2023-2024学年广东省深圳大学附中教育集团九年级（下）开学数学试卷(含解析）

这是一份2023-2024学年广东省深圳大学附中教育集团九年级（下）开学数学试卷(含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.一元二次方程2x2−5x−2=0的根的情况是( )
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
2.矩形、菱形都具有的性质是( )
A. 对角线互相垂直B. 对角线互相平分
C. 对角线相等D. 对角线互相垂直且相等
3.某校即将举行田径运动会，“体育达人”小明从“跳高”“跳远”“100米”“400米”四个项目中，随机选择两项，则他选择“100米”与“400米”两个项目的概率是( )
A. 12B. 14C. 16D. 112
4.关于x的一元二次方程(a−1)x2+x+a2−1=0的一个根是0，则a的值为( )
A. −1B. 1C. 1或−1D. 0.5
5.如果有点A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)在反比例函数y=kx(k<0)的图象上，如果x1>x2>0>x3，则y1、y2、y3的大小关系是( )
A. y36.抛物线y=ax2−a(a≠0)与直线y=kx交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，若x1+x2<0，则直线y=ax+k一定经过( )
A. 第一、二象限B. 第二、三象限C. 第三、四象限D. 第一、四象限
7.如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为( )
A. 12
B. 13
C. 14
D. 24
8.小华将一副三角板(∠C=∠D=90°,∠B=30°,∠E=45°)按如图所示的方式摆放，其中AB/​/EF，则∠1的度数为( )
A. 45°
B. 60°
C. 75°
D. 105°
9.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，AC=x，∠BAC=α，O为AB中点，若点D为直线BC下方一点，且△BCD与△ABC相似，则下列结论：
①若α=45°，BC与OD相交于E，则点E不一定是△ABD的重心；
②若α=60°，则AD的最大值为2 7；
③若α=60°，△ABC∽△CBD，则OD的长为2 3；
④若△ABC∽△BCD，则当x=2时，AC+CD取得最大值．
其中正确的为( )
A. ①④B. ②③C. ①②④D. ①③④
10.如图，关于x的函数y的图象与x轴有且仅有三个交点，分别是(−3,0)，(−1,0)，(3,0)，对此，小华认为：①当y>0时，−3−3时，y有最小值；③点P(m,−m−1)在函数y的图象上，符合要求的点P只有1个；④将函数y的图象向右平移1个或3个单位长度经过原点.其中正确的结论有( )
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.如果a：b=3：2，那么a+ba−b= ______．
12.现有两枚质地均匀的正方体骰子，每枚骰子的六个面上都分别标有数字1，2，3，4，5，6，同时投掷这两枚骰子，以朝上一面所标的数字为掷得的结果，那么所得结果之和不小于9的概率是______．
13.我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：“几个人一起去购买某物品，每人出8钱，则多出3钱；每人出7钱，则还差4钱.问人数、物品的价格分别是多少？”该问题中的人数为______．
14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=3，将△ABC绕点C逆时针旋转到△EDC的位置，点B的对应点D首次落在斜边AB上，则点A的运动路径的长为______．
15.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B都在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，延长AB交y轴于点C，过点A作AD⊥y轴于点D，连接BD并延长，交x轴于点E，连接CE.若AB=2BC，△BCE的面积是4.5，则k的值为______．
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
计算：(12)−1+4cs60°−(5−π)0．
17.(本小题8分)
为了深入推动大众旅游，满足人民群众美好生活需要，我市举办中国旅游日惠民周活动，活动主办方在活动现场提供免费门票抽奖箱，里面放有4张相同的卡片，分别写有景区：A.宜兴竹海，B.宜兴善卷洞，C.阖闾城遗址博物馆，D.锡惠公园.抽奖规则如下：搅匀后从抽奖箱中任意抽取一张卡片，记录后放回，根据抽奖的结果获得相应的景区免费门票．
(1)小明获得一次抽奖机会，他恰好抽到景区A门票的概率是______．
(2)小亮获得两次抽奖机会，求他恰好抽到景区A和景区B门票的概率．
18.(本小题8分)
教室里的投影仪投影时，可以把投影光线CA，CB及在黑板上的投影图象高度AB抽象成如图所示的△ABC，∠BAC=90°，黑板上投影图象的高度AB=120cm，CB与AB的夹角∠B=33.7°，求AC的长.(结果精确到1cm.参考数据：sin33.7°≈0.55，cs33.7°≈0.83，tan33.7°≈0.67)
19.(本小题8分)
某景区旅游商店以20元/kg的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于22元/kg，不高于45元/kg.经市场调查发现每天的销售量y(kg)与销售价格x(元/kg)之间的函数关系如图所示．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润=(销售价格−采购价格)×销售量】
20.(本小题8分)
课本再现
定理证明
(1)为了证明该定理，小明同学画出了图形(如图1)，并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．
已知：在▱ABCD中，对角线BD⊥AC，垂足为O．
求证：▱ABCD是菱形．

知识应用
(2)如图2，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AD=5，AC=8，BD=6．
①求证：▱ABCD是菱形；
②延长BC至点E，连接OE交CD于点F，若∠E=12∠ACD，求OFEF的值．
21.(本小题8分)
定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数．
【初步理解】
(1)现有以下两个函数：①y=x2−1；②y=x2−x，其中，______为函数y=x−1的轴点函数.(填序号)
【尝试应用】
(2)函数y=x+c(c为常数，c>0)的图象与x轴交于点A，其轴点函数y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为点B.若OB=14OA，求b的值．
【拓展延伸】
(3)如图，函数y=12x+t(t为常数，t>0)的图象与x轴、y轴分别交于M，C两点，在x轴的正半轴上取一点N，使得ON=OC.以线段MN的长度为长、线段MO的长度为宽，在x轴的上方作矩形MNDE.若函数y=12x+t(t为常数，t>0)的轴点函数y=mx2+nx+t的顶点P在矩形MNDE的边上，求n的值．
22.(本小题8分)
综合与实践
问题提出
某兴趣小组开展综合实践活动：在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，CD= 2，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF.设点P的运动时间为t s，正方形DPEF的面积为S，探究S与t的关系．
初步感知
(1)如图1，当点P由点C运动到点B时，
①当t=1时，S= ______；
②S关于t的函数解析式为______．
(2)当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象.请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段AB的长．
延伸探究
(3)若存在3个时刻t1，t2，t3(t1①t1+t2= ______；
②当t3=4t1时，求正方形DPEF的面积．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵一元二次方程2x2−5x−2=0，
∴Δ=(−5)2−4×2×(−2)=41>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选B．
本题考查根的判别式．
先计算判别式的值，然后根据判别式的值判断方程根的情况．
2.【答案】B
【解析】【分析】
由矩形的性质和菱形的性质可直接求解．
本题考查了矩形的性质，菱形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
【解答】
解：∵菱形的对角线互相垂直平分，矩形的对角线互相平分且相等，
∴矩形、菱形都具有的性质是对角线互相平分，
故选：B．
3.【答案】C
【解析】解：跳高(记为项目1)、跳远(记为项目2)、100米短跑(记为项目3)、400米中长跑(记为项目4)，
画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，恰好抽到“100米”和“400米”两项的有2种情况，
∴恰好抽到“100米”和“400米”的概率是：212=16．
故选：C．
画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
4.【答案】A
【解析】解：把x=0代入方程得a2−1=0，
解得a=1或−1，
由于该方程是一元二次方程，
则有a−1≠0，所以a的值为−1．
故选：A．
先把x=0代入方法求出a的值，然后根据一元二次方程的定义确定满足条件的a的值．
本题考查了一元二次方程的解和一元二次方程的定义，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解；一元二次方程的未知数的最高项次数为2，且最高项系数不为零．
5.【答案】C
【解析】解：∵反比例函数为y=kx(k<0)，
∴函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y随着x的增大而增大，
又∵x1>x2>0>x3，
∴y1<0，y2<0，y3>0，且y1>y2，
∴y2故选：C．
依据反比例函数为y=kx(k<0)，可得函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y随着x的增大而增大，进而得到y1，y2，y3的大小关系．
本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
6.【答案】D
【解析】解：∵抛物线y=ax2−a(a≠0)与直线y=kx交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，
∴kx=ax2−a，
∴ax2−kx−a=0，
∴x1+x2=ka，
∴ka<0，
当a>0，k<0时，直线y=ax+k经过第一、三、四象限，
当a<0，k>0时，直线y=ax+k经过第一、二、四象限，
综上，直线y=ax+k一定经过一、四象限．
故选：D．
根据已知条件可得出ax2−kx−a=0，再利用根与系数的关系，分情况讨论即可．
本题考查了二次函数与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系．
7.【答案】B
【解析】解：过C点作CD⊥AB，垂足为D．
根据旋转性质可知，∠B′=∠B．
在Rt△BCD中，tanB=CDBD=13，
∴tanB′=tanB=13．
故选：B．
过C点作CD⊥AB，垂足为D，根据旋转性质可知，∠B′=∠B，把求tanB′的问题，转化为在Rt△BCD中求tanB．
本题考查了旋转的性质：旋转后对应角相等，考查三角函数的定义及三角函数值的求法．
8.【答案】C
【解析】解：设AB与DF交于点O，
由题意得，∠F=45°，∠A=60°，
∵AB/​/EF，
∴∠AOF=∠F=45°，
∴∠1=180°−∠A−∠AOF=180°−60°−45°=75°．
故选：C．
设AB与DF交于点O，根据平行线的性质可得∠AOF=∠F=45°，则∠1=180°−∠A−∠AOF=75°．
本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：①有3种情况，如图1，BC和OD都是中线，点E是重心；
如图2，四边形ABDC是平行四边形，F是AD中点，点E是重心；
如图3，点F不是AD中点，所以点E不是重心；
故①正确；

②当α=60°，如图，AD取得最大值，AB=4，
∴AC=BE=2，BC=AE=2 3，BD= 3BC=6，
∴DE=8，
∴AD=2 19≠2 7，
∴②错误．
③如图，若α=60°，△ABC∽△CBD，
∴∠BCD=60°，∠CDB=90°，AB=4，AC=2，BC=2 3，OE= 3，CE=1，
∴CD= 3，GE=DF= 32，CF=32，
∴EF=DG=52，OG= 32，
∴OD= 7≠2 3，
∴③错误．
④如图，△ABC∽△BCD，
∴CDBC=BCAB，
即CD=14BC2，
在Rt△ABC中，BC2=16−x2，
∴CD=14(16−x2)=−14x2+4，
∴AC+CD=x−14x2+4=−14(x−2)2+5，
当x=2时，AC+CD最大为5，
故④正确．
故选：A．
①有3种情况，分别画出图形，得出△ABD的重心，即可求解；
②当α=60°，BD⊥BC时，AD取得最大值，进而根据已知数据，结合勾股定理，求得AD的长，即可求解；
③如图，若α=60°，△ABC∽△CBD，根据相似三角形的性质求得CD= 3.GE=DF= 32，CF=32，进而求得OD，即可求解；
④如图，根据相似三角形的性质得出CD=14BC2，在Rt△ABC中，BC2=16−x2，根据二次函数的性质，即可求AC+CD取得最大值时，x=2．
本题考查三角形重心的定义，勾股定理，相似三角形的性质，二次函数的性质，分类讨论，画出图形是解题关键．
10.【答案】C
【解析】【分析】
①②通过观察函数图象判断即可；
③写出点P所在的函数，并画出其图象，根据它们交点的个数判断即可；
④通过观察函数图象判断即可．
本题考查函数的图象，根据函数图象分析其上坐标的特点是本题的关键．
【解答】
解：①当y>0时，−33，
∴①不正确．
②由图象可知，当x>−3时，y有最小值，
∴②正确．
③令x=m，y=−m−1，
∴y=−x−1，
∴点P(m,−m−1)在直线y=−x−1上．
y=−x−1的函数图象为：
由图象可以看出，它们有三个交点，
∴符合要求的点P有3个，
∴③不正确．
④将函数y的图象向右平移1个单位长度时，原图象上坐标为(−1,0)的点过原点；
将函数y的图象向右平移3个单位长度时，原图象上坐标为(−3,0)的点过原点；
∴④正确．
综上，正确的结论有②④共2个．
故选：C．
11.【答案】5
【解析】解：∵a：b=3：2，
∴设a=3k，b=2k，
∴a+ba−b=3k+2k3k−2k=5kk=5，
故答案为：5．
利用设k法进行计算即可解答．
本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法进行计算是解题的关键．
12.【答案】518
【解析】解：根据题意列表如下：
共有36种等可能的结果数，其中所得结果之和不小于9的有10种结果，
则所得结果之和不小于9的概率是1036=518；
故答案为：518．
先画树状图展示所有36种等可能的结果数，再找出两枚骰子向上一面的数字之和不小于9的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
13.【答案】7人
【解析】解：设该问题中的人数为x人，物品的价格为y钱，
根据题意得：8x−y=3y−7x=4，
解得：x=7y=53，
∴该问题中的人数为7人．
故答案为：7人．
设该问题中的人数为x人，物品的价格为y钱，根据“几个人一起去购买某物品，每人出8钱，则多出3钱；每人出7钱，则还差4钱”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
14.【答案】 3π
【解析】解：∵∠ACB=90°，∠B=60°，BC=3，
∴AC=3 3，
∵将△ABC绕点C逆时针旋转到△EDC的位置，
∴CB=CD，∠BCD=∠ACE，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠BCD=∠ACE=60°，
∴点A的运动路径的长为60⋅π⋅3 3180= 3π，
故答案为： 3π.
由直角三角形的性质可求AC=3 3，由旋转的性质可求CB=CD，∠BCD=∠ACE，可证△BCD是等边三角形，可得∠BCD=∠ACE=60°，由弧长公式可求解．
本题考查了轨迹，旋转的性质，弧长的计算，直角三角形的性质，求出旋转角是解题的关键．
15.【答案】6
【解析】解：过点B分别作BM⊥AD于点M，BN⊥CD于点N，
设点B(m,n)，k=mn，
则BN//AD，则△CNB∽△CDA，
则BNAD=BCAC=13，即mAD=13，
即AD=3m，
则k=mn=3m⋅yA，则yA=13n，
则点A(3m,13n)，则点D(0,13n)，
由点B、D的坐标得，直线BD的表达式为：y=2n3mx+13n，
则点E(−12m,0)；
由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y=−n3m(x−m)+n，
则点C(0,4n3)，则CD=n，
∵△BCE的面积=S△CDB+S△CDE=12×CD⋅(xB−xE)=12×n×(m+12m)=4.5，
则mn=6=k，
故答案为：6．
证明△CNB∽△CDA，得到BNAD=BCAC=13，即mAD=13，求出点A(3m,13n)，则点D(0,13n)，由△BCE的面积=S△CDB+S△CDE=12×CD⋅(xB−xE)，即可求解．
本题为反比例函数综合题，考查了三角形相似、用字母表示坐标等基本数学知识，利用了数形结合的数学思想．
16.【答案】解：由题意，原式=2+4×12−1
=2+2−1
=3．
【解析】先算负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，再算乘法，最后算加减即可．
本题主要考查实数的运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
17.【答案】解：(1)14；
(2)画树状图如下：
∴一共有16种等可能的情况，恰好抽到景区A和景区B门票的情况有2种，
∴他恰好抽到景区A和景区B门票的概率为216=18．
【解析】解：(1)一共有4种情况，恰好抽到景区A门票的概率是14，
故答案为：14；
(2)见答案．
(1)根据概率公式求解即可；
(2)画出树状图，得出总的结果数和恰好抽到景区A和景区B门票的情况数，即可由概率公式计算．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
18.【答案】解：在Rt△ABC中，AB=120cm，∠BAC=90°，∠B=33.7°，
∴tanB=ACAB，
∴AC=AB⋅tan33.7°≈120×0.67=80.4≈80(cm)，
∴AC的长约为80cm．
【解析】在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
19.【答案】解：(1)当22≤x≤30时，设函数表达式为y=kx+b，
将(22,48)，(30,40)代入解析式得，22k+b=4830k+b=40，
解得k=−1b=70，
∴函数表达式为：y=−x+70；
当30将(30,40)，(45,10)代入解析式得，30m+n=4045m+n=10，
解得m=−2n=100，
∴函数表达式为：y=−2x+100，
综上，y与x的函数表达式为：y=−x+70(22≤x≤30)−2x+100(30(2)设利润为w元，当22≤x≤30时，w=(x−20)(−x+70)=−x2+90x−1400=−(x−45)2+625，
∵在22≤x≤30范围内，w随着x的增大而增大，
∴当x=30时，w取得最大值为400；
当30当x=35时，w取得最大值为450；
∵450>400，
∴当销售价格为35元/kg时，利润最大为450元．
【解析】(1)由图象可知，分两种情况：当22≤x≤30时，当30(2)设销售利润为w元，再根据销售利润=(销售价格−采购价格)×销售量列出w与x的关系式，利用二次函数的性质求解即可．
本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，关键是根据题意求出二次函数的解析式以及利用增减性求出最值．
20.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO=DO，
又∵D⊥AC，垂足为O，
∴AC是BD的垂直平分线，
∴AB=AD，
∴▱ABCD是菱形．
(2)①证明：∵▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC=8，BD=6，
∴AO=CO=12AC=4，DO=12BD=3，
又∵AD=5，
∴在三角形AOD中，AD2=AO2+DO2，
∴∠AOD=90°，
即BD⊥AC，
∴▱ABCD是菱形；
②解：如图，设CD的中点为G，连接OG，

∴OG是△ACD的中位线，
∴OG=12AD=52，
由①知：四边形ABCD是菱形，
∴∠ACD=∠ACB，
又∵∠E=12∠ACD，
∴∠E=12∠ACB，
又∵∠ACB=∠E+∠COE，
∴∠E=∠COE，
∴CE=CO=4，
∵OG是△ACD的中位线，
∴OG//AD//BE，
∴△OGF∽△ECF，
∴OFEF=OGCE，
又∵OG=52，CE=4，
∴OFEF=524=58．
【解析】(1)根据平行四边形的性质和已知条件判定AC是BD的垂直平分线，推出AB=AD后利用菱形的定义即可判定▱ABCD是菱形；
(2)①根据平行四边形的性质求出AO、DO的长，然后根据勾股定理逆定理判定∠AOD，然后根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形．”即可得证；
②设CD的中点为G，连接OG，根据已知条件求出OG、CE的长，判定△OGF∽△ECF，然后根据相似三角形的性质即可求出OFEF的值．
本题是相似形综合题，主要考查菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及中位线定理，深入理解题意是解决问题的关键．
21.【答案】(1)①；
(2)令y=0，得x+c=0，
解得：x=−c，
∴A(−c,0)，
令x=0，得y=c，
∴函数y=x+c(c为常数，c>0)的图象与y轴交于点(0,c)，
∵其轴点函数y=ax2+bx+c经过点A(−c,0)，
∴ac2−bc+c=0，且c>0，
∴ac−b+1=0，即b=ac+1，
∴y=ax2+(ac+1)x+c，
设B(x′,0)，
则x′(−c)=ca，
∴x′=−1a，
∴B(−1a,0)，
∴OB=|1a|，OA=c，
∵OB=14OA，
∴|1a|=14c，
∴ac=±4，
∴b=5或−3；
(3)由题意得：M(−2t,0)，C(0,t)，N(t,0)，
∵四边形MNDE是矩形，ME=OM=2t，
∴D(t,2t)，E(−2t,2t)，
当m>0时，轴点函数y=mx2+nx+t的顶点P与点M重合，即P(−2t,0)，如图，
∴n2−4mt=0−n2m=−2t，
∴n2−n=0，且n≠0，
∴n=1；
当m<0时，轴点函数y=mx2+nx+t的顶点P在DE边上，即P(x,2t)，如图，
∴4mt2−2nt+t=04mt−n24m=2t，
消去m、t，得n2+2n−1=0，
解得：n1= 2−1，n2=− 2−1，
∵函数y=mx2+nx+t的对称轴在y轴左侧，
∴n与m同号，即n<0，
∴n=− 2−1；
综上所述，n的值为1或− 2−1．
【解析】解：(1)∵函数y=x−1与x轴的交点坐标为(1,0)，与y轴的交点坐标为(0,−1)，
函数y=x2−1与x轴的交点坐标为(1,0)，与y轴的交点坐标为(0,−1)，
函数y=x2−x与x轴的交点坐标为(1,0)，与y轴的交点坐标为(0,0)，
∴函数y=x2−1为函数y=x−1的轴点函数，函数y=x2−x不是函数y=x−1的轴点函数，
故答案为：①；
(2)令y=0，得x+c=0，
解得：x=−c，
∴A(−c,0)，
令x=0，得y=c，
∴函数y=x+c(c为常数，c>0)的图象与y轴交于点(0,c)，
∵其轴点函数y=ax2+bx+c经过点A(−c,0)，
∴ac2−bc+c=0，且c>0，
∴ac−b+1=0，即b=ac+1，
∴y=ax2+(ac+1)x+c，
设B(x′,0)，
则x′(−c)=ca，
∴x′=−1a，
∴B(−1a,0)，
∴OB=|1a|，OA=c，
∵OB=14OA，
∴|1a|=14c，
∴ac=±4，
∴b=5或−3；
(3)由题意得：M(−2t,0)，C(0,t)，N(t,0)，
∵四边形MNDE是矩形，ME=OM=2t，
∴D(t,2t)，E(−2t,2t)，
当m>0时，轴点函数y=mx2+nx+t的顶点P与点M重合，即P(−2t,0)，如图，
∴n2−4mt=0−n2m=−2t，
∴n2−n=0，且n≠0，
∴n=1；
当m<0时，轴点函数y=mx2+nx+t的顶点P在DE边上，即P(x,2t)，如图，
∴4mt2−2nt+t=04mt−n24m=2t，
消去m、t，得n2+2n−1=0，
解得：n1= 2−1，n2=− 2−1，
∵函数y=mx2+nx+t的对称轴在y轴左侧，
∴n与m同号，即n<0，
∴n=− 2−1；
综上所述，n的值为1或− 2−1．
(1)根据“轴点函数”的定义即可求得答案；
(2)由题意得A(−c,0)，ac2−bc+c=0，即b=ac+1，得出y=ax2+(ac+1)x+c，设B(x′,0)，则x′(−c)=ca，得出B(−1a,0)，再由OB=14OA，可得|1a|=14c，即ac=±4，即可求得b的值；
(3)由题意得：M(−2t,0)，C(0,t)，N(t,0)，D(t,2t)，E(−2t,2t)，分两种情况：当m>0时，轴点函数y=mx2+nx+t的顶点P与点M重合，即P(−2t,0)，可得n2−4mt=0−n2m=−2t，整理得n2−n=0，可得n=1；当m<0时，轴点函数y=mx2+nx+t的顶点P在DE边上，即P(x,2t)，可得4mt2−2nt+t=04mt−n24m=2t，消去m、t，得n2+2n−1=0，可得n=− 2−1．
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，矩形的性质，新定义等，理解新定义，运用数形结合思想和分类讨论思想是解题关键．
22.【答案】3 S=t2+2 4
【解析】解：(1)①当t=1时，CP=1，
又∵∠C=90°，CD= 2，
∴S=DP2=CP2+CD2=12+( 2)2=3．
故答案为：3；
②当点P由点C运动到点B时，CP=t，
∵∠C=90°，CD= 2，
∴S=DP2=CP2+CD2=t2+( 2)2=t2+2．
故答案为：S=t2+2；
(2)由图2可得：当点P运动到点B处时，PD2=BD2=6，当点P运动到点A处时，PD2=AD2=18，
抛物线的顶点坐标为(4,2)，
∴BC= BD2−CD2= 6−2=2，AD= 18=3 2，
∴M(2,6)，
设S=a(t−4)2+2，将M(2,6)代入，得4a+2=6，
解得：a=1，
∴S=(t−4)2+2=t2−8t+18，
∴AC=AD+CD=3 2+ 2=4 2，
在Rt△ABC中，AB= AC2+BC2= (4 2)2+22=6，
CB+AC=2+6=8，
∴抛物线的解析式为S=t2−8t+18(2≤t≤8)；
(3)①如图，则∠AHD=90°=∠C，
∵∠DAH=∠BAC，
∴△ADH∽△ABC，
∴DHBC=ADAB=AHAC，即DH2=3 26=AH4 2，
∴DH= 2，AH=4，
∴BH=2，DH=CD，
∵存在3个时刻t1，t2，t3(t1∴DP1=DP2=DP3，
∴CP1=t1，P2H=4−t2，
在Rt△CDP1和Rt△HDP2中，
CD=HDDP1=DP2，
∴Rt△CDP1≌Rt△HDP2(HL)，
∴CP1=HP2，
∴t1=4−t2，
∴t1+t2=4．
故答案为：4；
②∵DP3=DP1，DH=DC，∠DHP3=∠C=90°，
∴Rt△DHP3≌Rt△DCP1(HL)，
∴P3H=CP1，
∵P3H=t3−4，
∴t3−4=t1，
∵t3=4t1，
∴t1=43，
∴S=(43)2+2=349．
(1)①当t=1时，CP=1，运用勾股定理即可求得答案；
②由题意得CP=t，运用勾股定理可得S=DP2=CP2+CD2=t2+( 2)2=t2+2；
(2)观察图象可得当点P运动到点B处时，PD2=BD2=6，当点P运动到点A处时，PD2=AD2=18，抛物线的顶点坐标为(4,2)，由勾股定理可得BC= BD2−CD2=2，AD=3 2，即M(2,6)，设S=a(t−4)2+2，将M(2,6)代入，即可求得S=t2−8t+18，再利用勾股定理即可求得线段AB的长；
(3)①过点D作DH⊥AB于点H，可证得△ADH∽△ABC，得出DHBC=ADAB=AHAC，可求得DH= 2，AH=4，根据存在3个时刻t1，t2，t3(t1②证明Rt△DHP3≌Rt△DCP1(HL)，得出P3H=CP1，建立方程求解即可得出答案．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形面积等；解题关键是添加辅助线构造全等三角形和相似三角形．思考
我们知道，菱形的对角线互相垂直.反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？
可以发现并证明菱形的一个判定定理；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
1
2
3
4
5
6
1
(1,1)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
(5,1)
(6,1)
2
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
(5,2)
(6,2)
3
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(6,3)
4
(1,4)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
(5,4)
(6,4)
5
(1,5)
(2,5)
(3,5)
(4,5)
(5,5)
(6,5)
6
(1,6)
(2,6)
(3,6)
(4,6)
(5,6)
(6,6)