初中数学浙教版七年级下册1.1平行线同步训练题

这是一份初中数学浙教版七年级下册1.1平行线同步训练题，文件包含第1章平行线基础典型易错压轴分类专项训练原卷版docx、第1章平行线基础典型易错压轴分类专项训练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共84页， 欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2023春·浙江·七年级专题练习）如图，图中同位角的对数、内错角的对数、同旁内角的对数，分别是（ ）
A．10，8，4B．11，7，5C．12，6，6D．13，5，7
【答案】C
【分析】根据内错角、同位角以及同旁内角的定义（同位角定义：在被切直线同侧，且在切线同侧的两个角叫作同位角；同旁内角定义：在两被切直线内侧，在切线同侧的两个角叫作同旁内角；内错角定义：在两被切直线内侧，在切线异侧的两个角叫作内错角）直接判断即可．
【详解】解：内错角有：与，与，与，与与，与；
同位角有与，与，与与，与与，与，与，与，与，与，与；
同旁内角：与，与，与，与，与，与．
故本题选：C．
【点睛】本题考查了内错角、同位角以及同旁内角，解题关键是掌握内错角、同位角以及同旁内角的定义．
2．（2023春·浙江·七年级专题练习）如图，A，B，C，D中的哪幅图案可以通过图案①平移得到（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据平移的性质，不改变图形的形状和大小，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等．
【详解】解：通过图案①平移得到必须与图案①完全相同，角度也必须相同，
观察图形可知D可以通过图案①平移得到．
故选：D．
【点睛】本题考查平移的基本性质是：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
3．（2023春·浙江·七年级专题练习）下列说法正确的有（ ）
A．相等的角是对顶角
B．直线外一点到已知直线的垂线段叫做点到该直线的距离
C．两条不相交的直线叫做平行线
D．在同一平面内，若直线，，则直线
【答案】D
【分析】根据平行线的定义与性质、平行公理、对顶角的概念以及点到直线的距离的概念进行判断即可．
【详解】解：A.相等的角不一定是对顶角，对顶角是在两直线相交的前提条件下形成的，原说法错误，不符合题意；
B.从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，原说法错误，不符合题意；
C.同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，原说法错误，不符合题意；
D. 在同一平面内，若直线，，则直线，说法正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了相交线与平行线的一些基本概念，对顶角，正确理解定义是解题的关键．
4．（2023春·浙江·七年级专题练习）如图，两条平行线a，b被第三条直线c所截．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由对顶角相等得到，再由平行线的性质得到．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∵两条平行线a，b被第三条直线c所截，
∴，
故选：D
【点睛】此题考查了平行线的性质、对顶角相等知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
5．（2023春·七年级单元测试）经过直线l外一点O的四条直线中，与直线l相交的直线至少有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】C
【分析】根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行进行判断即可．
【详解】根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，得出如果有和直线l平行的，只能是一条，
即与直线l相交的直线至少有3条，
故选：C．
【点睛】此题考查了经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，熟练掌握内容是解题的关键．
6．（2023春·七年级单元测试）在中，若，则的度数是（ ）
A．140°B．120°C．100°D．40°
【答案】A
【分析】根据平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，对边平行即可求解
【详解】如图：
由可知，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对边平行、对角相等是解题的关键．
7．（2022春·浙江杭州·七年级校考期中）如图，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据平行线的判定分别进行分析可得答案．
【详解】解：A、，根据内错角相等，两直线平行可得：，故此选项不符合；
B、，根据内错角相等，两直线平行可得：，故此选项符合；
C、，根据内错角相等，两直线平行可得：，故此选项不符合；
D、，根据同旁内角互补，两直线平行可得：，故此选项不符合．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握平行线的判定定理．
8．（2022春·浙江温州·七年级校考期中）如图，直线，被直线所截，且ab，则与的位置关系是（ ）
A．同位角B．对顶角C．同旁内角D．内错角
【答案】A
【分析】根据对顶角、同位角、内错角、同旁内角的定义判断即可．
【详解】∵直线，被直线所截，
∴与的位置关系是同位角．
故选A．
【点睛】本题考查对顶角、同位角、内错角、同旁内角的定义．三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角所在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．
9．（2022春·浙江杭州·七年级校联考期中）下列各图中，和不是同位角的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据同位角的特征逐一判断即可．
【详解】解：A．与有一条边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角，不符合题意
B. 与有一条边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角，不符合题意；
C. 与有一条边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角，不符合题意；
D. 与的一边不在同一条直线上，不是同位角，符合题意．
故选：．
【点睛】本题考查了同位角，内错角，同旁内角，熟练掌握它们的特征是解题的关键．
二、填空题
10．（2023春·浙江·七年级专题练习）如图，和的角平分线交于点E，延长交于点F，，则_________．
【答案】58°##58度
【分析】依据平行线的性质，以及角平分线的定义，即可得到，进而得出结论．
【详解】解：∵，
∴
∵平分
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
11．（2022春·浙江宁波·七年级校考期中）如图，已知DEBC，BE平分∠ABC，若∠1=70°，则∠AEB的度数为_____．
【答案】35°##35度
【分析】由平行线的性质得∠ABC＝∠1＝70°，再由角平分线的定义得∠CBE＝35°，再次利用平行线的性质得∠AEB＝35°．
【详解】解：∵DEBC，∠1＝70°，
∴∠ABC＝∠1＝70°，∠CBE＝∠AEB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE∠ABC＝35°，
∴∠AEB＝35°．
故答案为：35°．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行内错角相等．
12．（2022春·浙江杭州·七年级校联考期中）如图，将沿方向平移到的位置．已知点，之间的距离为，，则的长是______．
【答案】8
【分析】根据平移的性质可得，从而可得，故BF．
【详解】解：将沿方向平移到的位置，点，之间的距离为，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查平移的性质，解题的关键是根据平移的性质得到．
13．（2022春·浙江杭州·七年级统考期中）如图，已知ABCE，∠A＝110°，则∠ADE的度数为________ ．
【答案】110°##110度
【分析】根据两直线平行，内错角相等，即可得到∠ADE的大小．
【详解】解：∵ABCE，
∴∠A＝∠ADE，
又∵∠A＝110°，
∴∠ADE＝110°，
故答案为：110°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
14．（2022春·浙江绍兴·七年级校联考期中）如图，直线，被直线c所截，若∠4+∠5=180°，则可得∥，其依据是：___________________．
【答案】同旁内角互补，两直线平行
【分析】结合题意，根据平行线的判定性质分析，即可得到答案.
【详解】根据题意，直线，被直线c所截，若∠4+∠5=180°，则可得∥，其依据是：同旁内角互补，两直线平行
故答案为：同旁内角互补，两直线平行.
【点睛】本题考查了平行线的知识，解题的关键是熟练掌握平行线的判定，从而完成求解.
15．（2022春·浙江杭州·七年级统考期末）如图，，，当_________°时，．
【答案】130
【分析】先根据平行线的性质可得，再根据平行线的判定即可得．
【详解】解：，
，
要使，则，
，
即当时，，
故答案为：130．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．
16．（2022春·浙江嘉兴·七年级统考期末）如图，直线a，b被直线c所截，的同旁内角是__________．
【答案】∠6
【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫做同旁内角．
【详解】解：∵直线a、b被直线c所截，
∴∠3的同旁内角是∠6．
故答案为：∠6．
【点睛】本题主要考查了同旁内角的概念，三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定，同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形．
三、解答题
17．（2023春·浙江·七年级专题练习）请把下面证明过程补充完整．
如图，，，，求证：．
证明：∵（已知）
∴__________（__________）
∵（已知）
∴（__________）
∴__________（__________）
∴__________（__________）
∵（已知）
∴__________（等量代换）
∴（内错角相等，两直线平行）
【答案】；两直线平行，同旁内角互补；等量代换；；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；
【分析】已知，可以得出，结合可以得出，可以得出，由已知，即可得到结论．
【详解】证明：∵（己知）
∴（两直线平行，同旁内角互补）
∵（已知）
∴（等量代换）
∴（同旁内角互补，两直线平行）
∴（两直线平行，内错角相等）
∵（已知）
∴（等量代换）
∴（内错角相等，两直线平行）
【点睛】本题主要考查平行线的性质和判定，熟记平行线的判定定理和性质，并灵活运用是解题的关键．
18．（2021春·浙江台州·七年级临海市学海中学校考期中）如图，，，，求的度数．请把下面的解答过程补充完整：
解：∵（已知），
∴______（______）．
又∵（已知），
∴______（等量代换），
∴______（______），
∴______（______）．
又∵（已知），
∴______．
【答案】；两直线平行，同位角相等；；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；
【分析】根据平行线的性质和判定就可以解题．
【详解】解：∵（已知），
∴（两直线平行，同位角相等）．
又∵（已知），
∴（等量代换），
∴（内错角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同旁内角互补）．
又∵（已知），
∴．
【点睛】本题考查的是平行线的性质和判定，解题的关键是灵活运用有关知识．
19．（2022春·浙江杭州·七年级校考期中）如图，∠A+∠D＝180°，则∠DCE＝∠B．完成下面的说理过程．
解：已知∠A+∠D＝180°，
根据（ ），
得 ，
又根据（ ），
得∠DCE＝∠B．
【答案】同旁内角互补，两直线平行；AB；CD；两直线平行，同位角相等
【分析】先根据同旁内角互补，两直线平行可得ABCD，再根据两直线平行，同位角相等得出结论．
【详解】解：已知∠A+∠D＝180°，
根据（同旁内角互补，两直线平行），
得ABCD，
又根据（两直线平行，同位角相等），
得∠DCE＝∠B．
故答案为：同旁内角互补，两直线平行；AB；CD；两直线平行，同位角相等．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟知同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等是解题的关键．
20．（2022春·浙江湖州·七年级校联考阶段练习）阅读并填空：如图，已知，如果，那么与相等吗？为什么？
解：因为（已知），
所以 ．
（ ）．
因为（ ），
所以（等量代换）．
【答案】∠B；两直线平行，同位角相等；已知
【分析】先根据平行线的性质得出∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，再由∠ADE＝∠AED即可得出结论．
【详解】解：因为（已知），
所以∠B．
（两直线平行，同位角相等）．
因为（已知），
所以（等量代换）．
故答案为：∠B；两直线平行，同位角相等；已知．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
21．（2022春·浙江温州·七年级统考期中）如图，在方格纸中，的三个顶点和点、点都在格点上，平移，使它的顶点都落在格点上并满足下列条件．
(1)使点、一点落在平移后的三角形内部，另一点落在平移后的三角形的边上，在图1中画出示意图；
(2)使点、两点都落在平移后的三角形的边上，在图2中画出示意图．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据要求利用平移变换的性质作出图形即可；
（2）根据要求利用平移变换的性质作出图形即可；
【详解】（1）图形如下图所示（答案不唯一）；
（2）图形如下图所示（答案不唯一）．
【点睛】本题考查坐标与图形变化−平移，解题的关键是理解题意，正确作出图形，属于中考常考题型．
22．（2022春·浙江湖州·七年级校联考阶段练习）如图，沿直线向右平移，得到，，．
(1)求的长；
(2)求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】对于（1），先根据平移的性质求出CE，再根据BE=BC+CE得出答案；
对于（2），根据平移的性质得，即可求出∠FDE，进而得出答案．
（1）
由平移知，．
∵，
∴；
（2）
由平移知，
，
．
【点睛】本题主要考查了平移的应用，掌握平移的性质是解题的关键．
【典型】
一、单选题
1．（2021春·浙江台州·七年级台州市书生中学校考阶段练习）如图，直尺的一条边经过一个含45角的直角顶点直尺的一组对边分别与直角三角尺的两边相交，若∠1＝30°，则∠2的度数是( )
A．30°B．45°C．60°D．75°
【答案】C
【分析】由直尺的一条边经过一个含 45 角的直角顶点直尺的一组对边分别与直角三角尺的两边相交，可得∠3=90-∠1=60，由两直线平行，同旁内角互补可得∠4的大小，可得∠2的度数.
【详解】解：如图：
由由直尺的一条边经过一个含 45 角的直角顶点直尺的一组对边分别与直角三角尺的两边相交，可得∠3=90-∠1=60，∠4=180-60120，
∠2=180∠4=60，
故选C.
【点睛】本题主要考查角的概念及余角、补角与平行线性质.
2．（2019春·七年级课时练习）如图所示，平分，平分，不能判定的条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据平行线的判定方法逐项分析即可.
【详解】∵AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，
.
若∠1=∠2，则，不能判定，故A符合题意；
若∠1＋∠2＝90°，则，∴AB∥CD，故B不符合题意；
若∠3＋∠4＝90°；则，∴AB∥CD，故C不符合题意；
若∠2＋∠3＝90°．则，∴AB∥CD，故D不符合题意；
故选A.
【点睛】本题考查了行线的判定方法，熟练掌握平行线的行线的判定方法是解答本题的关键.平行线的判定方法：①两同位角相等，两直线平行； ②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行.
二、填空题
3．（2021春·浙江绍兴·七年级统考期中）如图，将一个长方形纸条折成如图的形状，若已知，则_________．
【答案】65
【分析】如下图，利用∠1的大小和平行，先求解出∠3的大小，再利用∠3和∠2以及∠2折叠部分的大小总共为平角来求解∠2的大小．
【详解】如下图
∵∠1=130°，
∴∠3=50°
∵图形是折叠而来，
∴∠2=∠4
∵∠3+∠2+∠4=180°
∴∠2+∠4=130°
∴∠2=65°
故答案为：65．
【点睛】本题考查了折叠问题及平行线的性质，折叠部分是完全相同的，即折叠部分的角度是相等的，这是一个隐含条件，解题过程中不可遗漏．
4．（2019春·七年级课时练习）如图，在正方体中，与线段AB平行的线段有____条．
【答案】3
【分析】与线段AB平行的线段的种类为：①直接与AB平行，②与平行于AB的线段平行．
【详解】解：与AB平行的线段是：DC、EF；
与CD平行的线段是：HG，
所以与AB线段平行的线段有：EF、HG、DC．
故答案是：EF、HG、DC．
【点睛】本题考查了平行线．平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．
5．（2019春·浙江金华·七年级统考期末）将一副三角板按如图放置，则下列结论：①；②如果，则有；③如果，则有；④如果，必有，其中正确的有__________．
【答案】①②
【分析】根据垂直的定义即可判断①，根据得到∠1=60°，故∠E=∠1，得到平行关系即可判断②，，得到∠3=60°≠∠B，故得不到平行关系，可判断③，根据得到∠1=∠C=45°，故∠4与∠E互余，故可求出∠4，进行判断.
【详解】根据题意可得∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，故①正确；
∵
∴∠1=60°，故∠E=∠1，
∴，②正确
，得到∠3=60°≠∠B=45°，故得不到平行关系，③错误，
∵
∴∠1=∠C=45°，得到BC⊥AE，
∴∠4与∠E互余，
∠4=90°-∠E=30°，④错误.
故填：①②.
【点睛】此题主要考查三角板的角度求解，解题的关键是熟知平行线的判定及垂直的性质.
三、解答题
6．（2020春·浙江杭州·七年级统考期末）如图：AD是的角平分线，点E是射线AC上一点，延长ED至点F，．求证：（1）；（2）
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）根据角平分线和同旁内角互补两直线平行即可证得；
（2）由（1）得，又因为，即可证得．
【详解】（1）是的角平分线．
又
（2）
又
【点睛】本题考查角平分线和平行线的证明与性质，掌握平行线证明方法是解题的关键．
7．（2019春·浙江宁波·七年级校联考期末）如图，点在的边上，过点作交于，作交于.
（1）请按题意补全图形．
（2）请判断与的大小关系，并说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）相等，理由见解析
【分析】（1）根据题意将图形补全即可；
（2）根据“两直线平行，同位角相等”得，根据“两直线平行，内错角相等”得，利用等量代换即可得证.
【详解】解：（1）
（2），理由如下：
，
（两直线平行，同位角相等），
，
（两直线平行，内错角相等），
.
【点睛】本题主要考查作图-平行线，平行线的性质，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
【易错】
一．选择题（共7小题）
1．（2022春•绍兴期末）如图，已知直线AB∥CD，直线EF分别交直线AB、CD于E、F，EM平分∠AEF交CD于M，G是射线MD上一动点（不与M、F重合）．EH平分∠FEG交CD于点H，设∠MEH＝α，∠EGF＝β，现有下列四个式子：①2α＝β；②2α﹣β＝180°；③α﹣β＝30°；④2α+β＝180°．其中正确的是（ ）
A．①②B．①④C．①③④D．②③④
【分析】根据平行线的性质和三角形的内角和求解．
【解答】解：当点G在点F右侧时，如图示：
∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，
∴∠MEF＝∠AEF，∠FEH＝∠FEG，
∵AB∥CD，
∴∠BEG＝∠EGF＝β．
∴∠MEH＝α＝∠MEF+∠FEH＝（∠AEF+∠FEG）＝（180°﹣∠BEG）＝（180°﹣β），
∴2α+β＝180°，
故④是正确的；
当点G在M和F之间时，如图：
∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，
∴∠MEF＝∠AEF，∠FEH＝∠FEG，
∵AB∥CD，
∴∠BEG＝∠EGF＝β．
∴∠MEH＝α＝∠MEF﹣∠FEH＝∠AEF﹣∠FEG＝（180°﹣∠BEF）﹣（180°﹣β﹣∠BEF）＝β，
∴2α＝β，
故①是正确的．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质及三角形的内角和，分类讨论是解题的关键．
2．（2022春•宾阳县期末）如图，已知GH∥BC，∠1＝∠2，GF⊥AB，给出下列结论：
①∠B＝∠AGH；②HE⊥AB；③∠D＝∠F；④HE平分∠AHG．
其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据平行线的性质和判定逐个判断即可．
【解答】解：∵GH∥BC，
∴∠1＝∠HGF，∠B＝∠AGH，故①正确；
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠HGF，
∴DE∥GF，
∴∠D＝∠DMF，
根据已知条件不能推出∠F也等于∠DMF，故③错误；
∵DE∥GF，
∴∠F＝∠AHE，
∵∠D＝∠1＝∠2，
∴∠2不一定等于∠AHE，故④错误；
∵GF⊥AB，GF∥HE，
∴HE⊥AB，故②正确；
即正确的个数是2，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的判定定理有：①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行，反之亦然．
3．（2021秋•开福区校级期末）如图，E在线段BA的延长线上，∠EAD＝∠D，∠B＝∠D，EF∥HC，连FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K为线段BC上一点，连CG，使∠CKG＝∠CGK，在∠AGK内部有射线GM，GM平分∠FGC，则下列结论：①AD∥BC；②GK平分∠AGC；③∠DGH＝37°；④∠MGK的角度为定值且定值为16°，其中正确结论的个数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】根据平行线的判定定理得到AD∥BC，故①正确；由平行线的性质得到∠AGK＝∠CKG，等量代换得到∠AGK＝∠CGK，求得GK平分∠AGC；故②正确；根据题意列方程得到∠FGA＝∠DGH＝37°，故③正确；设∠AGM＝∠1，∠MGK＝∠2，得到∠AGK＝∠1+∠2根据角平分线的定义即可得到结论．
【解答】解：∵∠EAD＝∠D，∠B＝∠D，
∴∠EAD＝∠B，
∴AD∥BC，故①正确；
∴∠AGK＝∠CKG，
∵∠CKG＝∠CGK，
∴∠AGK＝∠CGK，
∴GK平分∠AGC；故②正确；
∵∠FGA的余角比∠DGH大16°，
∴90°﹣∠FGA﹣∠DGH＝16°，
∵∠FGA＝∠DGH，
∴90°﹣2∠FGA＝16°，
∴∠FGA＝∠DGH＝37°，故③正确；
设∠AGM＝∠1，∠MGK＝∠2，
∴∠AGK＝∠1+∠2，
∵GK平分∠AGC，
∴∠CGK＝∠AGK＝∠1+∠2，
∵GM平分∠FGC，
∴∠FGM＝∠CGM，
∴∠FGA+∠AGM＝∠MGK+∠CGK，
∴37°+∠1＝∠2+∠1+∠2，
∴∠2＝18.5°，
∴∠MGK＝18.5°，故④错误，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，对顶角性质，正确的识别图形是解题的关键．
4．（2022春•琼海期末）如图，AB⊥BC于点B，DC⊥BC于点C，DE平分∠ADC交BC于点E，点F为线段CD延长线上一点，∠BAF＝∠EDF，则下列结论正确的有（ ）
①∠BAD+∠ADC＝180°；②AF∥DE；③∠DAF＝∠F．
A．3个B．2个C．1个D．0个
【分析】①证明AB∥CD，可做判断；
②根据平行线的判定和性质可做判断；
③根据AF∥ED得内错角相等和同位角相等，再由角平分线的定义得∠ADE＝∠CDE，从而可做判断．
【解答】解：①∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
故①正确；
②∵AB∥CD，
∴∠AFD+∠BAF＝180°，
∵∠BAF＝∠EDF，
∴∠AFD+∠EDF＝180°，
∴AF∥DE，
故②正确；
③∵AF∥ED，
∴∠DAF＝∠ADE，∠F＝∠CDE，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠DAF＝∠F，
故③正确；
故选：A．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
5．（2022春•齐河县期末）如图，给出下列条件①∠CAD＝∠ACB；②∠CAB＝∠ACD；③AD∥BE且∠D＝∠B；其中能推出AB∥DC的条件个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】利用内错角相等两直线平行，等量代换，同旁内角互补，两直线平行即可得到结果．
【解答】解：①∠CAD＝∠ACB，可判定AD∥BC，不能判定AB∥DC；
②∠CAB＝∠ACD，可判定AB∥CD；
③AD∥BE可得∠D+∠BCD＝180°，再由∠D＝∠B，可得∠B+∠BCD＝180°，可判定AB∥CD．
所以能推出AB∥DC的条件个数是2个，
故选：C．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，解题的关键是掌握判定定理：同位角相等，两直线平行．内错角相等，两直线平行．同旁内角互补，两直线平行．
6．（2022春•重庆期末）如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法，其依据是（ ）
A．同位角相等，两直线平行
B．两直线平行，同位角相等
C．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
【分析】根据平行线的判定和性质，平行公理进行判断即可．
【解答】解：过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法，其依据是：同位角相等，两直线平行．
故选：A．
【点评】考查了平行线的判定和性质，平行公理，解决本题的关键是掌握平行线的判定和性质．
7．（2022春•许昌期末）将一把直尺和一块含30°角的直角三角板按如图所示方式摆放，其中∠CBD＝90°，∠BDC＝30°，若∠1＝78°，则∠2的度数为（ ）
A．19°B．18°C．17°D．16°
【分析】先根据邻补角的定义求出∠DBE的度数，再根据平行线的性质得出∠BDF＝∠DBE，最后根据∠BDC＝30°求出∠2即可求出答案．
【解答】解：∵∠CBD＝90°，∠1＝78°，
∴∠DBE＝180°﹣∠CBD﹣∠1＝180°﹣90°﹣78°＝12°，
∵直尺的两边平行，即EA∥GH，
∴∠BDF＝∠DBE＝12°，
∵∠BDC＝30°，
∴∠2＝∠BDC﹣∠BDF＝30°﹣12°＝18°，
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，能灵活运用平行线的性质定理进行推理是解此题的关键．
二．解答题（共7小题）
8．（2022春•冠县期末）如图，点E、F分别在AB、CD上，AF⊥CE于点O，∠1＝∠B，∠A+∠2＝90°，求证：AB∥CD．请填空．
证明：∵AF⊥CE（ 已知 ），
∴∠AOE＝90° （ 垂直的定义 ）．
又∵∠1＝∠B （ 已知 ），
∴CE∥BF （ 同位角相等，两直线平行 ），
∴∠AFB＝∠AOE （ 两直线平行，同位角相等 ），
∴∠AFB＝90° （ 等量代换 ）．
又∵∠AFC+∠AFB+∠2＝180° （ 平角的定义 ），
∴∠AFC+∠2＝（ 90 ）°．
又∵∠A+∠2＝90°（已知），
∴∠A＝∠AFC （ 同角的余角相等 ），
∴AB∥CD （ 内错角相等，两直线平行 ）．
【分析】先证CE∥BF得∠AOE＝∠AFB，由AF⊥CE得∠AOE＝∠AFB＝90°，利用平角定义得出∠AFC+∠2＝90°，结合∠A+∠2＝90°可以得出∠AFC＝∠A，从而得证．
【解答】证明：∵AF⊥CE（已知），
∴∠AOE＝90° （垂直的定义）．
又∵∠1＝∠B （已知），
∴CE∥BF （同位角相等，两直线平行），
∴∠AFB＝∠AOE （两直线平行，同位角相等），
∴∠AFB＝90° （等量代换）．
又∵∠AFC+∠AFB+∠2＝180° （平角的定义），
∴∠AFC+∠2＝（90）°．
又∵∠A+∠2＝90°（已知），
∴∠A＝∠AFC （同角的余角相等），
∴AB∥CD （内错角相等，两直线平行）．
故答案为：已知；垂直的定义；已知；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行．
【点评】本题主要考查平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定和性质，并灵活运用．
9．（2022春•江汉区校级月考）如图1，直线l分别交直线AB、CD于点EF（点在点F的右侧）．若∠1+∠2＝180°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）如图2，点H在直线AB、CD之间，过点H作HG⊥AB于点G，若FH平分∠EFD，∠2＝120°，求∠FHG的度数．
（3）如图3，直线MN与直线AB、CD分别交于点M、N，若∠EMN＝120°，点P为线段EF上一动点，Q为直线CD上一动点，请直接写出∠PMN与∠MPQ，∠PQF之间的数量关系．（题中的角均指大于0°且小于180°的角）
【分析】（1）利用邻补角的定义及已知得出∠1＝∠DFE，即可判定AB∥CD；
（2）如图2所示，过点H作HP∥AB，则HP∥AB∥CD，然后利用角平分线的定义和平行线的性质求解即可；
（3）分当点Q在线段FN上时，当点Q在FN的延长线上时，当点Q在线段NF延长线上时（分当点Q在直线MP的左侧或点Q在直线MP的右侧），三种情况讨论求解即可．
【解答】（1）证明：∵∠1+∠2＝180°，
∠2+∠DFE＝180°，
∴∠1＝∠DFE（同角的补角相等），
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；
（2）解：如图所示，过点H作HP∥AB，则HP∥AB∥CD，
∵GH∥AB，即∠EGH＝90°，
∴∠PHG＝180°﹣∠EGH＝90°，
∵∠2＝120°，
∴∠EFD＝180°﹣∠2＝60°，
∵FH平分∠EFD，
∴∠HFD＝30°，
∵PH∥CD，
∴∠PHF＝∠HFD＝30°，
∴∠FHG＝∠PHF+∠PHG＝120°；
（3）解：如图3﹣1，当点Q在线段FN上时，过点P作PH∥AB，则PH∥AB∥CD，
∴∠EMP＝∠MPH，∠PQF＝∠HPQ，
∴∠MPQ+∠PMN﹣∠PQF
＝∠MPQ﹣∠HPQ+∠PMN
＝∠MPH+∠PMN
＝∠EMP+∠PMN
＝∠EMN
＝120°；
如图3﹣2，当点Q在FN的延长线上时，过点P作PH∥AB，则PH∥AB∥CD，
∴∠EMP＝∠MPH，∠PQF＝∠HPQ，
∴∠MPQ+∠PMN﹣∠PQF
＝∠MPQ+∠PMN﹣∠HPQ
＝∠MPH+∠PMN
＝∠EMP+∠PMN
＝∠EMN
＝120°；
如图3﹣3（1），当点Q在NF的延长线上且点Q在直线MP的右侧时，过点P作PH∥AB，则PH∥AB∥CD，
∴∠EMP＝∠MPH，∠PQF+∠HPQ＝180°，
∴∠MPQ+∠PMN+∠PQF
＝∠MPQ+180°﹣∠HPQ+∠PMN
＝∠MPH+∠PMN+180°
＝∠EMP+∠PMN+180°
＝∠EMN+180°
＝300°；
如图3﹣3（2），当点Q在NF的延长线上且点Q在直线MP的右侧时，过点P作PH∥AB，则PH∥AB∥CD，
∴∠EMP+∠MPH＝180°，∠PQF＝∠HPQ，
∴∠MPQ﹣∠PMN﹣∠PQF
＝∠MPQ﹣∠PMN﹣∠HPQ
＝∠MPH﹣∠PMN
＝180°﹣∠EMP﹣∠PMN
＝180°﹣∠EMN
＝60°；
综上，∠PMN与∠MPQ，∠PQF之间的数量关系为：∠MPQ+∠PMN﹣∠PQF＝120°或∠MPQ+∠PMN+∠PQF＝300°或∠MPQ+∠PMN﹣∠PQF＝60°．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质．熟记平行线的判定与性质及注意“数形结合”及“分类讨论”数学思想的运用是解题的基础．
10．（2022春•思明区校级期末）如图1，G，E是直线AB上两点，点G在点E左侧，过点G的直线GP与过点E的直线EP交于点P．直线PE交直线CD于点H，满足点E在线段PH上，∠PGB+∠P＝∠PHD．
（1）求证：AB∥CD；
（2）如图2，点Q在直线AB，CD之间，PH平分∠QHD，GF平分∠PGB，点F，G，Q在同一直线上，且2∠Q+∠P＝120°，求∠QHD的度数；
（3）在（2）的条件下，若点M是直线PG上一点，直线MH交直线AB于点N，点N在点B左侧，请直接写出∠MNB和∠PHM的数量关系．（题中所有角都是大于0°且小于180°的角）
【分析】（1）根据三角形外角性质得到∠PEB＝∠PHD，即可判定AB∥CD；
（2）过点Q作QK∥AB，则∠GQK＝∠EGF，由角平分线的定义可知，∠PGB＝2∠EGF＝2∠GQK，∠QHD＝2∠PHD；由∠PGB+∠P＝∠PHD，得∠QHD＝2∠PHD＝2∠PGB+2∠P＝4∠GQK+2∠P，由2∠GQH+∠P＝120°，可得2∠GQK+2∠HQK+∠P＝120°，对两式进行整理可得结论；
（3）根据点M和点N的位置不同，分三种情况讨论即可．
【解答】（1）证明：∵∠PGB+∠P＝∠PHD，∠PGB+∠P＝∠PEB，
∴∠PEB＝∠PHD，
∴AB∥CD；
（2）解：过点Q作QK∥AB，如图，
则∠GQK＝∠EGF，
由（1）知：AB∥CD，
∴QK∥CD，
∴∠HQK＝∠CHQ，
∴∠GQH＝∠GQK+∠HQK
＝∠EGF+∠CHQ，
∵GF平分∠PGB，
∴∠PGB＝2∠EGF＝2∠GQK，
∵PH平分∠QHD，
∴∠QHD＝2∠PHD，
∵∠PGB+∠P＝∠PHD，
∴∠QHD＝2∠PHD＝2∠PGB+2∠P＝4∠GQK+2∠P，
∵2∠GQH+∠P＝120°，
∴2∠GQK+2∠HQK+∠P＝120°，
∴2∠GQK+∠P＝120°﹣2∠HQK＝120°﹣2∠QHC，
∴∠QHD＝4∠GQK+2∠P＝2（120°﹣2∠QHC）＝240°﹣4∠QHC，
∵∠QHC＝180°﹣∠QHD，
∴∠QHD＝240°﹣4（180°﹣∠QHD），
解得∠QHD＝160°；
即∠QHD的度数为160°；
（3）在（2）的条件下，若点M是直线PG上一点，直线MH交直线AB于点N，点N在点B左侧，∠MNB和∠PHM的数量关系是∠MNB+∠PHM＝100°或∠MNB﹣∠PHM＝80°或∠MNB+∠PHM＝80°，理由如下：
在（2）的条件下，∠PHD＝∠QHD＝80°，
若点M在PG的延长线上，
∵AB∥CD，
∴∠HEN＝∠PHD＝80°，
∵∠MNB+∠PHM+∠HEN＝180°，
∴∠MNB+∠PHM＝180°﹣∠HEN＝100°
若点M在PG上，
∵AB∥CD，
∴∠HEN＝∠PHD＝80°，
∵∠MNB＝∠PHM+∠HEN，
∴∠MNB﹣∠PHM＝∠HEN＝80°；
若点M在GP的延长线上，
∵AB∥CD，
∴∠HEN+∠PHD＝180°，
∴∠HEN＝180°﹣∠PHD＝100°，
∵∠HME+∠PHM+∠HEN＝180°，∠MNB＝∠HNE，
∴∠MNB+∠PHM＝180°﹣∠HEN＝80°．
综上所述，点N在点B左侧，∠MNB和∠PHM的数量关系是∠MNB+∠PHM＝100°或∠MNB﹣∠PHM＝80°或∠MNB+∠PHM＝80°．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质．解题过程中，注意“数形结合”、“分类讨论”数学思想的运用．
11．（2022春•蚌埠期末）如图①，已知AD∥BC，∠B＝∠D＝120°．
（1）请问：AB与CD平行吗？为什么？
（2）若点E、F在线段CD上，且满足AC平分∠BAE，AF平分∠DAE，如图②，求∠FAC的度数．
（3）若点E在直线CD上，且满足∠EAC＝∠BAC，求∠ACD：∠AED的值（请自己画出正确图形，并解答）．
【分析】（1）依据平行线的性质以及判定，即可得到AB∥CD；
（2）依据AC平分∠BAE，AF平分∠DAE，即可得到∠EAC＝∠BAE，∠EAF＝∠DAE，进而得出∠FAC＝∠EAC+∠EAF＝（∠BAE+∠DAE）＝∠DAB；
（3）分三种情况讨论：点E在线段CD上时；点E在DC的延长线上时；点E在CD延长线上，依据AB∥CD，进而得到∠ACD：∠AED的值．
【解答】解：（1）平行．
如图①，∵AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
又∵∠B＝∠D＝120°，
∴∠D+∠A＝180°，
∴AB∥CD；
（2）如图②，∵AD∥BC，∠B＝∠D＝120°，
∴∠DAB＝60°，
∵AC平分∠BAE，AF平分∠DAE，
∴∠EAC＝∠BAE，∠EAF＝∠DAE，
∴∠FAC＝∠EAC+∠EAF＝（∠BAE+∠DAE）＝∠DAB＝30°；
（3）①如图3，当点E在线段CD上时，
由（1）可得AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC，∠AED＝∠BAE，
又∵∠EAC＝∠BAC，
∴∠ACD：∠AED＝2：3；
②如图4，当点E在DC的延长线上时，
由（1）可得AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC，∠AED＝∠BAE，
又∵∠EAC＝∠BAC，
∴∠ACD：∠AED＝2：1．
③若点E在CD的延长线上时，∠EAC＞∠BAC，不合题意．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及判定，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
12．（2022春•海安市月考）已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG．
（1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数；
（2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG＝30°，求∠MGN+∠MPN的度数；
（3）如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN＝105°，求∠AME的度数．
【分析】（1）过G作GH∥AB，依据两直线平行，内错角相等，即可得到∠AMG+∠CNG的度数；
（2）过G作GK∥AB，过点P作PQ∥AB，设∠GND＝α，利用平行线的性质以及角平分线的定义，求得∠MGN＝30°+α，∠MPN＝60°﹣α，即可得到∠MGN+∠MPN＝30°+α+60°﹣α＝90°；
（3）过G作GK∥AB，过E作ET∥AB，设∠AMF＝x，∠GND＝y，利用平行线的性质以及角平分线的定义，可得∠MEN＝∠TEN﹣∠TEM＝90°﹣y﹣2x，∠MGN＝x+y，再根据2∠MEN+∠G＝105°，即可得到2（90°﹣y﹣2x）+x+y＝105°，求得x＝25°，即可得出∠AME＝2x＝50°．
【解答】解：（1）如图1，过G作GH∥AB，
∵AB∥CD，
∴GH∥AB∥CD，
∴∠AMG＝∠HGM，∠CNG＝∠HGN，
∵MG⊥NG，
∴∠MGN＝∠MGH+∠NGH＝∠AMG+∠CNG＝90°；
（2）如图2，过G作GK∥AB，过点P作PQ∥AB，设∠GND＝α，
∵GK∥AB，AB∥CD，
∴GK∥CD，
∴∠KGN＝∠GND＝α，
∵GK∥AB，∠BMG＝30°，
∴∠MGK＝∠BMG＝30°，
∵MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，
∴∠GMP＝∠BMG＝30°，
∴∠BMP＝60°，
∵PQ∥AB，
∴∠MPQ＝∠BMP＝60°，
∵ND平分∠GNP，
∴∠DNP＝∠GND＝α，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠QPN＝∠DNP＝α，
∴∠MGN＝30°+α，∠MPN＝60°﹣α，
∴∠MGN+∠MPN＝30°+α+60°﹣α＝90°；
（3）如图3，过G作GK∥AB，过E作ET∥AB，设∠AMF＝x，∠GND＝y，
∵AB，FG交于M，MF平分∠AME，
∴∠FME＝∠FMA＝∠BMG＝x，
∴∠AME＝2x，
∵GK∥AB，
∴∠MGK＝∠BMG＝x，
∵ET∥AB，
∴∠TEM＝∠EMA＝2x，
∵CD∥AB∥KG，
∴GK∥CD，
∴∠KGN＝∠GND＝y，
∴∠MGN＝x+y，
∵∠CND＝180°，NE平分∠CNG，
∴∠CNG＝180°﹣y，∠CNE＝∠CNG＝90°﹣y，
∵ET∥AB∥CD，
∴ET∥CD，
∴∠TEN＝∠CNE＝90°﹣y，
∴∠MEN＝∠TEN﹣∠TEM＝90°﹣y﹣2x，∠MGN＝x+y，
∵2∠MEN+∠G＝105°，
∴2（90°﹣y﹣2x）+x+y＝105°，
∴x＝25°，
∴∠AME＝2x＝50°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，利用平行线的性质以及角的和差关系进行推算．
13．（2022春•邹城市校级月考）已知：如图，BC∥OA，∠B＝∠A＝100°，试回答下列问题：
（1）如图①所示，求证：OB∥AC．（注意证明过程要写依据）
（2）如图②，若点E、F在BC上，且满足∠FOC＝∠AOC，并且OE平分∠BOF．
（ⅰ）求∠EOC的度数；
（ⅱ）求∠OCB：∠OFB的比值；
（ⅲ）如图③，若∠OEB＝∠OCA．此时∠OCA度数等于 60° ．（在横线上填上答案即可）
【分析】（1）由同旁内角互补，两直线平行即可证明．
（2）（ⅰ）由∠FOC＝∠AOC，并且OE平分∠BOF得到∠EOC＝∠EOF+∠FOCP＝（∠BOF+∠FOA）＝∠BOA，算出结果．
（ⅱ）先得出∠OFB＝∠FOC+∠FCO＝2∠OCB，即可得到∠OCB：∠OFB＝1：2．
（ⅲ）设∠BOE＝∠EOF＝α，∠FOC＝∠COA＝β，依据∠OEB＝∠OCA，即可得到α＝β，根据∠AOB＝80°，可得α＝β＝20°，进而得出∠OCA＝2α+β＝40°+20°＝60°．
【解答】解：（1）∵BC∥OA，
∴∠B+∠O＝180°，（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠A＝∠B，
∴∠A+∠O＝180°，（等量代换）
∴OB∥AC．（同旁内角互补，两直线平行）
（2）（ⅰ）∵∠A＝∠B＝100°，
由（1）得∠BOA＝180°﹣∠B＝80°；
∵∠FOC＝∠AOC，并且OE平分∠BOF，
∴∠EOF＝∠BOF，∠FOC＝∠FOA，
∴∠EOC＝∠EOF+∠FOC＝（∠BOF+∠FOA）＝∠BOA＝40°．
（ⅱ）∵BC∥OA，
∴∠FCO＝∠COA，
又∵∠FOC＝∠AOC，
∴∠FOC＝∠FCO，
∴∠OFB＝∠FOC+∠FCO＝2∠OCB，
∴∠OCB：∠OFB＝1：2．
（ⅲ）∵OB∥AC，
∴∠OCA＝∠BOC，
设∠BOE＝∠EOF＝α，∠FOC＝∠COA＝β，
∴∠OCA＝∠BOC＝2α+β，
∠OEB＝∠EOC+∠ECO＝α+β+β＝α+2β，
∵∠OEB＝∠OCA，
∴2α+β＝α+2β，
∴α＝β，
∵∠AOB＝80°，
∴α＝β＝20°，
∴∠OCA＝2α+β＝40°+20°＝60°．
故答案是：60°．
【点评】本题考查平行线的性质的有关知识．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
14．（2022春•洛阳期中）将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起（如图①），其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．
（1）猜想∠BCD与∠ACE的数量关系，并说明理由；
（2）若∠BCD＝3∠ACE，求∠BCD的度数；
（3）若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角板DCE，试探究∠BCD等于多少度时CE∥AB，并简要说明理由．
【分析】（1）依据∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+∠ACD，即可得到∠BCD+∠ACE的度数；
（2）设∠ACE＝α，则∠BCD＝3α，依据∠BCD+∠ACE＝180°，即可得到∠BCD的度数；
（3）分两种情况讨论，依据平行线的判定，即可得到当∠BCD等于150°或30°时，CE∥AB．
【解答】解：（1）∠BCD+∠ACE＝180°，理由如下：
∵∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+∠ACD，
∴∠BCD+∠ACE＝90°+∠ACD+∠ACE＝90°+90°＝180°；
（2）如图①，设∠ACE＝α，则∠BCD＝3α，
由（1）可得∠BCD+∠ACE＝180°，
∴3α+α＝180°，
∴α＝45°，
∴∠BCD＝3α＝135°；
（3）分两种情况：
①如图1所示，当∠BCD＝150°时，AB∥CE．
∵∠BCD＝150°，∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠ACE＝30°，
∴∠A＝∠ACE＝30°，
∴AB∥CE．
②如图2所示，当∠BCD＝30°时，AB∥CE．
∵∠BCD＝30°，∠DCE＝90°，
∴∠BCE＝∠B＝60°，
∴AB∥CE．
综上所述，∠BCD等于150°或30°时，CE∥AB．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握性质定理并且能够准确识图是解题的关键．
【压轴】
一．解答题（共7小题）
1．（2022春•中山市期中）问题情境：
（1）如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC度数．小颖同学的解题思路是：如图2，过点P作PE∥AB，请你接着完成解答
问题迁移：
（2）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．试判断∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？（提示：过点P作PE∥AD），请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你猜想∠CPD、∠α、∠β之间的数量关系．
【分析】（1）过P作PE∥AB，构造同旁内角，利用平行线性质，可得∠APC＝110°．
（2）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案；
（3）画出图形（分两种情况：①点P在BA的延长线上，②点P在AB的延长线上），根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案．
【解答】解：（1）过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠APE＝180°﹣∠A＝50°，∠CPE＝180°﹣∠C＝60°，
∴∠APC＝50°+60°＝110°；
（2）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：
如图3，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；
（3）当P在BA延长线时，∠CPD＝∠β﹣∠α；
理由：如图4，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；
当P在BO之间时，∠CPD＝∠α﹣∠β．
理由：如图5，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角．
2．（2022春•思明区校级期末）如图1，AB∥CD，E为AB上一点，点P在线段CE上，且PD∥CF．
（1）求证：∠AEC+∠DCF＝∠DPE；
（2）如图2，在线段CF上取点H，使∠HPF＝∠HFP，若CD平分∠ECF，PQ平分∠EPH，∠HPQ+∠AEC＝90°，试判断PF与EF的大小关系．
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠AEC＝∠ECD，∠PDC＝∠DCF，然后根据外角的性质即可证得结论；
（2）设∠ECD＝∠FCD＝α，则∠ECF＝2α，设∠HPF＝∠HFP＝β，根据平行线的性质可推出∠EPD＝∠ECF＝2α，∠FPD＝∠PFH＝β，∠AEC＝∠ECD＝α，从而得出∠EPH＝2α+2β，根据已知条件∠HPQ+∠AEC＝90°，可得出2α+β＝90°，进一步得出结果．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠AEC＝∠ECD，
∵PD∥CF，
∴∠PDC＝∠DCF，
∵∠DPE＝∠ECD+∠PDC，
∴∠DPE＝∠AEC+∠DCF；
（2）∵CD平分∠ECF，
∴∠ECF＝2∠ECD＝∠2FCD，
设∠ECD＝∠FCD＝α，则∠ECF＝2α，
设∠HPF＝∠HFP＝β，
∵PD∥CF，
∴∠EPD＝∠ECF＝2α，∠FPD＝∠PFH＝β，
∴∠HPD＝∠FPH+∠FPD＝β+β＝2β，
∴∠EPH＝∠EPD+∠HPD＝2α+2β，
∵PQ平分∠EPH，
∴∠HPQ＝＝α+β，
∵AB∥CD，
∴∠AEC＝∠ECD＝α，
∵∠HPQ+∠AEC＝90°，
∴（α+β）+α＝90°，
∴2α+β＝90°，
∴∠EPF+∠HFP＝90°，
∴∠EPF＝∠CPF＝90°，
∴PF＜EF．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义等知识，解决问题的关键是设参数，简明地表达角之间数量关系．
3．（2022春•房山区期末）如图，由线段AB，AM，CM，CD组成的图形像，称为“形BAMCD”．
（1）如图1，形BAMCD中，若AB∥CD，∠AMC＝60°，则∠A+∠C＝ 60 °；
（2）如图2，连接形BAMCD中B，D两点，若∠ABD+∠BDC＝160°，∠AMC＝α，试猜想∠BAM与∠MCD的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，当点M在线段BD的延长线上从上向下移动的过程中，请直接写出∠BAM与∠MCD所有可能的数量关系．
【分析】（1）过M作MN∥AB，利用平行线的性质计算可求求解；
（2）过A点作AP∥CD交BD于点P，利用平行线的性质及三角形的内角和定理可求得∠BAP＝20°，结合（1）的结论可求解；
（3）可分两种情况：当D，C位于AM两侧时，当D，C位于AM同侧时，利用平行线的性质及三角形外角的性质可分别计算求解．
【解答】解：（1）过M作MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥MN∥CD，
∴∠AMN＝∠A，∠MCD＝∠C，
∴∠A+∠C＝∠AMN+∠MCD＝∠AMC＝60°，
故答案为：60°；
（2）∠BAM+∠MCD＝α+20°．
理由：过A点作AP∥CD交BD于点P，
∴∠APB＝∠D，
∵∠BAP+∠APB+∠B＝180°，∠B+∠D＝160°，
∴∠BAP＝180°﹣160°＝20°，
由（1）可得∠AMC＝∠PAM+∠MCD，
∵∠AMC＝α，
∴∠PAM+∠MCD＝α，
∴∠BAM+∠MCD＝α+20°；
（3）如图，当D，C位于AM两侧时，
∵∠ABD+∠BDC＝160°，∠CDM+∠BDC＝180°，
∴∠CDM﹣∠ABD＝20°，
∵∠AMQ＝∠B+∠BAM，∠CMQ＝∠MCD+∠CDM，∠AMC＝α，
∴α＝∠AMQ﹣∠CMQ＝∠B+∠BAM﹣（∠MCD+∠CDM）＝∠BAM﹣∠MCD﹣20°，
即∠BAM﹣∠MCD＝α+20°；
当D，C位于AM同侧时，
∵∠ABD+∠BDC＝160°，∠CDM+∠BDC＝180°，
∴∠CDM﹣∠ABD＝20°，
∵∠AMO＝∠B+∠BAM，∠CMO＝∠MCD+∠CDM，∠AMC＝α，
∴α＝∠CMO﹣∠AMO＝∠MCD+∠CDM﹣（∠B+∠BAM）＝∠MCD﹣∠BAM+20°，
即∠MCD﹣∠BAM＝α﹣20°．
综上，∠BAM﹣∠MCD＝α+20°或∠MCD﹣∠BAM＝α﹣20°．
【点评】本题主要考查平行线的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和定理，掌握平行线的性质是解题的关键．
4．（2022春•武昌区期末）如图1，AB∥CD，点E在AB上，点H在CD上，点F在直线AB，CD之间，连接EF，FH，∠BEF＝α，∠FHD＝β．
（1）直接写出∠EFH的度数为 α+β ；
（2）如图2，若HM平分∠CHF，MN平分∠BEF，证明：∠EFH+2∠M＝180°；
（3）如图3，若∠BEN＝∠BEF，∠MHC＝∠FHC，则∠M＝ ﹣（α+β） ．（用含有n，α，β的式子表示）
【分析】（1）过F点作FG∥AB，根据平行线的性质可证得∠BEF＝∠EFG，∠GFH＝∠FHD，即可得∠EFH＝∠BEF+∠FHD，进而可求解；
（2）结合（1）的结论，利用平行线的性质及三角形的内角和定理可求解∠M+∠AHF+∠FHD+∠BEN＝180°，再利用角平分线的定义可得∠M+∠EFH＝90°，进而可证明结论；
（3）结合（1）的结论，利用平行线的性质及三角形的内角和定理可求解∠M+∠AHF+∠FHD+∠BEN＝180°，再利用∠BEN＝∠BEF，∠MHC＝∠FHC可得∠M+∠EFH＝，进而可求解．
【解答】（1）解：过F点作FG∥AB，
∴∠BEF＝∠EFG，
∵AB∥CD，
∴FG∥CD，
∴∠GFH＝∠FHD，
∴∠EFH＝∠BEF+∠FHD，
∵∠BEF＝α，∠FHD＝β，
∴∠EFH＝α+β，
故答案为：α+β；
（2）证明：由（1）知：∠EFH＝∠BEF+∠FHD，
∵AB∥CD，
∴∠MAE＝∠AHD＝∠AHF+∠FHD，
∵∠M+∠MAE+∠AEM＝180°，∠AEM＝∠BEN，
∴∠M+∠AHF+∠FHD+∠BEN＝180°，
∵HM平分∠CHF，MN平分∠BEF，
∴∠AHF＝∠CHF，∠BEN＝∠BEF，
∵∠CHF＝180°﹣∠FHD，
∴∠AHF＝90°﹣∠FHD，
∴∠M+90°﹣∠FHD+∠FHD+∠BEF＝180°，即∠M+（∠FHD+∠BEF）＝90°，
∴∠M+∠EFH＝90°，
即∠EFH+2∠M＝180°；
（3）解：由（1）知：∠EFH＝∠BEF+∠FHD，
∵AB∥CD，
∴∠MAE＝∠AHD＝∠AHF+∠FHD，
∵∠M+∠MAE+∠AEM＝180°，∠AEM＝∠BEN，
∴∠M+∠AHF+∠FHD+∠BEN＝180°，
∵∠BEN＝∠BEF，∠MHC＝∠FHC，∠CHF＝180°﹣∠FHD，
∴∠AHF＝∠CHF＝（180°﹣∠FHD），
∴∠M+（180°﹣∠FHD）+∠FHD+∠BEF＝180°，即∠M+（∠FHD+∠BEF）＝×180°，
∴∠M+∠EFH＝，
∵∠EFH＝α+β，
∴∠M＝﹣（α+β）．
故答案为：﹣（α+β）．
【点评】本题主要考查平行线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，灵活运用平行线的性质求解角的关系式解题的关键．
5．（2022春•武汉期末）已知：点E在直线AB上，点F在直线CD上，AB∥CD．
（1）如图1，连EF，EP平分∠AEF，FP平分∠CFE，求∠P的度数．
（2）如图2，若∠EGF＝160°，射线EH，FH分别在∠AEG，∠CFG的内部，且∠EHF＝40°，当∠AEG＝4∠AEH时，求的值．
（3）如图3，在（1）的条件下，在直线CD上有一动点M（点M不与点F重合），EN平分∠MEF，若∠PEN＝α（0°＜α＜90°），请直接写出∠EMF＝ 2α或180﹣2α （结果用含α的式子表示）．
【分析】（1）过点P作GH∥AB，根据AB∥CD，可得GH∥CD．所以∠EPF＝∠AEP+∠CFP，然后根据EP、FP分别平分∠AEF和∠CEF，可得∠AEF＝2∠AEG，∠CEF＝2∠CFG，进而可以解决问题；
（2）过点G，H作GK∥AB，HL∥AB，然后根据平行线的性质即可解决问题；
（3）由题意可得EN平分∠MEF，FP平分∠CFE，所以∠MEN＝∠FEN，∠EFP＝∠CFP，然后利用三角形内角和定理即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1，过点P作GH∥AB，
∴∠EPH＝∠AEP．
∵AB∥CD，
∴GH∥CD．
∴∠FPH＝∠CFP．
∴∠EPH+∠FPH＝∠AEP+∠CFP．即：∠EPF＝∠AEP+∠CFP，
∵EP、FP分别平分∠AEF和∠CEF，
∴∠AEF＝2∠AEG，∠CEF＝2∠CFG，
∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠CFE＝180°，
∴2∠AEG+2∠CFG＝180°，
∴∠AEG+∠CFG＝90°，
∴∠EPF＝∠AEP+∠CFP＝90°；
（2）如图2，过点G，H作GK∥AB，HL∥AB，
∵AB∥CD，
∴GK∥CD，HL∥CD，
∴∠AEH＝∠EHL．∠CFH＝∠LHF．∠AEG＝∠EGK．∠CFG＝∠FGK．
∵∠EGF＝∠EGK+∠FGK＝160°，∠EHF＝∠EHL+∠LHF＝40°，
∴∠EGF＝4（∠EHL+∠LHF），
∴∠EGK+∠FGK＝∠AEG+∠CFG＝4（∠AEH+∠HFC），
∵∠AEG＝4∠AEH，
∴∠CFG＝4∠HFC，
∴＝；
（3）如图3，
由题意可知：EN平分∠MEF，FP平分∠CFE，
∴∠MEN＝∠FEN，∠EFP＝∠CFP，
∵∠EPF＝∠FEP+∠EFP＝90°，∠PEN＝α
∴∠PEN+∠FEN+∠EFP＝α+∠FEN+∠EFP＝α+∠MEN+∠CFP＝90°，
∵∠ENM＝∠FEN+∠EFN＝∠FEN+∠EFP+∠CFP，
在△EMN中，∠EMN+∠ENM+∠MEN＝180°，
∴∠EMN+∠FEN+∠EFP+∠CFP+∠MEN＝180°，
∴∠EMN＝180°﹣（∠MEN+∠CFP）﹣（∠FEN+∠EFP），
∴∠EMF＝∠EMN＝180°﹣（90°﹣α）﹣（90°﹣α）＝2α．
当M在F点右侧时，∠EMF＝180﹣2α．
故答案为：2α或180﹣2α．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是作平行线构造内错角或同位角，利用平行线的性质以及角的和差关系进行推算．
6．（2022春•青山区期中）已知，直线AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点P是直线AB与CD外一点，连接PE、PF．
（1）如图1，若∠AEP＝45°，∠DFP＝105°，求∠EPF的度数；
（2）如图2，过点E作∠AEP的角平分线EM交FP的延长线于点M，∠DFP的角平分线FN交EM的反向延长线交于点N，若∠M与3∠N互补，试探索直线EP与直线FN的位置关系，并说明理由；
（3）若点P在直线AB的上方且不在直线EF上，作∠DFP的角平分线FN交∠AEP的角平分线EM所在直线于点N，请直接写出∠EPF与∠ENF的数量关系．
【分析】（1）过P作PQ∥AB，根据平行线的性质可得∠EPF＝120°；
（2）EP∥FN，根据角平分线的定义和三角形外角的性质可得∠4＝2∠1＝∠AEP，进而可得结论；
（3）根据角平分线的定义和平行线的性质分情况讨论即可．
【解答】解：（1）如图，过P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠QPE＝∠AEP＝45°，∠QPF＝∠180°﹣∠DFP＝180°﹣105°＝75°，
∴∠EPF＝∠QPE+∠DFP＝45°+75°＝120°．
故∠EPF＝120°；
（2）EP∥FN，如图，
理由：∵PE平分∠AEP，FN平分∠MFD，
∴∠AEP＝2∠1，∠MFD＝2∠3，
由（1）得，∠M＝∠1+∠CFM＝∠1+（180°﹣2∠3）＝∠1+（180°﹣2∠4），
∵AB∥CD，
∴∠3＝∠4，
由三角形外角的性质可得，∠N＝∠4﹣∠2＝∠4﹣∠1，
∵∠M与3∠N互补，
∴∠1+（180°﹣2∠4）+3（∠4﹣∠1）＝180°，
整理得，∠4＝2∠1＝∠AEP，
∴EP∥FN；
（3）①∠EPF+2∠ENF＝180°．如图，
∵AB∥CD，
∴∠CFH＝∠EHF，∠EKF＝∠DFK，
∵FN平分∠DFP，ME平分∠AEP，
∴∠CFH＝180°﹣2∠DFK，∠AEP＝2∠AEM＝2∠KEN，
由外角的性质得，∠EPF＝∠EHF﹣∠AEP＝180°﹣2∠DFK﹣2∠AEM，∠ENF＝∠EKF+∠KEN＝∠DFK+∠AEM，
∴∠EPF＝180°﹣2∠ENF，
∴∠EPF+2∠ENF＝180°．
②∠EPF＝2∠ENF﹣180°．如图，
∵AB∥CD，
∴∠PKB＝∠PFD＝2∠DFN，
由外角的性质得，∠EPF＝∠PKB﹣∠BEP＝∠PKB﹣（180°﹣2∠MEP）＝2∠DFN+2∠AEM﹣180°，
由（1）得，∠ENF＝∠DFN+∠NEK＝∠DFN+∠AEM，
∴2∠ENF＝2∠DFN+2∠AEM，
∴∠EPF＝2∠ENF﹣180°．
【点评】本题考查平行线判定和性质，角平分线的定义，三角形外角与内角的关系，根据题意理清各角之间的关系是解题关键．
7．（2022春•吉安期中）如图1，已知直线CD∥EF，点A、B分别在直线CD、直线EF上，P为两平行线间一点．
猜想
（1）猜想∠DAP，∠FBP，∠APB之间有什么数量关系？并说明理由．
应用
（2）利用（1）的结论解答：
①如图2，AP1、BP1分别平分∠DAP、∠FBP，请你直接写出∠P与∠P1的数量关系，不需要说明理由；
②如图3，AP2、BP2分别平分∠CAP、∠EBP，若∠APB＝α，求∠AP2B的大小（用含α的代数式表示）．
【分析】（1）过P作PM∥CD，根据两直线平行，内错角相等可得∠APM＝∠DAP，再根据平行公理求出CD∥EF然后根据两直线平行，内错角相等可得∠MPB＝∠FBP，最后根据∠APM+∠MPB＝∠DAP+∠FBP等量代换即可得证；
（2）①根据（1）的规律和角平分线定义解答；
②根据①的规律可得∠APB＝∠DAP+∠FBP，∠AP2B＝∠CAP2+∠EBP2，然后根据角平分线的定义和平角等于180°列式整理即可得解．
【解答】解：（1）∠APB＝∠DAP+∠FBP，理由如下：
过P作PM∥CD，如图，
∴∠APM＝∠DAP，
∵CD∥EF，
∴PM∥CD，
∴∠MPB＝∠FBP，
∴∠APM+∠MPB＝∠DAP+∠FBP．
即∠APB＝∠DAP+∠FBP；
（2）①结论：∠P＝2∠P1；
理由：由（1）可知：∠P＝∠DAP+∠FBP，∠P1＝∠DAP1+∠FBP1，
∵∠DAP＝2∠DAP1，∠FBP＝2∠FBP1，
∴∠P＝2∠P1．
故答案为：∠P＝2∠P1；
②由①得∠APB＝∠DAP+∠FBP，∠AP2B＝∠CAP2+∠EBP2，
∵AP2、BP2分别平分∠CAP、∠EBP，
∴∠CAP2＝∠CAP，∠EBP2＝∠EBP，
∴∠AP2B＝∠CAP+∠EBP
＝（180°﹣∠DAP）+（180°﹣∠FBP）
＝180°﹣（∠DAP+∠FBP）
＝180°﹣∠APB
＝180°﹣α．
【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质与概念是解题的关键，此类题目，难点在于过拐点作平行线．