1)类比正弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数的一个正确的结论:_____________.（只写出即可，不要求证明）；
(2)，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)若，试比较与的大小关系，并证明你的结论.
7．已知函数（且），点在其图象上.
(1)若函数有最小值，求实数的取值范围；
(2)设函数，若存在非零实数，使得，求实数的取值范围.
8．已知函数，．
(1)若的最小值为，求实数的值；
(2)当时，若，，都有成立，求实数的取值范围．
9．中心对称函数指的是图形关于某个定点成中心对称的函数，我们学过的奇函数便是一类特殊的中心对称函数，它的对称中心为坐标原点. 类比奇函数的代数定义，我们可以定义中心对称函数：设函数的定义域为，若对，都有，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心. 比如，函数就是中心对称函数，其对称中心为.
(1)判断是否为中心对称函数（不用写理由），若是，请写对称中心；
(2)若定义在上的函数为中心对称函数，求的值；
(3)判断函数是否为中心对称函数，若是，求出其对称中心；若不是，请说明理由.
10．已知函数（，），当时，取得最大值为1，当时，取得最小值为，且在区间上单调递减．
(1)求的解析式并且作出在区间的图象；
(2)当时，函数恰有三个不同的零点（），求：
①实数a的取值范围；
②的取值范围．
11．已知函数在定义域内存在实数和非零实数，使得成立，则称函数为“伴和函数”.
(1)判断是否存在实数，使得函数为“伴和函数”？若存在，请求出的范围；若不存在，请说明理由；
(2)证明：函数在上为“伴和函数”；
(3)若函数在上为“伴和函数”，求实数的取值范围.
12．已知函数
(1)已知函数，若方程在上有四个不相等的实数根，求：实数的取值范围；
(2)若函数的定义域为，求：函数的最值；
(3)，不等式恒成立，求：实数的取值范围.
13．已知二次函数满足：
(1)求的解析式；
(2)求的单调性与值域（不必证明）；
(3)设，若，求实数的值．
14．函数，最大值为，最小值为.
(1)设，求；
(2)设，若对恒成立，求的取值范围.
参考答案：
1．(1)
(2)
【分析】（1）由图可得出的值，求出函数的最小正周期，可得出的值，再由结合的取值范围可得出的值，即可得出函数的解析式；
（2）令，分析可知，关于的方程在上有解，令，由参变量分离法可得，求出函数在上的值域，即可求得实数的取值范围.
【详解】（1）解：由图可得，
函数的最小正周期为，则，
所以，，
因为，则，
因为，则，所以，，解得，
所以，.
（2）解：由
可得，
即，
即，
即，其中，
因为，则，令，
则有，则关于的方程在上有解，
由可得，
令，则，
因为函数、在上均为减函数，
所以，函数在上为减函数，则，
所以，，解得，故实数的取值范围是.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
2．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据解得答案，再验证即可.
（2）考虑，，三种情况，首先确定的零点情况，再根据，，，四种情况计算的零点，综合得到答案.
【详解】（1）是奇函数，所以，即，
因为，所以，
，函数定义域为，，
函数为奇函数，满足；
（2）①当时，，从而，所以在内无零点.
②当时，，，，
所以当，且时，，
，即是的零点；
当，时，，
，即不是的零点.
③当时，，所以与在内的零点完全相同.
，，即，.
（i）当，时，，
所以在内的零点有，，…，共个；
（ii）当，时，，
所以在内的零点有，，…，，共个；
（iii）当，时，，在内无零点；
（iv）当，时，，
在内的零点有，，…，，共个.
综上所述：
当，时，在内共有个零点；
当，时，在内共有个零点.
【点睛】关键点点睛：本题考查了三角函数的奇偶性问题，三角函数的零点问题，意在考查形式的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，分类讨论可以明确解题思路，是解题的关键，此方法是常考的数学方法，需要熟练掌握.
3．(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用分离参数法分类讨论函数的零点个数；
（2）利用根与系数关系和三角函数单调性证明，即，令，则将原命题转化为证明，显然成立，进而原命题成立得证.
【详解】（1），
令，即，
当时，令，所以，
则即，
所以当或时，即或时，无解；
当时，即时，仅有一解；
当即时，有两解，
综上，或时，无零点；时，有一个零点；时，有两个零点.
（2）若有两个零点，，
令，，则，为两解，
则，则，则，
由可得，，
则，
所以，所以，
由可得，
所以，则，
由在递减，可得，
所以，所以
令，则
要证成立，
即证：；
即证：，因为显然成立，故原式成立.
【点睛】函数零点的求解与判断方法：
（1）直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
4．(1)是，理由见解析
(2)
(3)答案见解析
【分析】（1）由可判断；
（2）由题意，得，即在有解，分离参数可得m的取值范围；
（3）若为“G函数”，则在定义域上有解，令，则，，在有解，再分类讨论即可得出结果.
【详解】（1）∵，
∴，
∴是“G函数”．
（2）∵为“G函数”，故存在，
使，
∴，
即在有解．
∵，
∴．
又∵在恒成立，
∴．
∴
（3）当为定义域上
的“G函数”时，则在定义域上有解，
可化为在定义域上有解，
令，则，，
从而在有解，即可保证为“G函数”，
令，则的图象是开口向上的抛物线，
对称轴为．则
①当即时，
解得所以
②当，即时，
解得，所以，
综上，当时，
为定义域上的“G函数”，否则不是．
【点睛】思路点睛：根据题目新定义转化为存在定义域内的，使得，进而判断方程是否有解.
5．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由圆的半径、周期性以及锐角三角函数即可求解；
（2）不妨设，由题意得，通过分类讨论即可求解；
（3）由题意首先得，，由此即可进一步求解.
【详解】（1）如图，设筒车与水面的交点为，，连接，
过点作于点，过点分别作于点，于点，

则，
因为筒车转一周需要1分钟，所以，
故.
在中，，
所以，即.
（2）由（1）知，.
不妨设，由题意得，
故，
所以，或，.
当，时，解得，，
故，当且仅当，时，等号成立.
此时的最小值为60；
当，时，解得，
显然当时，取得最小值40.
综上，的最小值为.
（3）设在筒车运行一周的过程中，相邻两个盛水筒距离水面的高度差为，
两个相邻的盛水筒的位置分别用和表示，则.
所以
，
当，即，时，
高度差的最大值为.
【点睛】关键点睛：第三问的关键是准确求出，由此即可顺利得解.
6．(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）利用双曲正、余弦函数的定义，结合指数运算即可得解.
（2）根据给定条件，列出不等式，分离参数构造函数并求出最值即得.
（3）作差，结合指数函数单调性及正余弦函数的性质推理判断即可.
【详解】（1）.
（2）依题意，，不等式，
函数在上单调递增，，令，
显然函数在上单调递减，在上单调递增，，
又，于是，，
因此，，显然函数在上单调递减，
当时，，从而，
所以实数的取值范围是.
（3），.
依题意，，
，
当时，，，即，
于是，而，因此，
当时，，则，，
即，而，因此，
于是，，所以.
【点睛】结论点睛：函数的定义区间为，①若，总有成立，则；②若，总有成立，则；③若，使得成立，则；④若，使得成立，则.
7．(1)
(2)
【分析】（1）由已知条件求出的值，可得出，令，可知函数在上有最小值，分、两种情况讨论，在第一种情况下，直接验证即可；在第二种情况下，根据二次函数的基本性质可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围；
（2）分、、三种情况讨论，由结合参变量分离法可得出在三种情况下的取值范围，综合可得结果.
【详解】（1）解：由题意可知，，且且，则，则，
所以，，
令，则，
当时，函数在上无最小值，不合乎题意，
当时，要使得函数在上有最小值，则，解得，
因此，实数的取值范围是.
（2）解：已知函数，若存在非零实数，使得，
①当时，由可得，
可得，
不妨设，，则，
由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递增，则；
②当时，不妨设，
由，可得，可得，
令，其中，任取、且，
则，且余弦函数在上单调递减，
所以，，则，
因为，则，
由不等式的基本性质可得，即，
所以，函数在上单调递减，
又因为函数在上为增函数，
所以，函数在上为增函数，
且，，
所以，当时，，即；
③当时，不妨设，由，
可得，直则，
因为函数、在上单调递增，
则函数在上单调递增，则，即.
综上所述，实数的取值范围是.
【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：
（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．
8．(1)
(2)
【分析】（1）由题意通过换元法，转换为定区间动轴的二次函数最值问题，对对称轴位置分类讨论即可求解.
（2）由题意首先将原问题转换为在恒成立，进一步在恒成立．通过换元法求得即可.
【详解】（1）函数，
令，，所以，，
①当，即时，，解得，
②当，即时，（舍去）．
综上所述，实数的值为．
（2）当时，对，，都有成立，
则．
由（1）可知时，，
所以．
则在恒成立，
即在恒成立，
则在恒成立．
令，，则，
因为在单调递增，所以，
所以，
所以，
综上所述，实数的取值范围为．
【点睛】关键点睛：第一问的关键是转换为二次函数最值求参数，第二问的关键是分离参数与换元法有机结合，由此即可顺利得解.
9．(1)是中心对称函数，对称中心为
(2)
(3)是中心对称函数，对称中心为.
【分析】（1）根据题意，由函数的解析式可得，即可得结论；
（2）若定义在上的函数为中心对称函数，其对称中心的横坐标必为， 由可知，，即可得出的值；
（3）根据题意，由函数的解析式可得，即可得结论．
【详解】（1）根据题意，的定义域为，
，若对，
都有，
所以中心对称函数，对称中心为；
（2）若定义在上的函数为中心对称函数，
明显定义域仅关于点对称，其对称中心的横坐标必为，
则
，
因为为中心对称函数，
则为定值，则，即，
所以关于点对称.
（3）函数的图象是中心对称图形，其对称中心为点
解方程得，所以函数的定义域为
明显定义域仅关于点对称
所以若函数的图象是中心对称图形，则其对称中心横坐标必为
设其对称中心为点， 则由题意可知有，
令，可得， 所以
所以若函数为中心对称图形，其对称中心必定为点
下面论证函数的图象关于点成中心对称图形：
即只需证明，
，得证.
【点睛】结论点睛：函数的对称性：
（1）若，则函数关于中心对称；
（2）若，则函数关于对称.
10．(1)，图象见解析；
(2)①；②.
【分析】（1）根据给定的函数性质，求出即可求出解析式，再作出函数图象.
（2）分析函数在上的性质，结合零点的意义及函数图象求出的范围即得.
【详解】（1）因为函数在上单调递减，且在、处分别取到最大值1和最小值，
因此函数的周期，，
由，得，又，则，
所以的解析式是，
作出函数在上的图象：
（2）①当时，函数在上单调递增，函数值从增大到1，
在上单调递减，函数值从1减小到，在上单调递增，函数值从增大到0，
由，得，依题意，直线与函数在上的图象有3个公共点，
在同一坐标系内作出直线与函数在上的图象，

观察图象知，当，即时，直线与函数在上的图象有3个公共点，
所以函数恰有三个不同的零点，实数a的取值范围是.
②由①知，函数在上的图象关于直线对称，且，
于是，，令，
则，，即，
所以的取值范围是.
【点睛】用“五点法”作的简图，主要是通过变量代换，设，由z取0，，π，，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．
11．(1)不存在，理由见解析
(2)证明见解析
(3).
【分析】（1）假设，代入函数解析式可得出，计算，即可得出结论；
（2）由，可得出，令，利用零点存在定理证明出函数在内存在零点，即可证得结论成立；
（3）由已知可得，利用对数的运算性质可得，令，可得出，利用基本不等式即可求得的取值范围.
【详解】（1）解：不存在，理由如下：
若，则，
整理得，
因为，该方程无解，
所以，不存在实数使得函数为“伴和函数”.
（2）证明：由，
得，整理得，
设因为在内连续不断，
且，，则，
所以，在内存在零点，所以，在内存在零点，
即方程在内存在实根，
故函数在上为“伴和函数”.
（3）解：若函数在上为“伴和函数”，则，
即，
整理得，
令，则，
所以，.
因为，当且仅当，即时等号成立，
所以，，所以，，
即，所以，实数的取值范围为.
【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：
（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．
12．(1)
(2)最大值为最小值为
(3)或
【分析】（1）可化为，通过分析的单调性列不等式求解；
（2）换元法转化为二次函数求最值；
（3）分离参数先转化为对x恒成立，求得最值，再转化为对a恒成立，求最值解不等式即可.
【详解】（1）由题意，函数，
方程可化为，
易知函数在和上单调递减, 在和单调递增,
故,无最大值,又,
当且，
若方程在上有四个不相等的实数根，
则，解得.
（2）若函数的定义域为，
则，
故的定义域为，
令， 则,其对称轴为，
函数在上单调递减，在上单调递增，
且，
故函数的最大值为最小值为.
（3）恒成立，
转化为，
，
由对勾函数性质可知在单调递减，且，
则，
，
所以恒成立，即对恒成立，
又，所以，解得或.
【点睛】关键点睛：第二问注意函数定义域不是，第三问注意对勾函数性质应用.
13．(1)
(2)在上单调递减，值域是．
(3)
【分析】（1）利用换元法，令，代入化简即可求出函数的解析式；
（2）可设，利用复合函数的单调性，即可判定函数的单调性，进而求得值域；
（3）由（2）知，，，结合的单调性可知当时，时，，由恒成立，即为恒成立，设，只需不等式在上恒成立，讨论的取值范围即可求解.
【详解】（1）由题意，令，则，
有，故
（2）函数，由，即定义域为，
且在上单调递减及单调递增
所以在上单调递减．
因为，，所以的值域是
（3）结合（2）结论知在上单调递减且，
又在上单调递增且
故当时，时，，
由恒成立，
即在上恒成立，设，
则不等式在上恒成立，
①当时，不等式化为，显然不满足恒成立；
②当时，将代入得，与矛盾；
③当时，只需，
综上，实数的值为-1．
【点睛】关键点点睛：本题考查了换元法求函数的解析式，函数的单调性，解题的关键是根据函数的单调性得出，转化为二次不等式恒成立，考查了分类讨论的思想.
14．(1)
(2)
【分析】（1）用换元法转化成二次函数的值域问题求解.
（2）把问题转化成，恒成立，再化为最值问题，讨论求解.
【详解】（1）,
设，则，.
则.
当时，函数在上递减，在上递增.
此时，，;
当时，函数在上递减，在上递增.
此时，，；
当时，函数在上递减，在上递增.
此时，，；
当时，函数在上递减，在上递增.
此时，，.
综上：.
（2）恒成立可化为，恒成立.
①当时，，，
所以且，
解得：；
②当时，，，
故且
解得：；
③当时，，，
故且，
解得：;
当时，，，
故且，
解得：
综上所述：.
【点睛】方法点睛：先利用换元法，把问题转化成为二次函数的值域问题是突破口，再者，该题考查了函数的最值，恒成立问题的处理方法，特别是讨论比较复杂，一定要认真仔细.
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