专题19 旋转模型之奔驰型-【微专题】2022-2023学年九年级数学上册常考点微专题提分精练（人教版）

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1．如图，是等边三角形外一点，，，，求的度数．
【解答】解：为等边三角形，
，，
可将绕点顺时针旋转得，
连，如图，
，，，，
为等边三角形，
，
在中，，，，
，
为直角三角形，且，
，
．
2．已知，如图，为等边三角形内一点，，，，求的面积．
【解答】解：为等边三角形，
，
可将绕点逆时针旋转得，
连，且延长，作于点．如图，
，，，
为等边三角形，
，，
在中，，，，
，
为直角三角形，且，
．
，
在直角中，，．
在直角中，．
则的面积是．
3．是等边内一点，，，，求的长．
【解答】解：为等边三角形，
，，
把绕点逆时针旋转得到，如图，连接，
，，，
为等边三角形，
，，
，
，
在中，，，
，
．
4．如图，点是等边三角形内一点，且，，，若将绕着点逆时针旋转后得到．
（1）求点与点之间的距离．
（2）求的度数．
【解答】解：（1）连接，由题意可知
则，，
是等边三角形，
，
，
故为等边三角形，
所以；
（2），
，，
又，，利用勾股定理的逆定理可知：
，
则为直角三角形，且，
为等边三角形，
，
5．如图①，在等腰中，，，点，分别是边，上的点，且，连接，如图②，将绕点顺时针旋转一定角度，使，连接，．
（1）求证：；
（2）若，，求的面积．
【解答】（1）证明：在等腰中，，，，分别是边，上的点，且，，
，
在和中，
；
（2）解：，，
，，
，
，
根据（1）可知，
，
，
．
6．已知为等边三角形，，分别是边，上的点，且，将绕点旋转至如图所示的位置，连接，交于点．
（1）求证：；
（2）连接，求证：是的平分线．
【解答】证明：（1）为等边三角形，，分别是边，上的点，且，
，为等边三角形，
，
，
；
（2）如图，过分别作于点，于点，
，
，，
，
在的平分线上，
即是的平分线．
7．如图①，和中，，点、分别在边、上，．
（1）如图②，将绕点逆时针旋转到如图位置，若，求的度数；
（2）如图②，将绕点逆时针旋转过程中，当旋转角度 或 时，直线与垂直；
（3）如图③，绕点在平面内自由旋转，连接，且，，求的最大值和最小值．
【解答】解：（1），，
．
（2）①垂足在线段上时，
，，
，
，
，即旋转角度；
②垂足在线段延长线上时，
，，
，
，
旋转角度；
故答案为：或．
（3）当旋转到射线的延长线上时，最大，此时．
当旋转到线段上时，最小，此时．
的最大值是14，最小值是6．
8．（1）如图1，点是等边内一点，已知，，，求的度数．
要直接求的度数显然很困难，注意到条件中的三边长恰好是一组勾股数，因此考虑借助旋转把这三边集中到一个三角形内，如图2，作使，连接，，则是等边三角形．
，
是等边三角形
，

，
在中，，，，

（2）如图3，在中，，，点是内一点，，，，求的度数．
【解答】解：（1）如图2，作使，连接，，则是等边三角形．
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
在中，，，，
故答案为：，，，90．
（2）解：，，
把绕点逆时针旋转得到，如图，
，，，
为等腰直角三角形，
，，
在中，，，，
，
，
为直角三角形，
，
．
9．如图，是等边三角形内的一点，连接，，，以为边作，且，连接．
（1）观察并猜想与之间的大小关系，并说明理由．
（2）若，，，连接，判断的形状并说明理由．
【解答】解：（1）．理由如下：
，且，
为等边三角形，
，，
，
在和中，
，
，
；
（2）等边和等边中，
，，
，，
为直角三角形（勾股定理逆定理）．
10．阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在等边三角形内有一点，且，，，求度数．
小明发现，利用旋转和全等的知识构造△，连接，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决（如图．
请回答：图1中的度数等于 ，图2中的度数等于 ．
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在平面直角坐标系中，点坐标为，，连接．如果点是轴上的一动点，以为边作等边三角形．当在第一象限内时，求与之间的函数表达式．
【解答】解：阅读材料：把绕点逆时针旋转得到，
由旋转的性质，，，，
是等边三角形，
，，
，，
，
，
；
故；
故答案为：；；
如图3，在轴上截取，作轴于，轴于，连接和，
点的坐标为，，
，
，，
．
是等边三角形，
又是等边三角形，
，，
，
．
，又，
．
．
且点在第一象限内，
，
．
11．平移、旋转、翻折是几何图形的最基本的三种图形变换，利用图形变换可将分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的．
（1）探究发现
如图（1），是等边内一点，，，．求的度数．
解：将绕点旋转到的位置，连接，则是 等边 三角形．
，，，
为 三角形．的度数为 ．
（2）类比延伸
在正方形内部有一点，连接、、，若，，，求的长；
（3）拓展迁移
如图（3），在四边形中，线段与不平行，，与交于点，且，比较与的大小关系，并说明理由．
【解答】解：将绕点旋转到的位置，连接，则是等边三角形．
，，，
，
为直角三角形，
的度数为
故答案为：等边；直角；
（2）如图1，把绕点顺时针旋转得到，
则，，
旋转角是，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
在△中，由勾股定理得，；
（3），理由如下：
如图2所示，以为边向左做等边三角形，连接，
则，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
在中，可得：，即．
12．（1）在一次数学探究活动中，陈老师给出了一道题．
如图1，已知中，，，是内的一点，且，，，求的度数．
小强在解决此题时，是将绕旋转到的位置（即过作，且使，连接、．你知道小强是怎么解决的吗？
（2）请根据（1）的思想解决以下问题：
如图2所示，设是等边内一点，，，，求的度数．
【解答】解：（1）如图1，由题意得：
；；
由勾股定理得：；
，，
，
，
，
．
（2）如图2，将绕点逆时针旋转到的位置，连接；
则，，；
为等边三角形，，；
，，
，
，，
．
13．如图，是等腰内一点，，连接，，．
（1）如图1，当时，将绕点顺时针旋转，画出旋转后的图形；
（2）在（1）中，若，，，求的大小；
（3）当时，且，，，则的面积是 （直接填答案）
【解答】解：（1）如图1所示，△即为所求；
（2）如图2，连接．
将绕点顺时针旋转，与△重合，
△，，
，，，
是等腰直角三角形，
，．
在中，，，，
，
△是直角三角形，，
；
（3）如图3①，将绕点逆时针旋转得到△，连接，
△，
，，，
是等边三角形，
，
，，，
，
△是直角三角形，，
，，
；
△，
；
如图3②，同理可求：和的面积的和，
和的面积的和，
的面积，
的面积的面积与的面积的和．
故答案为．
14．（1）如图①，是正方形内一点，连接，，．
①画出将绕点顺时针旋转得到的△；
②若，，，求的长．
（2）如图②，设是等边三角形内的一点，，，，则的度数是 ．
【解答】解：（1）①如图，△为所作；
②连接，如图，
绕点顺时针旋转得到的△，
，，，，
为等腰直角三角形，
，，
，
在△中，．
（2）为等边三角形，
，
可将绕点逆时针旋转得，
如图②，连接，
，，，
为等边三角形，
，，
在中，，，，
，
为直角三角形，且，
．
故答案为．
15．（原题初探）（1）小明在数学作业本中看到有这样一道作业题：如图1，是正方形内一点，连结，，现将绕点顺时针旋转得到的△，连接．若，，，则的长为 ，正方形的边长为 ．
（变式猜想）（2）如图2，若点是等边内的一点，且，，，请猜想的度数，并说明理由．
（拓展应用）（3）聪明的小明经过上述两小题的训练后，善于反思的他又提出了如下的问题：
如图3，在四边形中，，，，则的长度为 ．
【解答】解：（1）绕点顺时针旋转得到的△，
，，，，
为等腰直角三角形，
，，
，
在△中，由勾股定理得：，
过点作交的延长线于，如图1所示：
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
在中，由勾股定理得：，
故答案为：，；
（2）的度数为，理由如下：
是等边三角形，
，，
将绕点逆时针旋转，得到△，连接，如图2所示：
则是等边三角形，
，，
，，
，
为直角三角形，
，
；
（3），
是等腰直角三角形，
，，
将绕点顺时针旋转，得到，连接，如图3所示：
由旋转的性质得：，，，
是等腰直角三角形，
，，
，
是直角三角形，
，
，
故答案为：．
16．下面是一道例题及其解答过程，请补充完整．
（1）如图1，在等边三角形内部有一点，，，，求的度数．
解：将绕点逆时针旋转，得到△，连接，则为等边三角形．
，，，
．
为 直角 三角形．
的度数为 ．
（2）类比延伸
如图2，在正方形内部有一点，若，试判断线段、、之间的数量关系，并说明理由．
【解答】解：（1）如图1，将绕点逆时针旋转，得到△，连接，则为等边三角形．
，，，
．
为直角三角形．
的度数为．
故答案为：直角；；
（2）．理由如下：
如图2，把绕点顺时针旋转得到，连接．
则，，，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
在△中，由勾股定理得，，
．
17．问题提出
（1）如图，点、是直线外两点，在直线上找一点，使得最小．
问题探究
（2）在等边三角形内有一点，且，，，求度数的大小．
问题解决
（3）如图，矩形是某公园的平面图，米，米，现需要在对角线上修一凉亭，使得到公园出口、，的距离之和最小．问：是否存在这样的点？
若存在，请画出点的位置，并求出的和的最小值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）如图1，连接点、，与直线交于点，点 即为所求．
（2）如图2，把绕点逆时针旋转得到△，
由旋转的性质，，，，
是等边三角形，
，，
，，
，
，
；
故；
（3）如图连接，设在内一点，把绕点逆时针旋转得到，
由旋转的性质，，，，，，，
△、是等边三角形，
，
，
根据两点间线段距离最短，可知当时最短，
是等边三角形，
以为一边作等边三角形，
最小值为的长，
此时点在线段上，
点为、的交点．
若点与点重合，即在对角线 上，
则点为与的交点，此时点（E）与点重合，
显然不符合题意，故点不在对角线上，
即对角线上不存在这样的点，使得到公园出口、，的距离之和最小．
18．阅读下面材料：
小伟遇到这样一个问题：如图1，在正三角形内有一点，且，，，求的度数．小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造△，连接，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．
（1）请你回答：图1中的度数等于 ．
参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：
（2）如图3，在正方形内有一点，且，，，求的度数和正方形的边长．
【解答】解：（1）如图2，把绕点逆时针旋转得到，
由旋转的性质，，，，
是等边三角形，
，，
，，
，
，
；
故；
故答案为．
（2）如图3，把绕点逆时针旋转得到，
由旋转的性质，，，，
是等腰直角三角形，
，，
，，
，
，
，
故，
，
点、、三点共线，
过点作于，
则，
，
在中，．