专题14 网格中画相似-【微专题】2022-2023学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（人教版）

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1．如图，大小为4×4的正方形方格中，能作出与△ABC相似的格点三角形（顶点都在正方形的顶点上），其中最小的一个面积是______．
【答案】##0.5
【分析】先确定最短边最小为1，根据对应边成比例，确定另外两条边的长度，作出图形即可．
【详解】解：△ABC的边长分别为，5，，作一个边长为1，，的三角形即可．
如图，△CFE即为所求，面积＝×1×1＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查作图﹣相似变换，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
2．图①，图②，图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中．
按下列要求作图．（不写作法，保留画图痕迹）
(1)在图①中，在上画一点，使；
(2)在图②中，在上画一点，使：：；
(3)在图③中，在内画一点，使：：：：．
【答案】(1)图形见解析；
(2)图形见解析；
(3)图形见解析．
【分析】（1）取的中点即可；
（2）取格点，，连接交于点，点即为所求；
（3）利用数形结合的思想，判断出点到的距离为，到的距离为，取格点，，连接交直线于点，点即为所求．
【详解】（1）在图中，点即为所求；
（2）在图中，点即为所求；
点C下移三个单位得到点M，点B上移两个单位得到点N，
连接，得到
，
：：
即点即为所求；
（3）在图中，点即为所求．
由图可知，，，，
，
：：：：，
，，
设中 边上的高为，中 边上的高为，
，，
，
作直线：，点在直线上，
在直线上取边上高，
取格点，，连接交直线于点，由图可知点到边距离为，
即点即为所求．
【点睛】本题考查作图应用与设计作图，三角形相似性质，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
3．（1）如图，4×4的正方形方格中，△ABC的顶点A、B、C在小正方形的顶点上．请在图中画一个△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC（相似比不为1），且点A1、B1、C1都在小正方形的顶点上．并将此三角形涂上阴影
（2）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹：
我们知道，三角形具有性质：三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高所在直线相交于一点．
请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图．
①如图1，在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，作BC的中点F．
②如图2，在由小正方形组成的4×3的网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC的高AH
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②见解析
【分析】（1）把△ABC各边放大倍即可；
（2）根据题意三角形的三条中线交于同一点，根据平行四边形的性质，先连接AC和BD得到BD的中点O，再连接BE交CO于P点，则点P为△BCD的重心，延长DP交BC于F点，则F点为BC的中点；
（3）根据三角形的三条高所在的直线交于同一点，分别作出上的高，交于点，延长AO至H，则即为所求．
【详解】如图，为所作；
（2）①如图1，点F为所作；
理由：因为三角形的三条中线交于同一点，
四边形是平行四边形，
∴是的中点，
∵是的中点，
根据三条中线交于同一点，
连接交于，
则点为三条中线的交点，
作射线交于点，则点为的中点；
②如图2，找到格点，过A点作AD垂直AB，再平移DA得到CE，则CE⊥AB，接着作MN垂直AC，平移MN得到BF，则BF⊥AC，BF与CE的交点O为△ABC的垂心，所以延长AO交BC于H，则AH⊥BC ，AH为所作．
理由：∵
∴
∴
∴
平移至，并延长，交于点，
∴
同理作出，交于点
根据三角形三条高所在的直线交于同一点，延长交于点，则即为所求．
【点睛】本题考查了画相似三角形：根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形，也考查了三角形的重心和平行四边形的性质．
4．在4*4的方格中，的三个顶点都在格点上．
(1)在图1中画出与成轴对称且与有公共边的格点三角形（画出一个即可）；
(2)将图2中画一个与相似的三角形．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】（1）选取AC所在的直线为对称轴作图即可；
（2）保证每条边方向一致，且边长减小为原来的一半作图即可．
【详解】（1）解：如下图所示，即为所求作的三角形；（答案不唯一）
（2）如下图所示，即为所求作的三角形；
【点睛】本题考查轴对称作图与作相似图形，掌握两个图形关于某条直线对称的性质与相似三角形的性质是解题的关键．
5．如图，是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），请在正方形网格上按下列要求画一个格点三角形与相似．
(1)在图甲中画△，使得△的周长是的周长的2倍；
(2)在图乙中画出△，使得△的面积是的面积的2倍．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）直接利用相似三角形的周长关系得出相似比为：1：2，进而得出答案；
（2）直接利用相似三角形的面积关系得出相似比：1：，进而得出答案．
（1）
解：如图所示：△，即为所求；
（2）
解：如图所示：△，即为所求．
【点睛】此题主要考查了相似变换，正确得出对应三角形的边长是解题关键．
6．如图，在8×8的正方形网格中，△ABC是格点三角形，请按以下要求作图．
(1)在图1中画出格点△EDP，使得△EDP∽△ABC，且面积比为；
(2)在图2中将△ABC绕着某格点逆向时针旋转90°得到格点△PFG，其中C与P对应．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）直接利用位似图形的性质，结合位似中心得出答案；
（2）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案．
（1）
如图，（案不唯一）
（2）
如图，
【点睛】此题主要考查了位似变换以及旋转变换，根据题意得出对应点位置是解题关键．
7．如图，在方格纸中，点A，B，C都在格点上（△ABC称为格点三角形，即格点△ABC），用无刻度直尺作图．
(1)在图1中的线段AC上找一个点D，使；
(2)在图2中作一个格点△CEF，使△CEF与△ABC相似．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据“8字形”相似，可得CD:AD=2:3，从而得出点D的位置；
（2）根据∠ACB=90°，AC=2BC，即可画出△CEF．
【详解】（1）解：如图1所示，点D即为所求，
（2）如图2所示，△CEF即为所求，
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
8．如图，在7×6的正方形网格中，点A、B、C、D在格点（小正方形的顶点）上，从点A、B、C、D四点中任取三点，两两连接，得到一个三角形，请在所得的所有三角形中，写出互为相似的两个三角形及它们的相似比．
【答案】△ABD∽△DCB，相似比．
【分析】连接AB、BD、AD、AC，利用勾股定理求出各边的长，根据对应边成比例的两个三角形相似即可求解．
【详解】解：连接AB、BD、AD、AC，
∵AB==，AC==，BC=4，CD=2，BD==2，AD==5，
∴，，，
∴，
∴△ABD∽△DCB，相似比．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，读懂题目信息，利用勾股定理求出各边的长是解题的关键．
9．如图，在5×5的边长为1小的正方形的网格中，如图1△ABC和△DEF都是格点三角形（即三角形的各顶点都在小正方形的顶点上）．
(1)判断：△ABC与△DEF是否相似？并说明理由；
(2)在如图2的正方形网格中，画出与△DEF相似且面积最大的格点三角形，并直接写出其面积．
【答案】(1)相似，见解析
(2)图见解析，面积为5
【分析】（1）相似，分别求出每个三角形的三条边长，根据三边对应成比例的两个三角形相似判断即可；
（2）根据勾股定理得出三角形各边长，利用边长之比相等，作出面积最大的格点三角形即可．
(1)
△ABC∽△DEF，理由如下：
在△ABC中，AB=2，BC=，AC=，
在△DEF中，DE=，EF=2，DF=，
∴，
∴△ABC∽△DEF；
(2)
如图，△MNP即为所求，
．
【点睛】此题考查了作图—相似变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握相似变换的性质，灵活运用所学知识解决问题．
10．按要求作图，无需写作法：

图① 图②
(1)如图①，已知∠AOB，OA=OB，点 E 在 OB 边上，四边形 AEBF 是平行四边形，只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB 的平分线．
(2)如图②，在边长为1个单位的方格纸上，有△ABC，请作一个格点△DEF，使它与△ABC相似，但相似比不能为1．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
【分析】（1）连结AB，EF交于点C ，作射线OC，根据平行四边形的性质，三线合一即可得OC即为所求．
（2）找到格点，使得相似比为，即可．
（1）连结AB，EF交于点C ，作射线OC，所以OC即为所求，四边形是平行四边，，，是的角平分线（三线合一），
（2）如图，即为所求，，，，且都是格点
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三线合一，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
11．如图正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．
(1)在图①中画等腰△ABC，使得∠CAB＝90°；
(2)在图②中画等腰△DEF，使△ABC∽△DEF，且相似比为：1．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】（1）
如图①中，△ABC即为所求；
,,,
,
，
的等腰直角三角形，
（2）
如图②中，△DEF即为所求．
,,,
,
．
△ABC∽△DEF，且相似比为：1．
【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的性质，掌握勾股定理与相似三角形的性质是解题的关键．
12．图①、图②、图③分别是6×6的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、E、P、Q、M、N均在格点上，仅用无刻度的直尺在下列网格中按要求作图，保留作图痕迹．
(1)在图①中，画线段AB的中点F．
(2)在图②中，画的中位线GH，点G、H分别在线段CD、CE上，并直接写出与四边形DEHG的面积比．
(3)在图③中，画，点R在格点上，且被线段MN分成的两部分图形的面积比为1：3．
【答案】(1)见解析
(2)见解析，面积比为1：3
(3)见解析
【分析】（1）根据网格的特点，找到之间单元网格的对角线，交于点，则点即为所求；
（2）根据（1）的方法找到的中点，连接，根据相似三角形的性质即可求出与四边形DEHG的面积比；
（3）根据（2）的结论，可知，只要经过的中位线，根据在网格上，找到符合题意的点即可求解．
(1)
如图①：
(2)
如图②：
，
与四边形DEHG的面积比为1：3．
(3)
如图③，画出一种即可．
【点睛】本题考查了网格与相似三角形，相似三角形的性质，三角形中位线的性质，根据网格的特点找到线段的中点是解题的关键．
13．如图，已知和点．
(1)把绕点顺时针旋转90°得到，在网格中画出；
(2)用无刻度的直尺，在边上画出点，使（要求保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C绕点O顺时针旋转90°的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据网格结构，利用平行线作相似三角形，根据相似比作出即可．
（1）
解：根据网格结构找出点A、B、C绕点O顺时针旋转90°的对应点A1、B1、C1的位置,然后顺次连接，即为所求，如图：
（2）
解：如图，取网格点E、F，连接EF交AC于点P，则点P为所作，理由如下：
连接FC，
设小正方形方格的边长为1，
则AE=2，FC=3，
∵AE∥FC，
∴△APE∽△CPF，
∴ ．
【点睛】本题考查了利用网格结构作旋转变换图形，利用相似三角形的性质分割线段，熟悉网格点的结构是解题的关键．
14．如图，是格点三角形（三角形的三个顶点都在格点上），每个小正方形的边长均为1．
(1)在图（1）中将绕点逆时针旋转，得到．
(2)在图（2）中找格，使以格点、、为顶点的三角形与相似，但不全等，请画出一个符合条件的三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）找到旋转角度、旋转中心、旋转方向后可得出各点的对应点，进而顺次连接即可得出答案；
（2）可找能使是直角三角形且或的．
(1)
所作图形如下：
(2)
【点睛】本题考查旋转作图及相似三角形的性质，明确旋转角度、旋转中心、旋转方向是解本题的关键．
15．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，各个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的顶点在格点上，边BC上的点D也是一个格点．仅用无刻度的直尺在定网格中画图．画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．
(1)在图1中，先画出AC的平行线DE交AB边于点E，可在BC边上画点F，使；
(2)在图2中，先在边AB找点M，使△MDC与△MAC的面积相等，再在AC上画点N，使△CDN的面积是△ABC的面积的三分之一．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据格点特点画出AC的平行线即可；根据格点特点作MA⊥AC，连接MC，则△AMC为等腰直角三角形，连接MC、NB，MC与NB交于点O，根据矩形性质可知，O为MC的中点，连接AO，则AO平分∠MAC，即∠OAC=45°，因此延长AO，与BC交于一点，即为点F；
（2）连接AD，则AD正好过格点O，连接CO，并延长与AB交于一点M，连接MD，此时△MDC与△MAC的面积相等；连接PQ，交BC于点G，连接GH，交AC于点N，连接DN，则△CDN的面积是△ABC的面积的三分之一．
(1)
解：根据格点特点连接GD，则GD∥AC，GD与AB的交点即为E点；根据格点特点作MA⊥AC，连接MC，则△AMC为等腰直角三角形，连接MC、NB，MC与NB交于点O，根据矩形性质可知：O为MC的中点，连接AO，
∵AM=AC，
∴AO平分∠MAC，
∴∠OAC=45°，
∴延长AO，与BC交于一点，即为点F，
，∠ACB=∠ACF，
∴△ACF∽△BCA．
(2)
连接AD，则AD正好过格点O，连接CO，并延长与AB交于一点M，连接MD，此时△MDC与△MAC的面积相等；
∵AC=DC，O为AD的中点，
∴CM平分∠ACD，
∴点M到AC，CD的距离相等，
∴△MDC与△MAC的面积相等；
连接PQ，交BC于点G，连接GH，交AC于点N，连接DN，则△CDN的面积是△ABC的面积的三分之一；
∵在△PBG和△QCG中，
∴，
∴，
∴CG=，
∵AH∥GC，
，
，
设△GCN边CG上的高为h1，△HAN边AH上的高为h2，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了作图-应用与设计，熟练掌握等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，角平分线的性质，是解题的关键．
16．如图，在6×7的矩形网格中，我们把顶点都在格点上的多边形称为格点多边形，点A，B，C均在格点上，按下面要求画出格点三角形．
(1)在图1中，画一个△ABD，使得△ABD与△ABC全等．
(2)在图2中，画一个△ACE，使得S△ABC＝3S△ACE，且点E不在边BC上．注：图1，图2在答题纸上．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）运用三角形全等判定定理SSS，在网格上构造△ABD与△ABC全等．
（2）△ACE与△ABC共顶点A，因此考虑两个三角形在以A为顶点的高线相等的情况下，构造3CE=BC，从而满足S△ABC＝3S△ACE．
（1）
解：
（2）
解：
【点睛】本题考查三角形全等判定定理，三角形面积计算方法，找到相应的作图依据是解题关键．
17．如图，在7×8的正方形网格中，点A，B，C都在格点上，用无刻度直尺完成下列作图：
(1)在AC上画点E，使AE=3CE；
(2)在AB上画点D，使AD=CD；
(3)在BC上画点F（不与B重合），使AFBC．
(4)在AB上画点P，使tan．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
【分析】（1）找到格点，使得，连接，找到，作交于点，则点即为所求，
（2）取格点，连接，交于点，根据网格的特点作正方形，同理取中点，连接，交于点，点即为所求，
（3）方法同（2）作正方形，作交于点，点即为所求，
（4）同方法（3）作正方形，作，同方法（1）在正方形上取分别等于，连接交于点，作射线交于点，则点即为所求．
(1)
如图所示，
找到格点，使得，连接，找到，作交于点，则点即为所求，
，
，
即．
(2)
如图，取格点，连接，交于点，
根据网格的特点作正方形，同理取中点，连接，交于点，点即为所求，
则是的垂直平分线，
．
(3)
如图，方法同（2）作正方形，作交于点，点即为所求
(4)
如图，同方法（3）作正方形，作，同方法（1）在正方形上取分别等于，连接交于点，作射线交于点，则点即为所求，，
，
．
【点睛】本题考查了网格中无刻度直尺作图，相似三角形的性质，正方形的性质，根据相似三角形的性质确定线段的长度是解题的关键．
18．如图，在6×10的方格纸ABCD中有一个格点△EFG，请按要求画线段．
(1)在图1中，过点O画一条格点线段PQ（端点在格点上），使点P，Q分别落在边AD，BC上，且PQ与FG的一边垂直．
(2)在图2中，仅用没有刻度的直尺找出EF上一点M，EG上一点N，连结MN，使△EMN和△EFG的相似比为2：5．（保留作图痕迹）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据题意找到格点，画出线段即可
（1）
如图所示，即为所求，
（2）
如图所示，取格点，连接交于点，连接交于点连接，则即为所求，
同理
．
【点睛】本题考查了相似变换作图，掌握平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定是解题的关键．
19．请在如图所示的网格中，运用无刻度直尺作图（保留作图痕迹）
(1)在图1中画出线段的中垂线
(2)如图2，在线段上找出点，使．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）取格点，，作直线即可；
（2）将点沿网格向下移动个小格到点，将点沿网格向上移动个小格到点，连接交于点，则点即为所求．
（1）
如图所示，利用网格线确定中点，然后使二者垂直即可；
（2）
将点沿网格向下移动个小格到点，将点沿网格向上移动个小格到点，连接交于点，
，
，
，
点即为所求，如图所示：
【点睛】本题考查作图—应用与设计作图，相似三角形的应用，解题关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
20．如图在5×5的网格中，△ABC的顶点都在格点上．（仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）
(1)在图1中画出△ABC的中线AD；
(2)在图2中画线段CE，点E在AB上，使得：＝2：3；
(3)在图3中画出△ABC的外心点O．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）由题知BO=CO，取两个格点F、G构造，即可得中点D．
（2）由：＝2：3得AE：BE=2∶3，取格点H、J，构造，且相似比为2∶3，即可得到E点．
（3）由O为△ABC的外心知O为AB、AC的中垂线的交点，作出两条中垂线，交点即为O．
（1）
如图1中，取格点F、G，连接FG交BC于点D，线段AD即为所求．
（2）
如图2中，取格点H、J，连接HJ交AB于点E，线段CE即为所求．
（3）
如图3中，取格点K、L、M、N，连接KL、MN交于点O，则点O为所求．
【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，三角形的面积，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
21．如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C均在格点上．请按要求在网格中画图，所画图形的顶点均需在格点上．
(1)在图1中以线段AB为边画一个，使其与相似，但不全等．
(2)在图2中画一个，使其与相似，且面积为8．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由图可知，AC=2，根据网格特点画AD⊥AB，且AD=即可；
（2）画出直角边分别为2，4的直角三角形EFG即可．
（1）
解：如图，△ABD即为所求；
（2）
如图，△EFG即为所求．
【点睛】本题考查作图-相似变换，三角形的面积，全等三角形的判定等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
22．如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在格点上，按要求完成下列画图（要求：用无刻度的直尺，保留画图痕迹，不要求写出画法）．
(1)在图①中，在线段AB上找到一点E，使＝；
(2)在图②中，画出一个以A、B、C为顶点的三角形，且cs∠BAC＝；
(3)在图③中，画出一个四边形ACBD，使其既是中心对称图形，又是轴对称图形，且邻边之比为，C、D为格点．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据相似三角形的性质得出点E，使＝；
（2）作出等腰直角三角形ABC即可满足cs∠BAC＝；
（3）根据中心对称的性质和轴对称的性质在图3中，画出矩形ACBD，邻边之比为，C，D为格点即可．
（1）
如图所示，点E即为所求；
（2）
如图所示，即为所求；
（3）
如图所示即为所求作
【点睛】本题考查了作图-轴对称变换，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相关知识与性质．