福建省莆田市荔城区中山中学、第九中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（原卷+解析）

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一．精心选一选（每小题4分，共40分．每小题只有一个正确答案）
1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：．
2. 下列方程属于一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义逐项判断即可，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程，熟记一般形式为：．
【详解】、中，最高次数为，此选项不符合题意；
、是二元一次方程，此选项不符合题意；
、不是整式方程，此选项不符合题意；
、是一元二次方程，此选项符合题意；
故选：．
3. 小明在物理实验课上用放大镜观察一个三角形器材，其中不会发生变化的量是（ ）
A. 各内角的度数B. 各边的长度C. 三角形的周长D. 三角形的面积
【答案】A
【解析】
【分析】根据相似三角形的性质即可进行解答．
【详解】解：根据题意可得，用放大镜观察得到的三角形和原本的三角形相似，
∴各内角的度数不会改变，各边的长度，周长和面积均变大了，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形对应角相等，对应边成比例，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
4. 下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A. 随时打开电视机，正在播新闻
B. 优秀射击运动员射击一次，命中靶心
C. 抛掷一枚质地均匀的骰子，出现4点朝上
D. 长度分别是3cm，5cm，6cm的三根木条首尾相接，组成一个三角形
【答案】D
【解析】
【详解】分析：根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
详解：A．是随机事件，故A不符合题意；
B．是随机事件，故B不符合题意；
C．是随机事件，故C不符合题意；
D．必然事件，故D符合题意．
故选D．
点睛：本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．
5. 在中，根据下列尺规作图的痕迹，不能判断与大小关系的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用基本作图可直接对由A选项和B选项中和的长，再根据基本作图和线段垂直平分线的性质、三角形三边的关系，比较和的长，可判断C，不能比较和的长，可判断D．
【详解】解：A．由作图痕迹，在上截取线段等于，则，所以A选项不符合题意；
B．由作图痕迹，在上延长线上截取线段等于，则，所以B选项不符合题意；
C．由作图痕迹，作的垂直平分线，可知，根据三角形三边关系得，即，所以C选项不符合题意；
D．由作图痕迹，作的垂直平分线，仿照C，可知，不能说明和的大小，所以D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．
6. 若三点都在的图象上，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质进行判断即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】∵，
∴反比例函数图象的两个分支在第二四象限，且在每个象限内随的增大而增大，
又∵、是双曲线上的两点，且，
∴，
又∵，在第四象限，
∴，
则，，大小关系为，
故选：．
7. 如图，是的两条弦，于点D，于点E，连结，．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据四边形的内角和等于360°计算可得∠BAC=50°，再根据圆周角定理得到∠BOC=2∠BAC，进而可以得到答案．
详解】解：∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴∠ADO=90°，∠AEO=90°，
∵∠DOE=130°，
∴∠BAC=360°-90°-90°-130°=50°，
∴∠BOC=2∠BAC=100°，
故选：B．
【点睛】本题考查的是圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
8. 如图，中，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先根据，可得，然后根据余弦的求法，求出的值是多少即可．
【详解】解：∵，
∴．
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查锐角三角函数的定义和勾股定理，要熟练掌握，解题的关键是要明确：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
9. 如图，底边AB长为2的等腰直角△OAB的边OB在x轴上，将△OAB绕原点O逆时针旋转45°得到△OA1B1，则点A1的坐标为（ ）
A. （1，﹣）B. （1，﹣1）C. （，﹣）D. （，﹣1）
【答案】B
【解析】
【分析】A1B1交x轴于H，如图，根据等腰直角三角形的性质得∠OAB=45°，再利用旋转的性质得A1B1=AB=2，∠1=45°，∠OA1B1=45°，则∠2=45°，于是可判断OH⊥A1B1，则根据等腰直角三角形的性质得到，然后写出点A1的坐标．
【详解】如解图，交x轴于H，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∵绕原点O逆时针旋转45°得到，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标为．
故选：B．
【点睛】本题考查了坐标与图形变换-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．解决本题的关键是判断A1B1被x轴垂直平分．
10. 已知二次函数（为常数，），点是该函数图象上一点，当时，，则的取值范围是（ ）
A. 或B.
C. 或D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出抛物线的对称轴及抛物线与轴的交点坐标，再分两种情况：或，根据二次函数的性质求得的不同取值范围便可．
【详解】解：∵二次函数，
∴对称轴为，抛物线与轴的交点为，
∵点是该函数图象上一点，当时，，
∴①当时，对称轴，
此时，当时，，即，
解得；
②当时，对称轴，
当时，随增大而减小，
则当时，恒成立；
综上，的取值范围是：或．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，关键是分情况讨论．
二、细心填一填（每小题4分，共24分）
11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接得到答案．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：．
12. 已知是方程的一个根，则方程的另一根为_____．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，．
【详解】解：设关于的一元二次方程的两个实数根为，，其中，
∴，
∴，解得，
∴方程的另一根为，
故答案为：．
13. 用一个圆心角为120°，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为____．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：，解得r=．
考点：弧长的计算．
14. 如图，为了测量河宽AB(假设河的两岸平行)，测得∠ACB＝30°，∠ADB＝60°，CD＝60m，则河宽AB为 m(结果保留根号)．
【答案】
【解析】
【详解】解：∵∠ACB=30°，∠ADB=60°，
∴∠CAD=∠ADB-∠ACB=30°，
∴AD=CD=60m，
在Rt△ABD中，
AB=AD•sin∠ADB=60×=(m).
故答案是：.
15. 在一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的n个小球，其中有5个黑球，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，之后把它放回袋中，搅匀后，再继续摸出一球，以下是利用计算机模拟的摸球试验次数与摸出黑球次数的列表：
根据列表，可以估计出n的值是__________．
【答案】10
【解析】
【详解】∵通过大量重复试验后发现，摸到黑球的频率稳定于0.5，
∴=0.5，
解得：n=10．
故答案为：10
考点：模拟实验．
16. 如图，等边纸片中，，是边的中点，是边上一点现将沿折叠，得，连接，则长度的最小值为_____．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的性质，翻折变换（折叠问题），根据等边三角形“三线合一”的性质，连接，就可以求出的长，根据已知条件得到当在上时，长度的最小，再根据折叠的性质得到，于是可得到结论，解题的关键是熟练掌握知识点的应用．
【详解】连接，
∵是等边三角形，是边的中点，
∴，，，
∵将沿折叠，得，连接，
∴当在上时，长度的最小，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴长度的最小值为，
故答案为：．
三．耐心做一做（共86分）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查特殊角的锐角三角函数值，二次根式的混合运算，以及实数的混合运算，掌握特殊角的锐角三角函数值和实数的混合运算法则，即可解题．
【详解】解：
．
18. 解方程：．
【答案】无实数根
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法步骤，即可解题．
【详解】解：
，，，
又，
该方程无实数根．
19. 已知直线与双曲线（）在第一象限交于点A，且点A的横坐标为，求k的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点坐标，根据点A的横坐标为，将两个函数解析式联立起来得到的解为，将代入方程求解，即可解题．
【详解】解：由题知，的解为，
，解得．
20. 不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球若干个（除颜色外其余都相同），其中红球2个（分别标有1号、2号），蓝球1个．若从中任意摸出一个球，它是蓝球的概率为．
（1）求袋中黄球的个数；
（2）第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，请用画树状图或列表格的方法，求两次摸到不同颜色球的概率．
【答案】（1）袋中黄球的个数为1个；（2）两次摸到不同颜色球的概率为：P=．
【解析】
【分析】（1）首先设袋中黄球的个数为x个，由从中任意摸出一个球，它是蓝球的概率为，利用概率公式即可得方程：，解此方程即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸到不同颜色球的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】（1）解：设袋中黄球的个数为x个，
∵从中任意摸出一个球，它是蓝球的概率为，
∴，
解得：x＝1，
∴袋中黄球的个数为1个；
（2）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，两次摸到不同颜色球的有10种情况，
∴两次摸到不同颜色球的概率为：．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
21. 已知在△ABC中，∠B=90，以AB上的一点O为圆心，以OA为半径的圆交AC于点D，交AB于点E．
（1）求证：AC·AD=AB·AE；
（2）如果BD是⊙O的切线，D是切点，E是OB的中点，当BC=2时，求AC的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）AC=4.
【解析】
【分析】（1）连接DE，由题意可得∠ADE=90°，∠ABC=90°，又∠A是公共角，从而可得△ADE∽△ABC，由相似比即可得；
（2）连接OB，由BD是切线，得OD⊥BD，有E为OB中点，则可得OE=BE=OD，从而可得∠OBD=∠BAC=30°，所以AC=2BC=4；
【详解】（1）连接DE，∵AE是直径，∴∠ADE=90，∴∠ADE=∠ABC，在Rt△ADE和Rt△ABC中，∠A是公共角，∴△ADE∽△ABC，∴，即AC·AD=AB·AE
（2）连接OD，∵BD是圆O的切线，则OD⊥BD，在Rt△OBD中，OE=BE=OD
∴OB=2OD，∴∠OBD=30°，同理∠BAC=30°，在Rt△ABC中，AC=2BC=2×2=4.
考点：1.圆周角定理；2.相似三角形的判定与性质；3.切线的性质；4.30°的直角三角形的性质.
22. 如图，在中，，、、所对的边分别记为a、b、c．
（1）若，求的面积（用含a、c的式子表示）；
（2）若，，求的值，
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）本题考查解直角三角形，延长，作于点，根据题意得到，利用，求得，再根据，即可解题．
（2）本题考查勾股定理和解直角三角形，根据题意得到，，结合得到，两边同时除以，将看作一个整体求解，即可解题．
【小问1详解】
解：延长，作于点，如图所示：
，，
，
，，
，
，解得，
的面积为：．
【小问2详解】
解：，，
，
，
，即有，
整理得，解得或，
的值为或．
23. 根据以下素材，探究完成任务
【答案】任务：正方形的边长为米；任务：米．
【解析】
【分析】（）作交于点，与的交点为，设正方形边长为，由的 即可求解；
（）设开辟的矩形土地上供学生种菜的面积为，则可得表达式，再利用二次函数的最值问题进行分类讨论求解即可；
本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质以及二次函数的最值问题； 根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式求出矩形长与宽的关系是解题关键.
【详解】解：任务：作交于点，与的交点为，如图，
设正方形边长为，
∵四边形是正方形，在边上，
∴，
∴，
∴，
由，，
可得，
解得，
∴正方形的边长为米；
任务：设开辟的矩形土地上供学生种菜的面积为，，
由，
则，
得
则，对称轴为，
当时，时取到最大值，
，
当时取到最小值，
，
∵开辟的矩形土地上供学生种菜的面积最大值与最小值之差恰好为平方米，
∴，
整理得：，
解得 ， （舍去）；
当 时，时取到最大值，
时取到最小值，
解得（舍去），
故当米时，符合题意．
24. 如图1所示，正方形BEFG绕正方形ABCD的顶点B逆时针旋转度（），GF与AB交于点H．
（1）当时，求BH的长；
（2）如图2，连接DF，CE，BD；
①判断DF与CE的数量关系，并证明；
②当G，F，D三点共线时，延长BF交AD于点M，时，求BC的长．
【答案】（1）
（2）①，理由见解析；②
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质可得∠GBH=30°，再利用锐角三角函数，即可求解；
（2）①连接BF，根据正方形的性质可得，∠CBE=∠DBF，可证得△CBE∽△DBF，即可求解；②先证明△DFM∽△BDM，可得，再设BC=a，则AB=AD=a，，可得，从而得到，进而得到，可得到，在中，由勾股定理，即可求解．
【小问1详解】
解：在正方形BEFG中，BG=BE=2，∠G=90°，
根据题意得：∠GBH=30°，
∴；
【小问2详解】
解：①，理由如下：
如图，连接BF，
在正方形ABCD和BEFG中，△BCD和△BEF为等腰直角三角形，
∴，∠CBD=∠EBF=45°，
∴，∠CBE=∠DBF，
∴△CBE∽△DBF，
∴，
∴；
②如图，
正方形ABCD和BEFG中，∠BFG=∠ADB=45°，AB=BC=AD，，
∵∠DFM=∠BFG，
∴∠ADB=∠DFM，
∵∠DMF=∠DMB，
∴△DFM∽△BDM，
∴，
设BC=a，则AB=AD=a，，
∵，
∴，解得：，
∴，
∴，解得：，
在中，，
∴，解得：或（舍去），
∴
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
25. 抛物线与x轴交于和两点，与y轴的负半轴交于C点．
（1）直接写出抛物线的解析式：
（2）如图1，平移直线，使对应直线恰好与抛物线有唯一公共点Q，求点Q的坐标：
（3）如图2，点P在x轴下方的抛物线上，直线、与直线分别相交于点E和F，设E、F两点的横坐标分别为m、n，求m和n的数量关系．
【答案】25.
26.
27.
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图像和性质，二次函数和一元二次方程解的关系，解直角三角形，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
（1）运用待定系数法求函数解析式即可；
（2）求出直线的解析式，然后设平移后的直线解析式为，和二次函数解析式联立，根据有唯一解可以求出的值，进而求出交点的坐标即可；
（3）过点P作轴于点Q，点F作轴于点H，点E作轴于点G，设点P的坐标为，然后根据，列出关系式整理即可解题．
【小问1详解】
解：把和代入得
，解得：，
∴，
【小问2详解】
当时，，
∴点C的坐标为，
设直线的解析式为，把和代入得：
，解得，
∴，
设平移后的直线解析式为，
令相等，则，即
∵平移后的直线与抛物线有唯一公共点Q，
，
解得：，
这时，，，
∴点Q的坐标为；
【小问3详解】
解：过点P作轴于点Q，点F作轴于点H，点E作轴于点G，
设点P的坐标为，
∵与x轴和y轴交于点，，
∴它与坐标轴夹角为，
∵E、F两点的横坐标分别为m、n，
∴，，
又∵，即， ①
，即， ②
①②得：，
整理得．
摸球试验次数
100
1000
5000
10000
50000
100000
摸出黑球次数
46
487
2506
5008
24996
50007
设计路的宽度
材料
为培养学生劳动实践能力，某研学基地计划在一块形状为三角形的土地上开辟出一块四边形土地（如图所示）供种菜使用，其中米，边上的高为米，要求四边形的顶点，在上，顶点，分别在，上．

材料
为了方便学生使用，计划在开辟出来的四边形土地上建造三条如图所示的宽均为（）米的道路（图中阴影部分）．

问题解决
任务
若所开辟的四边形土地为正方形，求该正方形的边长：
任务
若所开辟四边形土地为矩形，当时，矩形土地上供学生种菜的面积最大值与最小值之差恰好为平方米，求此时路宽的值．