专题08 反比例函数的实际应用（和物理有关）-【微专题】2022-2023学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（人教版）

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1．已知某蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
(1)求这个反比例函数的解析式；
(2)如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过3A，那么用电器可变电阻应控制在什么范围？
【答案】(1)函数的解析式为I=；
(2)用电器可变电阻应控制在12Ω以上的范围内．
【分析】（1）先由电流I是电阻R的反比例函数，可设I=，将点（20，1.8），利用待定系数法即可求出这个反比例函数的解析式；
（2）将I≤3代入（1）中所求的函数解析式即可确定电阻的取值范围．
(1)
解：（1）电流I是电阻R的反比例函数，设I=，
∵图象经过（20，1.8），
∴1.8=，
解得k=1.8×20=36，
∴I=；
(2)
解：∵I≤3，I=，
∴≤3，
∴R≥12，
即用电器可变电阻应控制在12Ω以上的范围内．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题．
2．一个用电器的电阻是可调节的，其范围为．已知电压为，这个用电器的电路图如图所示．
（1）功率P与电阻R有怎样的函数关系？
（2）这个用电器功率的范围是多少？
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据电学知识：代入即可得出答案；
（2）根据反比例函数的性质知，，在第一象限随的增大而减小，故把电阻代入（1）所求得的式子中，即可求出功率P的最大值，把电阻代入即可求出功率P的最小值．
【详解】解:（1）根据电学知识，当时，得
．①
（2）根据反比例函数的性质可知，电阻越大，功率越小．
把电阻的最小值代入①式，得到功率的最大值
；
把电阻的最大值代入①式，得到功率的最小值
．
因此用电器功率的范围为．
【点睛】本题考查反比例函数的实际应用，解题关键是熟练掌握反比例函数的性质．
3．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（单位：千帕）随气体体积V（单位：立方米）的变化而变化，P随V的变化情况如下表所示．
（1）写出符合表格数据的P关于V的函数表达式 ；
（2）当气球的体积为20立方米时，气球内气体的气压P为多少千帕？
（3）当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，依照（1）中的函数表达式，基于安全考虑，气球的体积至少为多少立方米？
【答案】（1）p＝；（2）4.8千帕；（3）气球的体积至少为立方米．
【分析】（1）设p与V的函数的解析式为p= ，利用待定系数法即可求函数解析式；
（2）把v=20代入p= 可得p=4.8；
（3）把p=144代入p= 得，V= ．可知当气球内的气压＞144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积至少为 立方米．
【详解】解：（1）设p与V的函数的解析式为p＝，
把点A（1.5，64）代入，
解得k＝96．
∴这个函数的解析式为p＝；
故答案为p＝；
（2）把v＝20代入p＝得：p＝4.8，
当气球的体积为20立方米时，气球内的气压是4.8千帕；
（3）把p＝144代入p＝得，V＝，
故p≤144时，v≥，
答：气球的体积至少为立方米．
【点睛】本题考查反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式．会用不等式解决实际问题．
4．小涂在课余时间找到了几副度数不同的老花镜，让镜片正对着太阳光，并上下移动镜片，直到地上的光斑最小可以认为是焦点，此时他测了镜片与光斑的距离可以当做焦距，得到如下数据：
(1)老花镜镜片是______凸的、凹的、平的，度数越高镜片的中心______越薄、越厚、没有变化；
(2)观察表中的数据，可以找出老花镜的度数与镜片焦距的关系，用关系式表示为：______；
(3)如果按上述方法测得一副老花镜的焦距为，可求出这幅老花镜的度数为______．
【答案】(1)凸的；越厚
(2)
(3)143度
【分析】（1）根据题意及常识可求解；
（2）利用表格中的数据可求解与的关系式；
（3）将值代入计算可求解．
（1）
解：老花镜镜片是凸的，度数越高镜片的中心越厚，
故答案为：凸的；越厚；
（2）
解：根据表中数据可得：，，，，，
∴，
∴老花镜的度数与镜片焦距的关系可近似的看作，
故答案为：；
（3）
解：当时，，
解得 ，
即这幅老花镜的度数是度．
故答案为：度．
【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，根据数据找函数关系是解题的关键．
5．在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，二氧化碳的密度也会随之改变，密度（单位：kg/m3）是体积V（单位：m3）的反比例函数，它的图象如图所示．
(1)求与V之间的函数关系式：
(2)求当m3时二氧化碳的密度．
【答案】(1)
(2)1kg/m3
【分析】（1）由图象可知，反比例函数图象经过点（5，2），利用待定系数法求出函数解析式；
（2）运用这个关系式解答实际问题，把v=10m3代入函数解析式即可求解．
（1）
解：设密度与体积V的反比例函数关系式为，
把点代人解，得，
∴与V的反比例函数关系式为．
（2）
解：当v=10m3时，P==1(kg/m3)，
∴当V=10m3时二氧化碳的密度为1kg/m3．
【点睛】本题主要考查图象的识别和待定系数法求函数解析式．从图象上观察得出点(5,2)在函数图象上是解题的关键．
6．某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强P（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．
(1)求这一函数的表达式；
(2)当气体压强为50kPa时，求V的值；
(3)当气球内的体积小于0.5m3时，气球爆炸，为了安全起见，气体的压强不大于多少？
【答案】(1)函数关系式为P＝
(2)当气球内的气压为50kPa时，气球的体积为2立方米
(3)为了安全起见，气体的压强不大于200kPa
【分析】（1）设P与V的函数关系式为P＝，将点代入求解即可；
（2）将P＝50代入P＝中求解即可；
（3）根据题意可得V＝0.5m3时，气球将爆炸，代入函数解析式求解即可．
（1）
解：设P与V的函数关系式为P＝，
则 k＝1×100，解得k＝100，
∴函数关系式为P＝．
（2）
将P＝50代入P＝中，
得＝50，
解得V＝2，
∴当气球内的气压为50kPa时，气球的体积为2立方米．
（3）
当气球内的体积小于0.5m3时，气球爆炸，
∴V＝0.5m3时，气球将爆炸，
∴ ＝0.5，
解得 P＝200 kPa
故为了安全起见，气体的压强不大于200kPa．
【点睛】题目主要考查反比例函数的应用，理解题意，根据图象确定函数解析式是解题关键．
7．如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数，当时，．
(1)求关于的函数解析式；
(2)若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）运用待定系数法求解即可；
（2）把代入反比例函数解析式，求出y的值即可．
（1）
由题意设，
把，代入，得．
∴关于的函数解析式为．
（2）
把代入，得．
∴小孔到蜡烛的距离为．
【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求函数关系式以及求函数值，能正确掌握待定系数法是解答本题的关键．
8．某同学设计了如下杠杆平衡实验：如图，取一根长65cm的质地，均匀木杆，用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起来，在中点的左侧，距离中点20cm处挂一个重9N的物体，在中点的右侧，用一个弹簧测力计向下拉，使木杆保持平衡（动力×动力臂＝阻力×阻力臂），改变弹簧测力计与中点O的距离L（单位：cm），观察弹簧测力计的示数F（单位：N）． 通过实验，得到下表数据：
(1)你认为表中哪组数据是明显错误的．
(2)在已学过的函数中选择合适的模型，求F关于L的函数表达式．
(3)若弹簧测力计的量程是10N，求L的取值范围．
【答案】(1)第3组；
(2)F•L=180；
(3)18cm≤L≤32.5cm；
【分析】（1）根据动力×动力臂＝阻力×阻力臂，可得L与F成反比例关系；
（2）设F•L=k，将第1组数据代入求k的值即可；
（3）根据F≤10（N），列不等式求值即可；
(1)
解：∵阻力×阻力臂是个定值，
∴随着L的增大，F会减小，
∴第3组是明显错误的；
(2)
解：设F•L=k，则k=9×20=180，
∴F•L=180；
(3)
解：∵，
∴当F≤10（N）时，，L≥18（cm），
∵木杆长65cm，O是木杆的中点，
∴L≤32.5（cm），
∴18cm≤L≤32.5cm；
【点睛】本题考查了反比例函数和一元一次不等式的实际应用，反比例函数可以理解为两个变量的乘积是一个不为0的常数，因此可以写成xy=k（k≠0，x≠0，y≠0）的形式；掌握反比例函数的性质是解题关键．
9．如图，小明想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为，阻力臂长为．设动力为，动力臂长为．（杠杆平衡时，动力×动力臂=阻力×阻力臂，图中撬棍本身所受的重力忽略不计）
(1)求y关于x的函数解析式．
(2)当动力臂长为时，撬动石头至少需要多大的力？
【答案】(1)；
(2)当动力臂长为时，撬动石头至少需要的力．
【分析】(1)根据动力×动力臂=阻力×阻力臂，即可得出y关于x的函数表达式；
(2)将x=1.5代入(1)中所求解析式，即可得出y的值．
（1）
解：由题意，得，
则，
∴y关于x的函数解析式为．
（2）
解：∵，
∴当时，，
故当动力臂长为时，撬动石头至少需要的力．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出y与x之间的关系是解题关键．
10．某科技小组野外考察时遇到一片烂泥湿地，为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进的路线铺了若干块木板，构成了一条临时通道．
(1)若人和木板对湿地地面的压力一定时，木板对烂泥湿地的压强是木板面积的反比例函数，其图象如图所示．
①求出与的函数解析式；
②当木板面积为时，压强是多少？
(2)已知该科技小组每个成员的体重与每块木板重量之和在之间，若要求压强不超过5000Pa，要确保每个人都能安全通过湿地，木板的面积至少要多大？
【答案】(1)①，；
(2)木板的面积至少要
【分析】①根据压强与面积的关系设函数关系，代入一个已知点的坐标求解即可．
②代入函数解析式即可．
(2) 由题意可得人与木板对湿地地面的最大压力为750N，此时有，当时代入数据求解即可．
（1）
①设与的函数关系式为，由图可知，当时，
所以有，解得：．
即与的函数解析式为：．
②把代入得：
答：当木板面积为时，压强是2000Pa．
（2）
（2）由题意可得：人与木板对湿地地面的最大压力为750N，此时有，
当时，所以．
答：木板的面积至少要
【点睛】本题考查反比例函数与实际问题，解题的关键是根据图形求出反比例函数的解析式代入数据求解即可．
11．某汽车的功率P（单位：W）为一定值，它的速度v（单位：m/s）是它所受的奉引力F（单位：N）的反比例函数，它的图象如图所示：
(1)求速度v关于牵引力F的函数解析式；
(2)当它所受的牵引力为2500 N时，汽车的速度为多少？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设函数关系式为，把（3000，20）代入所设函数关系式中，可求得比例系数P，从而可得函数解析式；
（2）根据所求得的函数解析式，即可求得当F=2500N时的函数值．
（1）
设v与F的函数关系式为，
把（3000，20）代入得，
∴，
∴速度v关于牵引力F的函数的解析式为．
（2）
当时，
．
【点睛】本题是反比例函数的应用，考查了求函数解析式，求函数值，关键是从图象中获得信息，从而求得函数解析式．
12．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（千帕）是气体V（立方米）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）求该反比例函数的关系式；
（2）当气球的体积是0.8立方米时，气球内的气压是多少千帕？
【答案】（1）P=；（2）200千帕
【分析】（1）将已知点的坐标代入到反比例函数的一般形式中即可求得其解析式；
（2）代入V＝0.8求得压强即可；
【详解】解：（1）设表达式为P=，
∵图象经过点（2.5，64），
∴k=2.5×64=160，
所以表达式为P=；
（2）当V=0.8时，P=千帕．
【点睛】本题考查了反比例函数的实际应用．关键是根据图象建立函数关系式，并会运用函数式解答题目的问题．
13．某气球内充满一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示．
（1）写出这个函数的表达式；
（2）当气体体积为时，气压是多少？
（3）当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全考虑，气体的体积应不小于多少？
【答案】（1）；（2）96；（3）气球的体积应不小于
【分析】（1）根据图象上的点的坐标，待定系数法求反比例函数解析式即可；
（2）将代入（1）中的解析式即可；
（3）根据反比例函数图象，结合题意解不等式即可．
【详解】（1）设与的函数关系式为，
把，代入上式，
解得．
∴与的函数关系式为．
（2）
当时，．
（3）由，得，
∴气球的体积应不小于．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，掌握反比例函数图象以及性质是解题的关键．
14．在力F（N）的作用下，物体会在力F的方向上发生位移s（m），力F所做的功W（J）满足W＝Fs．当W为定值时，F与s之间的函数图象如图所示：
（1）求力F所做的功；
（2）试确定F与s之间的函数表达式；
（3）当F＝4N时，求s的值．
【答案】（1）15J；（2）F=；（3）
【分析】（1）由图象可知，是反比例函数关系，当s=2时，F=7.5，代入W=Fs即可求得F；
（2）利用待定系数法即可求得F与s之间的函数表达式；
（3）利用反比例函数解析式即可求得s．
【详解】解：（1）把s=2，F=7.5，代入公式W=Fs=2×7.5=15，
即力F所做的功是15J；
（2）∵W=Fs，
∴F=，
由（1）可知W=15，
∴F与s之间的函数表达式为：F=；
（3）由（2）可知F=，
当F=4N时，4=，
解得：s=．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用题目所给的定值求出它们的关系式．
15．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（kPa）是气体体积V（m2）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）写出这个函数的表达式；
（2）当气球的体积是1.6m3时，气球内的气压是多少千帕？
（3）当气球内的气压大于128kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？
【答案】（1）这个函数的解析式为P＝；（2）气球的体积为1.6立方米时，气球内的气压是60千帕；（3）气球的体积应不小于立方米
【分析】（1）由图像知反比例函数图像过点（0.8,120），设出P与V的函数关系式为，代入点（0.8,120），求出k的值，即可得函数表达式；
（2）把代入（1）求得的函数关系式，即可求出当气球体积1.6m3时的气压值；
（3）由题意可知，气压越大，气球体积就越大，为了避免气球爆炸，应该使，即≤144，求出所对应的体积即可．
【详解】解：（1）解：（1）设P与V的函数的解析式为，
把点A（0.8，120）代入，
解得：k＝96．
∴这个函数的解析式为P＝；
（2）把V＝1.6代入P＝得：P＝60，
当气球的体积为1.6立方米时，气球内的气压是60千帕；
（3）把P＝128代入P＝得，V＝，
故P≤128时，V≥，
答：气球的体积应不小于立方米．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，具体考查了求反比例函数解释式，求函数值，及反比例函数的图形变化规律的有关知识，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质．
16．在某一电路中，保持电压不变，电流是电阻的反比例函数，如图是某电路电流、电阻的关系图，其图象经过点．
（1）求与的函数表达式；
（2）当电阻为时，求电流大小．
【答案】（1）；（2）12A
【分析】（1）由题意得，利用待定系数法求解即可
（2）直接将代入与的函数关系式求解即可
【详解】.解：（1）由题意可得．
∵图象过点，
∴．
∴与的函数表达式为．
（2）当时，．
∴电流大小为．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，以及求反比例函数解析式，解题关键是熟练掌握反比例函数的性质．
17．已知近视眼镜片的度数y（度）是镜片焦距x（cm）（x＞0）的反比例函数，调查数据如表：
（1）求y与x的函数表达式；
（2）若近视眼镜镜片的度数为500度，求该镜片的焦距．
【答案】（1）y＝；（2）20cm．
【分析】（1）根据图表可以得到眼镜片的度数与焦距的积是一个常数，因而眼镜片度数与镜片焦距成反比例函数关系，即可求解；
（2）在解析式中，令y=500，求出x的值即可．
【详解】解：（1）根据题意得：y与x之积恒为10000，则函数的解析式是y＝；
（2）令y＝500，则500＝，
解得：x＝20．
即该镜片的焦距是20cm．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，正确理解反比例函数的特点，两个变量的积是常数，是解决本题的关键．
18．嵊州市三江购物中心为了迎接店庆，准备了某种气球，这些气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如下图所示．
（1）试写出这个函数的表达式；
（2）当气球的体积为2m3时，气球内气体的气压是多少？
（3）当气球内的气压大于120kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，对气球的体积有什么要求？
【答案】（1）P＝；（2）当V＝2m3时，P＝48 kPa；（3）气球的体积应大于等于0.8 m3．
【分析】（1）根据气球内气体的气压P（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，且过点（1.6，60）故P•V＝96；
（2）把V＝2代入（1）中的函数关系式求p即可；
（3）依题意P≤120，解不等式即可，可判断V≥．
【详解】解：（1）设球内气体的气压P（kPa）和气体体积V（m3）的关系式为P＝，
∵图象过点（1.6，60）
∴k＝96
即P＝；
（2）当V＝2m3时，P＝48（kPa）；
（3）当P＞120KPa时，气球将爆炸，
∴P≤120，即≤120，
∴V≥0.8．
∴气球的体积应大于等于0.8 m3．
【点睛】此题考查了反比例函数的实际应用，关键是建立函数关系式，并会运用函数关系式解答题目的问题．
P
1.5
2
2.5
3
4
…
V
64
48
38.4
32
24
…
老花镜的度数度
焦距f/m
第1组
第2组
第3组
第4组
第5组
L/cm
20
24
25
28
30
F/N
9
7.5
10
6
眼镜片度数y（度）
400
625
800
1000
…
1250
镜片焦距x（cm）
25
16
12.5
10
…
8