(新高考)高考数学一轮复习学案+巩固提升练习8.3《圆的方程》(2份打包，原卷版+教师版)

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知识梳理
1．圆的定义和圆的方程
2.点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x﹣a)2＋(y﹣b)2＝r2之间存在着下列关系：
(1)|MC|>r⇔M在圆外，即(x0﹣a)2＋(y0﹣b)2>r2⇔M在圆外；
(2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0﹣a)2＋(y0﹣b)2＝r2⇔M在圆上；
(3)|MC|0.( )
教材改编题
1．圆x2＋y2﹣4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是( )
A．(2,3)，3 B．(﹣2,3)，eq \r(3) C．(﹣2，﹣3)，13 D．(2，﹣3)，eq \r(13)
2．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )
A．(x﹣1)2＋(y﹣1)2＝1B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D．(x﹣1)2＋(y﹣1)2＝2
3．若坐标原点在圆(x﹣m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则实数m的取值范围为________．
题型一 圆的方程
例1 (1)已知圆M与直线3x﹣4y＝0及3x﹣4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝﹣x﹣4上，则圆M的方程为( )
A．(x＋3)2＋(y﹣1)2＝1B．(x﹣3)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1D．(x﹣3)2＋(y﹣1)2＝1
(2)已知圆的圆心在直线x﹣2y﹣3＝0上，且过点A(2，﹣3)，B(﹣2，﹣5)，则圆的一般方程为________________．
教师备选
1．已知圆E经过三点A(0,1)，B(2,0)，C(0，﹣1)，则圆E的标准方程为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))2＋y2＝eq \f(25,4)B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,4)))2＋y2＝eq \f(25,16)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,4)))2＋y2＝eq \f(25,16)D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,4)))2＋y2＝eq \f(25,4)
2．在平面直角坐标系Oxy中，以点(0,1)为圆心且与直线x﹣by＋2b＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为( )
A．x2＋(y﹣1)2＝4 B．x2＋(y﹣1)2＝2
C．x2＋(y﹣1)2＝8 D．x2＋(y﹣1)2＝16
思维升华 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；
②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
跟踪训练1 (1)圆心在y轴上，半径长为1，且过点A(1,2)的圆的方程是( )
A．x2＋(y﹣2)2＝1B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x﹣1)2＋(y﹣3)2＝1D．x2＋(y﹣3)2＝4
(2)若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是( )
A．(x﹣3)2＋(y﹣1)2＝1B．(x﹣2)2＋(y﹣1)2＝1
C．(x＋2)2＋(y﹣1)2＝1D．(x﹣2)2＋(y＋1)2＝1
题型二 与圆有关的轨迹问题
例2 已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(﹣1,0)，B(3,0)．求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．
教师备选
已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
思维升华 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．
(3)几何法：利用圆的几何性质列方程．
(4)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．
跟踪训练2 (1)当点P在圆x2＋y2＝1上运动时，连接它与定点Q(3,0)，则线段PQ的中点M的轨迹方程是( )
A．(x＋3)2＋y2＝1B．(x﹣3)2＋y2＝1
C．(2x﹣3)2＋4y2＝1D．(2x＋3)2＋4y2＝1
(2)自圆C：(x﹣3)2＋(y＋4)2＝4外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为( )
A．8x﹣6y﹣21＝0 B．8x＋6y﹣21＝0
C．6x＋8y﹣21＝0 D．6x﹣8y﹣21＝0
题型三 与圆有关的最值问题
命题点1 利用几何性质求最值
例3 已知M(x，y)为圆C：x2＋y2﹣4x﹣14y＋45＝0上任意一点，且点Q(﹣2,3)．
(1)求|MQ|的最大值和最小值；
(2)求eq \f(y－3,x＋2)的最大值和最小值；
(3)求y﹣x的最大值和最小值．
命题点2 利用函数求最值
例4 设点P(x，y)是圆x2＋(y﹣3)2＝1上的动点，定点A(2,0)，B(﹣2,0)．则eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的最大值为________．
延伸探究 若将本题改为“设点P(x，y)是圆(x﹣3)2＋y2＝4上的动点，定点A(0,2)，B(0，﹣2)”，则|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))|的最大值为________．
教师备选
1．已知圆C：(x﹣3)2＋(y﹣4)2＝1和两点A(﹣m，0)，B(m，0)(m>0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为( )
A．7 B．6 C．5 D．4
2．若点P为圆x2＋y2＝1上的一个动点，A(﹣1,0)，B(1,0)为两个定点，则|PA|＋|PB|的最大值为( )
A．2 B．2eq \r(2) C．4eq \r(2) D．4
思维升华 与圆有关的最值问题的求解方法
(1)借助几何性质求最值：形如μ＝eq \f(y－b,x－a)，t＝ax＋by，(x﹣a)2＋(y﹣b)2形式的最值问题．
(2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值．
(3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．
跟踪训练3 (1)已知A(﹣2,0)，B(2,0)，点P是圆C：(x﹣3)2＋(y﹣eq \r(7))2＝1上的动点，则|AP|2＋|BP|2的最小值为( )
A．9 B．14 C．16 D．26
(2)已知x，y满足x2＋y2﹣4x﹣2y﹣4＝0，则eq \f(2x＋3y＋3,x＋3)的最大值为( )
A．2 B.eq \f(17,4) C.eq \f(29,5) D.eq \f(13\r(13),4)
课时精练
1．圆x2＋y2＋4x﹣6y﹣3＝0的圆心坐标和半径分别为( )
A．(4，﹣6)，16 B．(2，﹣3)，4 C．(﹣2,3)，4 D．(2，﹣3)，16
2．圆(x﹣1)2＋(y﹣2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为( )
A．(x﹣2)2＋(y﹣1)2＝1B．(x＋1)2＋(y﹣2)2＝1
C．(x＋2)2＋(y﹣1)2＝1D．(x﹣1)2＋(y＋2)2＝1
3．已知圆C的半径为2，圆心在x轴正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为( )
A．x2＋y2﹣2x﹣3＝0B．x2＋y2＋4x＝0
C．x2＋y2＋2x﹣3＝0D．x2＋y2﹣4x＝0
4．点P(4，﹣2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )
A．(x﹣2)2＋(y＋1)2＝1B．(x﹣2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y﹣2)2＝4D．(x＋2)2＋(y﹣1)2＝1
5．(多选)已知△ABC的三个顶点为A(﹣1,2)，B(2,1)，C(3,4)，则下列关于△ABC的外接圆圆M的说法正确的是( )
A．圆M的圆心坐标为(1,3) B．圆M的半径为eq \r(5)
C．圆M关于直线x＋y＝0对称 D．点(2,3)在圆M内
6．(多选)设有一组圆Ck：(x﹣k)2＋(y﹣k)2＝4(k∈R)，下列命题正确的是( )
A．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上
B．所有圆Ck均不经过点(3,0)
C．经过点(2,2)的圆Ck有且只有一个
D．所有圆的面积均为4π
7．已知圆C的圆心在x轴上，并且经过点A(﹣1,1)，B(1,3)，若M(m，eq \r(6))在圆C内，则m的取值范围为________．
8．已知A(0,2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2﹣4x﹣2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是________．
9．已知圆心为C的圆经过点A(﹣1,1)和B(﹣2，﹣2)，且圆心在直线l：x＋y﹣1＝0上．
(1)求圆心为C的圆的标准方程；
(2)设点P在圆C上，点Q在直线x﹣y＋5＝0上，求|PQ|的最小值．
10．已知点A(﹣3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.
(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；
(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．
11．点A为圆(x﹣1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，|PA|＝1，则点P的轨迹方程是( )
A．(x﹣1)2＋y2＝4B．(x﹣1)2＋y2＝2
C．y2＝2xD．y2＝﹣2x
12．等边△ABC的面积为9eq \r(3)，且△ABC的内心为M，若平面内的点N满足|MN|＝1，则eq \(NA,\s\up6(→))·eq \(NB,\s\up6(→))的最小值为( )
A．﹣5﹣2eq \r(3) B．﹣5﹣4eq \r(3) C．﹣6﹣2eq \r(3) D．﹣6﹣4eq \r(3)
13．(多选)已知圆C过点M(1，﹣2)且与两坐标轴均相切，则下列叙述正确的是( )
A．满足条件的圆C的圆心在一条直线上
B．满足条件的圆C有且只有一个
C．点(2，﹣1)在满足条件的圆C上
D．满足条件的圆C有且只有两个，它们的圆心距为4eq \r(2)
14．已知长为2a(a＞0)的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点的轨迹方程为________．
15．已知直线l：3x＋4y＋m＝0，圆C：x2＋y2﹣4x＋2＝0，则圆C的半径r＝________；若在圆C上存在两点A，B，在直线l上存在一点P，使得∠APB＝90°，则实数m的取值范围是______．
16．在平面直角坐标系Oxy中，曲线Γ：y＝x2﹣mx＋2m(m∈R)与x轴交于不同的两点A，B，曲线Γ与y轴交于点C.
(1)是否存在以AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由；
(2)求证：过A，B，C三点的圆过定点．
定义
平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆
方
程
标
准
(x﹣a)2＋(y﹣b)2＝r2(r>0)
圆心C(a，b)
半径为r
一
般
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2﹣4F>0)
圆心Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))
半径r＝eq \f(1,2)eq \r(D2＋E2－4F)