2023年山东省泰安市泰山区南关中学中考数学一模试卷(含解析）

这是一份2023年山东省泰安市泰山区南关中学中考数学一模试卷(含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.3的相反数是( )
A. 13B. 3C. −3D. ±13
2.下列计算正确的是( )
A. a2⋅a3=a6B. 5a−2a=3
C. (ab3)2=a2b6D. (a+b)(a−2b)=a2−2b2
3.2017年，全国参加汉语考试的人数约为6500000，将6500000用科学记数法表示为( )
A. 6.5×105B. 6.5×106C. 6.5×107D. 65×105
4.如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A=60°，∠B=40°，则∠ECD等于( )
A. 40°B. 45°C. 50°D. 55°
5.某校男子足球队的年龄分布如图所示，则根据图中信息可知这些队员年龄的平均数，中位数分别是( )
A. 15.5，15.5B. 15.5，15C. 15，15.5D. 15，15
6.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC，∠BCA=65°，作CD/​/AB，并与⊙O相交于点D，连接BD，则∠DBC的大小为( )
A. 15°
B. 35°
C. 25°
D. 45°
7.若数a使关于x的不等式组x−12<1+x35x−2≥x+a有且只有四个整数解，且使关于y的方程y+ay−1+2a1−y=2的解为非负数，则符合条件的所有整数a的和为( )
A. −3B. −2C. 1D. 2
8.如图，△ABC中，∠A=30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD.若BD平分∠ABC，AD=2 3，则线段CD的长是( )
A. 2B. 3C. 32D. 32 3
9.我国古代数学著作《增删算法统宗》记载”绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是( )
A. x=y+512x=y−5B. x=y−512x=y+5C. x=y+52x=y−5D. x=y−52x=y+5
10.如图，函数y=ax2−2x+1和y=ax−a(a是常数，且a≠0)在同一平面直角坐标系的图象可能是( )
A. B.
C. D.
11.如图，在▱ABCD中，CD=2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连结EF、BF，下列结论：①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S四边形DEBC=2S△EFB；④∠CFE=3∠DEF，其中正确结论的个数共有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
12.如图，等边△ABC的边长为4，点D是边AC上的一动点，连接BD，以BD为斜边向上作等腰Rt△BDE，连接AE，则AE的最小值为( )
A. 1
B. 2
C. 2
D. 2 2−1
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
13.若关于x的一元二次方程(k−2)x2−2kx+k=6有实数根，则k的取值范围为 ．
14.如图，四边形OABC是矩形，点A的坐标为(8,0)，点C的坐标为(0,4)，把矩形OABC沿OB折叠，点C落在点D处，则点D的坐标为______．
15.小明想测量一棵树的高度，他发现树影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为______米．
16.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，对称轴为直线x=2，则下列结论中正确的有 ．
①4a+b=0； ②9a+3b+c<0；
③若点A(−3,y1)，点B(12,y2)，点C(5,y3)在该函数图象上，则y1④若图像过(−1,0)，则方程a(x+1)(x−5)=−3的两根为x1和x2，且x117.如图，△OAC的顶点O在坐标原点，OA边在x轴上，OA=2，AC=1，把△OAC绕点A按顺时针方向旋转到△O′AC′，使得点O′的坐标是(1, 3)，则在旋转过程中线段OC扫过部分(阴影部分)的面积为______．
18.如图，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数y=x的图象，点A1的坐标为(1,0)，过点A1作x轴的垂线交直线l于点D1，以A1D1为边作正方形A1B1C1D1；过点C1作直线l的垂线，垂足为A2，交x轴于点B2，以A2B2为边作正方形A2B2C2D2；过点C2作x轴的垂线，垂足为A3，交直线l于点D3，以A3D3为边作正方形A3B3C3D3，…，按此规律操作下所得到的正方形AnBnCnDn的面积是______．
三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题10分)
(1)化简：(3x+4x2−1−2x−1)÷x+2x2−2x+1；
(2)解不等式组2(x−1)<7−x3+2x≥2x+13，并写出不等式组的最小整数解．
20.(本小题9分)
如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B，与y轴交于点A，与反比例函数y=mx的图象在第二象限交于点C，CE⊥x轴，垂足为点E，tan∠ABO=12，OB=4，OE=2．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若点D是反比例函数图象在第四象限上的点，过点D作DF⊥y轴，垂足为点F，连接OD、BF.如果S△BAF=4S△DFO，求点D的坐标．
21.(本小题11分)
随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
(1)这次活动共调查了______人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为______；
(2)将条形统计图补充完整．观察此图，支付方式的“众数”是“______”；
(3)在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
22.(本小题11分)
为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市政部门招标一工程队负责在山脚下修建一座水库的土方施工任务．该工程队有A，B两种型号的挖掘机，已知3台A型和5台B型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台A型和7台B型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米．每台A型挖掘机一小时的施工费用为300元，每台B型挖掘机一小时的施工费用为180元．
(1)分别求每台A型，B型挖掘机一小时挖土多少立方米?
(2)若不同数量的A型和B型挖掘机共12台同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，且总费用不超过12960元．问施工时有哪几种调配方案，并指出哪种调配方案的施工费用最低，最低费用是多少元?
23.(本小题12分)
已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB≥AC，D、E分别为AC、BC边上的点(不包括端点)，且DCBE=ACBC=m，连结AE，过点D作DM⊥AE，垂足为点M，延长DM交AB于点F．
(1)如图1，过点E作EH⊥AB于点H，连结DH．
①求证：四边形DHEC是平行四边形；
②若m= 22，求证：AE=DF；
(2)如图2，若m=35，求DFAE的值．
24.(本小题13分)
如图，已知抛物线y=13x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A(0,1)，点B(−9,10)，AC/​/x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；
(3)当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
25.(本小题12分)
在正方形ABCD中，E是边CD上一点(点E不与点C、D重合)，连结BE．
【感知】如图①，过点A作AF⊥BE交BC于点F.易证△ABF≌△BCE.(不需要证明)
【探究】如图②，取BE的中点M，过点M作FG⊥BE交BC于点F，交AD于点G．
(1)求证：BE=FG．
(2)连结CM，若CM=1，则FG的长为______．
【应用】如图③，取BE的中点M，连结CM.过点C作CG⊥BE交AD于点G，连结EG、MG.若CM=3，则四边形GMCE的面积为______．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：3的相反数是−3，
故选：C．
根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数可得答案．
此题主要考查了相反数，关键是掌握相反数的定义．
2.【答案】C
【解析】解：A、a2⋅a3=a5，本选项错误；
B、5a−2a=3a，本选项错误；
C、(ab3)2=a2b6，本选项正确；
D、(a+b)(a−2b)=a2−ab−2b2，本选项错误，
故选：C．
A、利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；
B、合并同类项得到结果，即可做出判断；
C、利用积的乘方与幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；
D、利用多项式乘多项式法则计算得到结果，即可做出判断．
此题考查了多项式乘多项式，合并同类项，同底数幂的乘方，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握法则是解本题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：6500000=6.5×106，
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是非负数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了角平分线定义和三角形外角性质，能熟记三角形外角性质的内容是解此题的关键．
根据三角形外角性质求出∠ACD，根据角平分线定义求出即可．
【解答】
解：∵∠A=60°，∠B=40°，
∴∠ACD=∠A+∠B=100°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ECD=∠ACE=50°．
故选C．
5.【答案】D
【解析】解：根据图中信息可知这些队员年龄的平均数为：13×2+14×6+15×8+16×3+17×2+18×12+6+8+3+2+1=15(岁)，
该足球队共有队员2+6+8+3+2+1=22(人)，
则第11名和第12名的平均年龄即为年龄的中位数，即中位数为15岁，
故选：D．
根据年龄分布图和平均数、中位数的概念求解．
本题考查了确定一组数据的平均数，中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
6.【答案】A
【解析】解：∵AB=AC、∠BCA=65°，
∴∠CBA=∠BCA=65°，∠A=50°，
∵CD//AB，
∴∠ACD=∠A=50°，
又∵∠ABD=∠ACD=50°，
∴∠DBC=∠CBA−∠ABD=15°，
故选：A．
根据等腰三角形性质知∠CBA=∠BCA=65°，∠A=50°，由平行线的性质及圆周角定理得∠ABD=∠ACD=∠A=50°，从而得出答案．
本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、圆周角定理、平行线的性质．
7.【答案】C
【解析】解：x−12<1+x35x−2≥x+a，
不等式组整理得：x<5x≥a+24，
由不等式组有且只有四个整数解，得到0解得：−2y+ay−1+2a1−y=2，
分式方程去分母得：y+a−2a=2(y−1)，
解得：y=2−a，
由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件，得到a为−1，0，2，之和为1．
故选：C．
表示出不等式组的解集，由不等式有且只有4个整数解确定出a的值，再由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件求出满足题意整数a的值，进而求出之和．
此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：连接OD
∵OD是⊙O的半径，AC是⊙O的切线，点D是切点，
∴OD⊥AC
在Rt△AOD中，∵∠A=30°，AD=2 3，
∴OD=OB=2，AO=4，
∴∠ODB=∠OBD，又∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD=∠CBD
∴∠ODB=∠CBD
∴OD//CB，
∴ADCD=AOOB
即2 3CD=42
∴CD= 3．
故选：B．
连接OD，得Rt△OAD，由∠A=30°，AD=2 3，可求出OD、AO的长；由BD平分∠ABC，OB=OD可得
OD与BC间的位置关系，根据平行线分线段成比例定理，得结论．
本题考查了圆的切线的性质、含30°角的直角三角形的性质及平行线分线段成比例定理，解决本题亦可说明∠C=90°，利用∠A=30°，AB=6，先得AC的长，再求CD.遇切点连圆心得直角，是通常添加的辅助线．
9.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
设索长为x尺，竿子长为y尺，根据“索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于x、y的二元一次方程组．
【解答】
解：设索长为x尺，竿子长为y尺，
根据题意得：x=y+512x=y−5．
故选A．
10.【答案】B
【解析】解：A、由一次函数y=ax−a的图象可得a<0，此时二次函数y=ax2−2x+1的图象应该开口向下，故该选项错误；
B、由一次函数y=ax−a的图象可得a>0，此时二次函数y=ax2−2x+1的图象应该开口向上，对称轴为直线x=−−22a>0，故该选项正确；
C、由一次函数y=ax−a的图象可得a>0，此时二次函数y=ax2−2x+1的图象应该开口向上，对称轴为直线x=−−22a>0，故该选项错误；
D、由一次函数y=ax−a的图象可得a>0，此时二次函数y=ax2−2x+1的图象应该开口向上，故该选项错误．
故选B．
本题考查二次函数以及一次函数的图象．
可先根据一次函数的图象判断a的正负，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．
11.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH，利用平行四边形和全等三角形的判定和性质即可判断①②③，想办法证明四边形BCFH是菱形即可判断④．
【解答】
解：如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．
∵CD=2AD，DF=FC，
∴CF=CB，
∴∠CFB=∠CBF，
∵CD//AB，
∴∠CFB=∠FBH，
∴∠CBF=∠FBH，
∴∠ABC=2∠ABF.故①正确，
∵DE/​/CG，
∴∠D=∠FCG，
∵DF=FC，∠DFE=∠CFG，
∴△DFE≌△CFG(ASA)，
∴FE=FG，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB=90°，
∵AD/​/BC，
∴∠AEB=∠EBG=90°，
∴BF=EF=FG，故②正确，
∵S△DFE=S△CFG，
∴S四边形DEBC=S△EBG=2S△BEF，故③正确，
∵AH=HB，DF=CF，AB=CD，
∴CF=BH，∵CF/​/BH，
∴四边形BCFH是平行四边形，
∵CF=BC，
∴四边形BCFH是菱形，
∴∠BFC=∠BFH，
∵FE=FB，FH/​/AD，BE⊥AD，
∴FH⊥BE，
∴∠BFH=∠EFH=∠DEF，
∴∠EFC=3∠DEF，故④正确，
故选：D．
12.【答案】B
【解析】解：如图，过点B作BH⊥AC于H点，作射线HE，
∵△ABC是等边三角形，BH⊥AC，
∴AH=2=CH，
∵∠BED=∠BHD=90°，
∴点B，点D，点H，点E四点共圆，
∴∠BHE=∠BDE=45°，
∴点E在∠AHB的角平分线上运动，
∴当AE⊥EH时，AE的长度有最小值，
∵∠AHE=45°，
∴AH= 2AE=2，
∴AE的最小值为 2，
故选：B．
过点B作BH⊥AC于H点，作射线HE，可证点B，点D，点H，点E四点共圆，可得∠BHE=∠BDE=45°，则点E在∠AHB的角平分线上运动，即当AE⊥EH时，AE的长度有最小值，由直角三角形的性质可求解．
本题考查旋转的性质，等边三角形的性质，垂线段最短，四点共圆，圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
13.【答案】k≥1.5且k≠2．
【解析】解：∵关于x的一元二次方程(k−2)x2+2kx+k=6有实数根，
∴(k−2)x2+2kx+k−6=0，
∴k−2≠0Δ=(−2k)2−4×(k−2)×(k−6)≥0，
解得：k≥1.5且k≠2．
故答案为：k≥1.5且k≠2．
根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围．
本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据一元二次方程的定义结合根的判别式△≥0，列出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．
14.【答案】(165,−125)
【解析】【分析】
此题考查了翻折变化(折叠问题)，坐标与图形变换，以及矩形的性质，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．由折叠的性质得到一对角相等，对应边相等，再由矩形对边相等且平行，得到一对内错角相等，等量代换及等角对等边得到BE=OE，AE=DE，过D作DF垂直OA，利用勾股定理及面积法求出DF与OF的长，即可确定出D坐标．
【解答】
解：由折叠得：∠CBO=∠DBO，0C=0D，BC=BD
∵矩形ABCO，
∴BC/​/OA，BC=OA=8，OC=AB=4，
∴∠CBO=∠BOA，OA=BD
∴∠DBO=∠BOA，
∴BE=OE，
∵OA=BD，
∴AE=DE，
设DE=AE=x，则有OE=BE=8−x，
在Rt△ODE中，根据勾股定理得：42+x2=(8−x)2
解得：x=3，即OE=5，DE=3，
过D作DF⊥OA，
∵S△OED=12OD⋅DE=12OE⋅DF，
∴DF=125，OF= 42−(125)2=165，
则D(165,−125).
故答案为(165,−125).
15.【答案】( 3+6)
【解析】解：延长AC交BF延长线于D点，
则∠CFE=30°，作CE⊥BD于E，
在Rt△CFE中，∠CFE=30°，CF=4m，
∴CE=2(米)，EF=4cs30°=2 3(米)，
在Rt△CED中，
∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，CE=2(米)，CE：DE=1：2，
∴DE=4(米)，
∴BD=BF+EF+ED=12+2 3(米)
在Rt△ABD中，AB=12BD=12(12+2 3)=( 3+6)(米)．
故答案为：( 3+6)．
延长AC交BF延长线于D点，则BD即为AB的影长，然后根据物长和影长的比值计算即可．
本题考查了解直角三角形的应用以及相似三角形的性质．解决本题的关键是作出辅助线得到AB的影长．
16.【答案】①③④
【解析】解：∵x=−b2a=2，
∴4a+b=0，
故①正确；
∵抛物线与x轴的一个交点为(−1,0)，对称轴为直线x=2，
∴另一个交点为(5,0)，
∵抛物线开口向下，
∴当x=3时，y>0，即9a+3b+c>0，
故②错误；
∵抛物线的对称轴为x=2，C(5,0)在抛物线上，
∴点(−1,y3)与C(5,y3)关于对称轴x=2对称，
∵−3<−1<12<2，在对称轴的左侧，抛物线开口向下，y随x的增大而增大，
∴y1故③正确；
若图象过(−1,0)，即抛物线与x轴的一个交点为(−1,0)，
方程a(x+1)(x−5)=0的两根为x=−1或x=5，
过y=−3作x轴的平行线，直线y=−3与抛物线的交点的横坐标为方程的两根，
∵x1∴依据函数图象可知：x1<−1<5故④正确，
故答案为：①③④．
根据抛物线的对称轴为直线x=2，则有4a+b=0，可得①正确；根据二次函数的对称性得到当x=3时，函数值大于0，则9a+3b+c>0，可得②错误；利用抛物线的对称性得到(−1,y3)与(5,y3)在抛物线上，然后利用二次函数的增减性可得③正确；作出直线 y=−3，然后依据函数图象进行判断可得④正确．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质是解题的关键．
17.【答案】π2
【解析】解：过O′作O′M⊥OA于M，则∠O′MA=90°，
∵点O′的坐标是(1, 3)，
∴O′M= 3，OM=1，
∵AO=2，
∴AM=2−1=1，
∴tan∠O′AM= 31= 3，
∴∠O′AM=60°，
即旋转角为60°，
∴∠CAC′=∠OAO′=60°，
∵把△OAC绕点A按顺时针方向旋转到△O′AC′，
∴S△OAC=S△O′AC′，
∴阴影部分的面积S=S扇形OAO′+S△O′AC′−S△OAC−S扇形CAC′=S扇形OAO′−S扇形CAC′=60π×22360−60π×12360=π2，
故答案为：π2．
过O′作O′M⊥OA于M，解直角三角形求出旋转角的度数，根据图形得出阴影部分的面积S=S扇形OAO′+S△O′AC′−S△OAC−S扇形CAC′=S扇形OAO′−S扇形CAC′，分别求出即可．
本题考查了解直角三角形，旋转的性质、扇形的面积计算等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求出规则图形的面积是解此题的关键．
18.【答案】(92)n−1
【解析】【分析】本题考查的是正方形的性质、一次函数图象上点的坐标特征，根据一次函数解析式得到∠D1OA1=45°，正确找出规律是解题的关键．根据正比例函数的性质得到∠D1OA1=45°，分别求出正方形A1B1C1D1的面积、正方形A2B2C2D2的面积，总结规律解答．
【解答】解：∵直线l为正比例函数y=x的图象，
∴∠D1OA1=45°，
∴D1A1=OA1=1，
∴正方形A1B1C1D1的面积=1=(92)1−1，
由勾股定理得，OD1= 2，D1A2= 22，
∴A2B2=A2O=3 22，
∴正方形A2B2C2D2的面积=92=(92)2−1，
同理，A3D3=OA3=92，
∴正方形A3B3C3D3的面积=814=(92)3−1，
…
由规律可知，正方形AnBnCnDn的面积=(92)n−1，
故答案为：(92)n−1．
19.【答案】解：(1)原式=x+2(x+1)(x−1)⋅(x−1)2x+2
=x−1x+1．
(2)2(x−1)<7−x①3+2x≥2x+13②，
由①得：x<3，
由②得：x≥−2，
∴不等式组的解集为：−2≤x<3，
∴最小整数解为−2．
【解析】(1)根据分式的运算法则即可求出答案．
(2)根据不等式组的解法即可求出答案．
本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
20.【答案】解：(1)∵OB=4，OE=2，
∴BE=OB+OE=6．
∵CE⊥x轴，
∴∠CEB=90°．
在Rt△BEC中，∠CEB=90°，BE=6，tan∠ABO=12，
∴CE=BE⋅tan∠ABO=6×12=3，
结合函数图象可知点C的坐标为(−2,3)．
∵点C在反比例函数y=mx的图象上，
∴m=−2×3=−6，
∴反比例函数的解析式为y=−6x．
(2)∵点D在反比例函数y=−6x第四象限的图象上，
∴设点D的坐标为(n,−6n)(n>0)．
在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OB=4，tan∠ABO=12，
∴OA=OB⋅tan∠ABO=4×12=2．
∵S△BAF=12AF⋅OB=12(OA+OF)⋅OB=12(2+6n)×4=4+12n．
∵点D在反比例函数y=−6x第四象限的图象上，
∴S△DFO=12×|−6|=3．
∵S△BAF=4S△DFO，
∴4+12n=4×3，
解得：n=32，
经验证，n=32是分式方程4+12n=4×3的解，
∴点D的坐标为(32,−4)．
【解析】(1)由边的关系可得出BE=6，通过解直角三角形可得出CE=3，结合函数图象即可得出点C的坐标，再根据点C的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出反比例函数系数m，由此即可得出结论；
(2)由点D在反比例函数在第四象限的图象上，设出点D的坐标为(n,−6n)(n>0).通过解直角三角形求出线段OA的长度，再利用三角形的面积公式利用含n的代数式表示出S△BAF，根据点D在反比例函数图形上利用反比例函数系数k的几何意义即可得出S△DFO的值，结合题意给出的两三角形的面积间的关系即可得出关于n的分式方程，解方程，即可得出n值，从而得出点D的坐标．
本题考查了解直角三角形、反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积公式以及反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是：(1)求出点C的坐标；(2)根据三角形的面积间的关系找出关于n的分式方程．本题属于中档题，难度不大，但较繁琐，解决该题型题目时，找出点的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数系数是关键．
21.【答案】解：(1)200，81°；
(2)补全图形如下：
微信；
(3)将微信记为A、支付宝记为B、银行卡记为C，
画树状图如下：
∵共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，
∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为39=13．
【解析】解：(1)本次活动调查的总人数为(45+50+15)÷(1−15%−30%)=200人，
则表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为360°×45200=81°，
故答案为：200，81°；
(2)微信支付的人数为200×30%=60人，银行卡支付的人数为200×15%=30人，
补全图形如下：
由条形图知，支付方式的“众数”是“微信”，
故答案为：微信；
(3)见答案．
【分析】
(1)用支付宝、现金及其他的人数和除以这三者的百分比之和可得总人数，再用360°乘以“支付宝”人数所占比例即可得；
(2)用总人数乘以对应百分比可得微信、银行卡的人数，从而补全图形，再根据众数的定义求解可得；
(3)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两人恰好选择同一种支付方式的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22.【答案】解：(1)设每台A型，B型挖掘机一小时分别挖土x立方米和y立方米，根据题意得
3x+5y=1654x+7y=225
解得：x=30y=15
∴每台A型挖掘机一小时挖土30立方米，每台B型挖掘机一小时挖土15立方米
(2)设A型挖掘机有m台，总费用为W元，则B型挖掘机有(12−m)台．
根据题意得
W=4×300m+4×180(12−m)=480m+8640
∵4×30m+4×15(12−m)≥10804×300m+4×180(12−m)≤12960
∴解得m≥6m≤9
∵m≠12−m，解得m≠6
∴7≤m≤9
∴共有三种调配方案，
方案一：当m=7时，12−m=5，即A型挖掘机7台，B型挖掘机5台，
费用为；4×300×7+4×180×5=12000元；
方案二：当m=8时，12−m=4，即A型挖掘机8台，B型挖掘机4台；
4×300×8+4×180×4=12480元；
方案三：当m=9时，12−m=3，即A型挖掘机9台，B型挖掘机3台．
4×300×9+4×180×3=12960元；
此时A型挖掘机7台，B型挖掘机5台的施工费用最低，最低费用为12000元．
【解析】(1)根据题意列出方程组即可；
(2)利用总费用不超过12960元求出方案数量，再利用一次函数增减性求出最低费用．
本题考查了二元一次方程组及一元一次不等式组的应用，解答时先根据题意确定自变量取值范围，再运算解答问题．
23.【答案】解：(1)①证明：∵EH⊥AB，∠BAC=90°，
∴EH//CA，
∴△BHE∽△BAC，
∴BEBC=HEAC，
∵DCBE=ACBC，
∴BEBC=DCAC，
∴HEAC=DCAC，
∴HE=DC，
∵EH//DC，
∴四边形DHEC是平行四边形；
②∵ACBC= 22，∠BAC=90°，
∴AC=AB，
∵DCBE= 22，HE=DC，
∴HEBE= 22，
∵∠BHE=90°，
∴BH=HE，
∵HE=DC，
∴BH=CD，
∴AH=AD，
∵DM⊥AE，EH⊥AB，
∴∠EHA=∠AMF=90°，
∴∠HAE+∠HEA=∠HAE+∠AFM=90°，
∴∠HEA=∠AFD，
∵∠EHA=∠FAD=90°，
∴△HEA≌△AFD，
∴AE=DF；
(2)如图2，过点E作EG⊥AB于G，
∵CA⊥AB，
∴EG//CA，
∴△EGB∽△CAB，
∴EGCA=BEBC，
∴EGBE=CABC=35，
∵CDBE=35，
∴EG=CD，
设EG=CD=3x，AC=3y，
∴BE=5x，BC=5y，
∴BG=4x，AB=4y，
∵∠EGA=∠AMF=90°，
∴∠GEA+∠EAG=∠EAG+∠AFM，
∴∠AFM=∠AEG，
∵∠FAD=∠EGA=90°，
∴△FAD∽△EGA，
∴DFAE=ADAG=3y−3x4y−4x=34
【解析】(1)①先判断出△BHE∽△BAC，进而判断出HE=DC，即可得出结论；
②先判断出AC=AB，BH=HE，再判断出∠HEA=∠AFD，即可得出结论；
(2)先判断出△EGB∽△CAB，进而求出CD：BE=3：5，再判断出∠AFM=∠AEG进而判断出△FAD∽△EGA，即可得出结论．
此题是相似形综合题，主要考查了平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，判断出∠HEA=∠AFD是解本题的关键．
24.【答案】解：(1)∵y=13x2+bx+c经过A(0,1)，B(−9,10)，
∴1=c10=13×(−9)2−9b+c，
解得b=2，c=1，
∴抛物线的解析式是y=13x2+2x+1，
(2)设直线AB的解析式为y=mx+n(m≠0)，
将A(0,1)，B(−9,10)代入得1=n10=−9m+n，
解得m=−1，n=1，
∴直线AB的解析式为y=−x+1，
由13x2+2x+1=1，解得x1=0，x2=−6，
∴C点坐标为(−6,1)，则AC=6，
∵P在AC下方抛物线上，设P点坐标为(t,13t2+2t+1)，
∴−6∵过点P且与y轴平行的直线l与直线AB交于点E，
∴E点坐标为(t,−t+1)，
∴EP=(−t+1)−(13t2+2t+1)=−13t2−3t，
而四边形AECP的面积S四边形AECP=S△EAC+S△PAC=12AC⋅EF+12AC⋅PF=12AC⋅EP，
∴S四边形AECP=12×6×(−13t2−3t)=−t2−9t=−(t+92)2+814，
∵−6<−92<0，
∴t=−92时，S四边形AECP最大为814，
此时13t2+2t+1=13×(−92)2+2×(−92)+1=−54，
∴P点坐标为(−92,−54)；
(3)存在直线AC上的点Q，使以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，这种Q点有两个，分别是Q1(−4,1)、Q2(3,1).理由如下：
∵抛物线y=13x2+2x+1顶点为P，
∴P点坐标为(−3,−2)，
∵过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点 E、F，且直线AB的解析式为y=−x+1，
∴E点坐标为(−3,4)，F点坐标为(−3,1)，
而C(−6,1)，A(0,1)，B(−9,10)，
∴CF=FP=EF=FA=3，AB=9 2，CP=3 2，
∴∠PCF=∠CPF=∠AEF=∠EAF=45°，
∴以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，∠PCQ与∠BAC为45°对应，
设Q的坐标为(k,1)，则CQ=k+6，分两种情况：
①如答图1，△CPQ1～△ABC，
则CQ1AC=CPAB，可得k+66=3 29 2，
解得k=−4，
此时Q1点坐标为(−4,1)，
②如答图2，△CQ2P～△ABC，
则CQ2AB=CPAC可得k+69 2=3 26，
解得k=3，
此时Q2点坐标为(3,1)，
综上所述，存在直线AC上的点Q，使以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，这种Q点有两个，分别是Q1(−4,1)、Q2(3,1)．
【解析】本题主要考查二次函数综合．
(1)将A、B坐标代入即可得抛物线的解析式；
(2)求出直线AB解析式，设P点坐标，表示出E坐标和EP长，将四边形AECP面积分成△EAC和△PAC面积之和，求出面积取最大值时P的横坐标进而求出P坐标；
(3)画出图形观察、计算线段长可以发现∠PCF=∠BAC，夹这两角的边对应成比例时两三角形就相似，有两种情况．
25.【答案】感知：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠BCE=∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠CBE=90°，
∵AF⊥BE，
∴∠ABE+∠BAF=90°，
∴∠BAF=∠CBE，
在△ABF和△BCE中，∠BAF=∠CBEAB=BC∠ABC=∠BCE=90°，
∴△ABF≌△BCE(ASA)；
探究：(1)如图②，
过点G作GP⊥BC于P，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠A=∠ABC=90°，
∴四边形ABPG是矩形，
∴PG=AB，∴PG=BC，
同感知的方法得，∠PGF=∠CBE，
在△PGF和△CBE中，∠PGF=∠CBEPG=BC∠FPG=∠ECB=90°，
∴△PGF≌△CBE(ASA)，
∴BE=FG；
(2)2；9 ．
【解析】解：感知：见答案；
探究：(1)见答案；
(2)由(1)知，FG=BE，
连接CM，
∵∠BCE=90°，点M是BE的中点，
∴BE=2CM=2，
∴FG=2，
故答案为：2．
应用：同探究(2)得，BE=2ME=2CM=6，
∴ME=3，
同探究(1)得，CG=BE=6，
∵BE⊥CG，
∴S四边形CEGM=12CG×ME=12×6×3=9，
故答案为：9．
【分析】
感知：利用同角的余角相等判断出∠BAF=∠CBE，即可得出结论；
探究：(1)判断出PG=BC，同感知的方法判断出△PGF≌CBE，即可得出结论；
(2)利用直角三角形的斜边的中线是斜边的一半，
应用：借助感知得出结论和直角三角形斜边的中线是斜边的一半即可得出结论．
此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，判断出CG=BE是解本题的关键．