湖南省三湘创新发展联合体2023-2024学年高三下学期2月开学统试数学试题

这是一份湖南省三湘创新发展联合体2023-2024学年高三下学期2月开学统试数学试题，共13页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，已知函数，则下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：高考全部内容．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知，若为纯虚数，则（ ）
A．B．2C．D．1
2．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
3．若直线与圆只有一个公共点，则（ ）
A．0B．1C．-1D．2
4．已知向量，，则“”是“向量与的夹角为锐角”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
5．有一组样本数据由5个连续的正整数组成，其中是最小值，是最大值，若在原数据的基础上增加两个数据，，组成一组新的样本数据，则（ ）
A．新样本数据的平均数小于原样本数据的平均数
B．新样本数据的平均数大于原样本数据的平均数
C．新样本数据的方差等于原样本数据的方差
D．新样本数据的方差大于原样本数据的方差
6．大西洋鲑鱼每年都要逆游而上，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数．若一条鲑鱼游速为时耗氧量的单位数为300，则一条鲑鱼游速为时耗氧量的单位数为（ ）
A．100B．900C．1200D．8100
7．现准备给一半径为的实心球体玩具制作一个圆台型带盖的纸质包装盒，要使制成的包装盒能装下该球体玩具，且该包装盒的下底面是半径为的圆，则制成的包装盒的容积最小为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数的定义域为，若是单调函数，且有零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知数列的前项和为，，，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．若，则D．若，则
10．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称
B．的图象关于点中心对称
C．的最小正周期是
D．在上有最大值，且最大值为
11．已知为坐标原点，，为抛物线上两点，为的焦点，若到准线的距离为2，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则周长的最小值为
B．若直线过点，则直线，的斜率之积为
C．若，则的取值范围是
D．若的外接圆与准线相切，则该外接圆的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．甲、乙等7名同学随机站成一排，则甲、乙相邻且甲不站两端的不同排列方式有______种．
13．已知双曲线的右支上有一点，点关于坐标原点对称的点为，为双曲线的左焦点，且满足，当时，双曲线的离心率为______．
14．如图，在三棱锥中，平面平面，，，，为棱上靠近点的三等分点，且为的角平分线，则二面角的平面角的正切值的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知公差不为0的等差数列满足，且成等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）记的前项和为，，求数列的前项和．
16．（15分）
已知椭圆的右顶点为，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于另一点，若，求直线的方程．
17．（15分）
如图，在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，直线与平面所成的角为30°．
（1）证明：平面．
（2）求与平面所成角的正弦值．
18．（17分）
某学校食堂每天中午为师生提供了冰糖雪梨汤和苹果百合汤，其均有止咳润肺的功效．某同学每天中午都会在两种汤中选择一种，已知他第一天选择冰糖雪梨汤的概率为，若前一天选择冰糖雪梨汤，后一天继续选择冰糖雪梨汤的概率为，而前一天选择苹果百合汤，后一天继续选择苹果百合汤的概率为，如此往复．
（1）求该同学第二天中午选择冰糖雪梨汤的概率．
（2）记该同学第天中午选择冰糖雪梨汤的概率为，证明：为等比数列．
（3）求从第1天到第10天中，该同学中午选择冰糖雪梨汤的概率大于苹果百合汤概率的天数．
19．（17分）
已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若方程有两个不相等的根，且，的导函数为，证明：．
2024届高三2月入学统一考试试题
数学参考答案
1．C 因为，所以解得．
2．B ，，则．
3．A 由题意可得直线与圆相切，又因为直线过定点，点在圆上，所以直线与直线垂直，因为直线的斜率不存在，所以．
4．C 若，则，解得．若向量与的夹角为锐角，则且，所以且，解得．故“”是“向量与的夹角为锐角”的必要不充分条件．
5．D 新样本数据的平均数等于原样本数据的平均数，A，B错误．数据的波动越大，方差越大，C错误，D正确．
6．D 由题意可得，解得，所以．令，解得．
7．A 要使制成的包装盒的容积最小，则该球体玩具与包装盒的上、下底面及侧面都相切．作该圆台型包装盒的轴截面，且，．
易知，．因为，所以，解得．此时该包装盒的容积．
8．B 因为有零点，所以方程有解，即在上有解，所以．．因为是单调函数，所以函数在上恒成立或在上恒成立．因为，所以在上不可能恒成立．
函数在上恒成立，即在上恒成立．
因为（当且仅当时，等号成立），所以，解得．
综上，的取值范围是．
9．ACD 令，则，解得．令，则，所以，，A正确，B错误．若，则，若，则，C，D均正确．
10．BCD 由，解得，所以的定义域为．
令，则，令函数．
当时，，且函数在上单调递增，在上单调递减．
又因为在上单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减，所以的图象不关于直线对称，A错误．
在上有最大值，且最大值为，D正确．
，
，所以的图象关于点中心对称，B正确．
由对称性可得在上单调递减，在上单调递增，所以在上不具有周期性．
又因为，所以的最小正周期为，C正确．
11．BCD 由题意可知，，所以，．
作，垂足为，的周长为，A错误．
若直线过点，可设直线的方程为，由得．设，，则，，则，所以直线，的斜率之积为，B正确．
若，则，令，，所以，可得，C正确．
若的外接圆与准线相切，设的圆心为，则，所以圆心的纵坐标，则其半径，面积为，D正确．
12．1200 先确定甲的位置，再确定乙的位置及其他同学的位置，则有种不同的排列方式．
13． 如图，设为双曲线的右焦点，连接，．由及双曲线的对称性得四边形是矩形，，则，，由双曲线定义得，即，所以离心率．
14． 如图1，过点作，垂足为，过点作，垂足为，连接．因为平面平面，所以平面，，．
因为，所以平面，，所以为二面角的平面角．
在中，，所以，
则，．
在中，，所以．
如图2，在平面内，过点作交直线于点，所以点在以为直径的圆上运动．设的中点为，连接．因为，，所以．因为，所以，所以，即，解得，．
当直线与圆相切时，最大，因此最小．
，．故二面角的平面角的正切值的最小值为．
注：①在求点的轨迹时，也可在平面内建立平面直角坐标系，用解析几何的方法求解．
②在求的最大值时，也可用如下方法：
由题意可得，，，所以．
15．解：（1）设等差数列的公差为，
由题意可得
解得或（舍去），，
所以．
（2）根据等差数列的前项和公式可得，
所以，
所以．
16．解：（1）由题意可得，．
因为，所以，．
故椭圆的方程为．
（2）由题意可知，直线的斜率存在，设直线的方程为．
联立得，
易知．设，则，所以，．
因为，所以，
即，解得，
所以直线的方程为，即．
17．（1）证明：取的中点，连接，，过点作，垂足为点．
因为是等边三角形，，所以，．
因为，所以平面，所以．
因为，所以平面，
所以为直线与平面所成的角，则，
则，，．
在中，，
即，解得．
因为，，
所以，．
因为，所以平面．
（2）解：以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
所以，，．
设平面的法向量为，
所以．
设与平面所成的角为，则，
所以与平面所成角的正弦值为．
18．（1）解：设表示第一天中午选择冰糖雪梨汤，表示第二天中午选择冰糖雪梨汤，则表示第一天中午选择苹果百合汤．
根据题意得，，，．
．
（2）证明：设表示第天中午选择冰糖雪梨汤，则，，
根据题意得，．
由全概率公式得，即．
不妨设，即，
所以，解得，
则，又，
所以是以为首项，为公比的等比数列．
（3）解：由（2）得，．
由题意，只需，即，
则，即．
显然必为奇数，偶数不成立．
当时，有．
当时，显然成立．
当时，，所以当时不成立．
因为单调递减，所以也不成立．
综上，该同学只有1天中午选择冰糖雪梨汤的概率大于苹果百合汤的概率．
19．（1）解：．
当时，在上恒成立，即在上单调递增．
当时，由，得，由，得，
所以在上单调递增，在上单调递减．
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）证明：由（1）得，当时，至多有一个根，不符合题意．
当时，在上单调递增，在上单调递减，且．
不妨设，要证明，即证．
又，所以只需要证明．
令函数，．
，
所以在上单调递增，
所以，即，
所以．
又因为，所以．
因为，，而在上单调递增，
所以，即，
故．